FLUIDODINAMICA Massarani(1)

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FLUIDODINÂMICA EM 
SISTEMAS PARTICULADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Giulio Massarani 
Programa de Engenharia Química 
COPPE/Universidade Federal do Rio de Janeiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2º Edição 
 
 
2001 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao amigo José Teixeira Freire 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
Prefácio 7 
Capítulo 1 Fluidodinâmica da Partícula Sólida 9 
1. Equação do Movimento da Partícula 9 
2. A Força Resistiva Fluido-Partícula 14 
Efeito da presença de fronteiras rígidas 20 
 Influência da concentração de partículas 23
3. O Movimento Acelerado da Partícula 29 
4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não-Newtoniano 31 
 Problemas 34 
Bibliografia 39 
Capítulo 2 A Decantação 41 
1. A Trajetória da Partícula 41 
2. Separação Sólido-Fluido na Fenda de Seção Retangular 45 
3. O Conceito Sigma e a Especificação de Centrífugas 47 
4. Ciclones a Gás e Hidrociclones 48 
Problemas 56 
Bibliografia 63 
Capítulo 3 Escoamento de Fluidos em Meios Porosos 65 
1. Equações da Continuidade e de Movimento para o Fluido 65 
A força resistiva m 67 
A tensão extra τ 68 
A equação de Darcy 68
2. Propriedades Estruturais da Matriz Porosa 69 
A determinação experimental de parâmetros estruturais 69
O modelo capilar 70 
3. Escoamento em Meios Porosos: Aplicações Clássicas 76 
A perda de carga no meio poroso 76 
O escoamento compressível 78
O escoamento transiente 78
 
 
4. O Escoamento Bifásico em Meios Porosos 78 
Equação de Darcy-Buckingham 79 
Generalização da Forma Quadrática de Forchheimer 80 
Problemas 83 
Bibliografia 98 
Capítulo 4 Fluidodinâmica em Sistemas particulados Expandidos 101 
1. Equações da Continuidade e do Movimento 101 
2. Caracterização dos Meios Expandidos 105 
3. O Elo entre a Fluidodinâmica de Partículas e a Teoria de Misturas 107 
4. Transporte Hidráulico e Pneumático de Partículas 109 
Transporte vertical homogêneo: partículas "grandes" 110
Transporte hidráulico homogêneo 112 
Problemas 113 
Bibliografia 121 
Capítulo 5 Escoamento em Meios Porosos Deformáveis 123
1. Equações da Continuidade e do Movimento 123 
2. Teoria da Filtração com Formação de Torta 127 
Equacionamento da filtração plana com formação de torta 128 
A teoria simplificada da filtração 131 
3. A Sedimentação Contínua 133 
Problemas 136 
Bibliografia 150 
Índice Onomástico 151 
 
 
 
PREFÁCIO 
 
Primeira Edição (Ed. UFRJ, 1997) 
 
 Entre as múltiplas facetas que os Fenômenos de Transporte em Sistemas Particulados oferecem, tanto 
do ponto de vista científico como numa larga gama de aplicações tecnológicas, este livro trata apenas dos 
aspectos fluidodinâmicos da questão. 
 Inicialmente, nos primeiros capítulos, os sistemas em que a fase dispersa é diluída são analisados a 
partir da fluidodinâmica da partícula isolada; efeitos como aqueles causados pela interação entre partículas são 
levados em conta através de modificações do problema inicial. 
 Para contornar a dificuldade aparentemente intransponível na descrição geométrica do conjunto de 
partículas que compõe o sistema denso, os capítulos seguintes utilizam uma Teoria de Misturas com base na 
Mecânica do Contínuo. A formulação é estabelecida a partir das leis de conservação aplicadas às fases fluida e 
particulada, e mais um conjunto de informações que caracterizam o sistema, as denominadas equações 
constitutivas. 
 A poderosa formulação via Teoria de Misturas, com os seus teoremas, acarreta, no primeiro impacto, o 
desconforto causado pela perda do referencial “partícula” na “estrutura amorfa do contínuo”. No cálculo da queda de 
pressão no escoamento em duto, problema clássico na Mecânica dos Fluidos, leva-se em conta, por acaso, a estrutura 
molecular da matéria? Da mesma forma, na Teoria de Misturas os detalhes da estrutura do Sistema Particulado 
escapam pela luneta usada ao revés; as propriedades do sistema são medidas em experiências simples e os resultados 
expressos de modo generalizado através das equações constitutivas, tal como na Mecânica dos Fuidos o escoamento 
laminar em tubo capilar fornece informações sobre a reologia do fluido. 
 Não há como negar, o desafio em ministrar por uma centena de vezes a disciplina de Sistemas 
Particulados, quer na forma de Operações Unitárias para os estudantes da graduação ou no enfoque de 
Fenômenos de Transporte para os pós-graduados, foi sempre a busca de uma teoria que procura amalgamar e 
correlacionar os diferentes temas. Assim, por exemplo, o escoamento em meios porosos, a filtração com 
formação de torta e o espessamento, guardadas algumas poucas peculiaridades, podem e devem ser tratados 
dentro de um mesmo arcabouço; os resultados alcançados na fluidização homogênea levam à reologia da 
suspensão e ao projeto das linhas de tranporte hidráulico; a dinâmica da partícula no campo centrífugo permite 
analisar o desempenho de ciclcones e de centrífugas. 
 A cena repete-se anualmente desde 1973, sempre em outubro, na atmosfera acolhedora do anfiteatro 
universitário. Entre os veteranos circulam os debutantes tensos. O evento nasceu Encontro sobre o Escoamento 
em Meios Porosos (ENEMP) e só recentemente, a partir da 23ª versão, passou a ser Congresso Brasileiro em 
Sistemas Particulados. Pois é sobretudo neste foro que os últimos resultados são disseminados entre os grupos 
participantes; esta Fluidodinâmica procura respeitosamente preservar e ordenar um pouco da memória dos 
Encontros. 
 
 Rio de Janeiro, Outubro de 1996 
 Giulio Massarani 
 
 
Versão da Segunda Edição 
 
 
 A realização desta Versão foi concretizada graças ao incentivo e ao apoio desta generosa população 
que trabalha no Laboratório de Sistemas Particulados: Christine Lamenha Luna, Cláudia Miriam Scheid, 
Flavia Pereira Puget, João Francisco A. Vitor, Marcel Vasconcelos Melo, Marcelo Guilherme G. Mazza, Marcos 
Roberto T. Halasz e Sílvia Cristina A. França. 
 
 
Rio de Janeiro, Julho de 2001 
 Giulio Massarani 
7 
 
 
 
Capítulo 1 
Fluidodinâmica da Partícula Sólida 
1. Equação do Movimento da Partícula 
 
 A fluidodinâmica em sistemas particulados pode ser estudada tomando como ponto de 
partida a fluidodinâmica da partícula isolada. A determinação das propriedades do todo pela 
extrapolação do comportamento de um elemento da estrutura complexa é intuitiva e didática, 
embora, na maioria das situações, esta estratégia exija um grande esforço de imaginação 
combinando a um procedimento matemático complicado e duvidoso. 
 
 O capítulo 1 procura reunir o conhecimento comum que diz respeito à fluidodinâmica 
da partícula, consolidado na literatura a partir do trabalho pioneiro de Stokes sobre a interação 
fluido newtoniano-partícula esférica rígida no movimento relativo lento. 
 
 C.R. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of 
Pendulums", Trans. Cambridge Phil. Soc., 9,8 (1850). 
 
 A fluidodinâmica da partícula pode ser descrita através de um conjunto de equações 
que inclui a equação do movimento da partícula, as equações da continuidade e movimento 
para o fluido, a condição de aderência na interface fluido-partícula e mais as equações 
constitutivas para o fluido e as condições limites pertinentes ao problema específico. A 
análise limita-se à fluidodinâmica da partícula rígida, incluindo-se nesta categoria não apenas 
as partículas sólidas como também gotas e bolhas de dimensões diminutas. A partícula tem 
massa , densidade uniforme , volume V e a superfície em contato com o fluido é S . 
As equações que seguem são estabelecidas em base a um referencial inercial. 
mP ρSP P
 
Equação do movimento da partícula 
 
 . (1) m dSP S C FS S PP
( )a T n= +∫ ρ V b
 
Equações da continuidade e movimento para o fluido 
 
 ∂ρ∂ ρ
F
F Ft
+ div( )v 0= (2) 
 
 ρ ∂∂ ρF
F
F F Ft
v v v T b+

 = +( )grad div . F (3) 
 
Condição de aderência sobre a superfície da partícula 
 
 . (4) ( ) ( )v vF Q s C QC= + ×ω r
 9 
 
Nestas equações, em relação à partícula, ( e ( são respectivamente a velocidade e a 
aceleração de seu centro de massa, ω a velocidade angular e r o vetor posição do ponto Q 
sobre a superfície da partícula em relação ao centro de massa. Quanto ao fluido, ρ
são respectivamente a densidade, o campo de velocidades e o tensor tensão que atua sobre 
esta fase. b é a intensidade do campo exterior. 
)vs C )as C
QC
F F F,v T e 
 
 A força de interação fluido-partícula pode ser decomposta na força resistiva l e no 
empuxo, 
 
 l - ρ (5) =∫ dSPS FnT bPFV
 
sendo nula a força resistiva quando a velocidade relativa entre as fases for nula. A equação 
do movimento da partícula toma a forma 
 
 l + (6) =CsP )(m a bPFS V)( ρ−ρ
 
 A análise limita-se, deste ponto em diante, ao movimento de translação da 
partícula, para atender às necessidades do próximo capítulo sobre a separação sólido-fluido 
em sistemas diluidos. Mesmo neste caso relativamente simples, as expressões analíticas 
conhecidas para representar a força resistiva restringem-se a algumas configurações 
caracterizadas pela forma regular da partícula e pelo movimento relativo partícula-fluido 
suficientemente lento, o regime de Stokes, quando a equação do movimento para o fluido, 
equação (3), pode ser linearizada. 
 
 Os resultados reunidos na tabela (1), alcançados através das equações (1) a (5), são em 
maioria exatos ou encerram alguma sorte de aproximação, preservando, no entanto, a forma 
analítica do resultado (Berker, 1963). Trata-se de um repertório clássico de soluções que 
forma a base para o estudo da fluidodinâmica da partícula. 
 
 Os resultados mostram que: 
 
 a) A força resistiva exercida pelo fluido sobre a partícula depende das dimensões e 
forma da partícula; 
 
 b) A força resistiva depende do campo de velocidades do fluido não pertubado pela 
presença da partícula; 
 
 c) A força resistiva é influenciada pela presença de contornos rígidos e pela presença 
de outras partículas; 
 
 d) No movimento acelerado da partícula a força resistiva depende da história da 
aceleração da partícula. 
 
 
 
 10 
 
Tabela 1 - Força resistiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem 
viscosidade µ. uF é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e vs é a velocidade de translação da partícula 
(Berker, 1963). 
 
 
Descrição uF vS l 
Esfera fixa com diâmetro D, 
escoamento permanente. 
( )
( ) ( )
u U
u u
F x
F y F z
=
= =
∞
0
 
 
 
=vS 0 
 
πµl x ∞= DU3 
Translação retilínea e uniforme de 
esfera com diâmetro D, fluido 
inicialmente em repouso 
 
uF = 0 
( )v vS x = = =( ) ( )v vS y S z 0 
 
3l x Dvπµ−= 
Elipsóide fixo, semi-eixos a, b, c, 
escoamento permanente. 
 
 x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 1+ + = 
 
 
( )
( ) ( )
u U
u u
F x
F y F z
=
= =
∞
0
 
 
 
 
 
=vS 0 
 l x ∞πµ= U'D3 
D abc
ao o
'= +
32
3 2
π
ψ α 
ψ π α πo o o oabc
du
u
abc du
a u
= = +
∞ ∞∫ ∫2 2 2∆ ∆, ( ) u 
[ ]∆u a u b u c u= + + +( )( )( ) /2 2 2 1 2 
Esfera fixa com diâmetro D, 
escoamento permanente do fluido não 
pertubado pela presença da partícula 
resultante do campo de pressões 
piezométricas P. 
 
uF 
 
=vS 0 l C
3
CF )P grad(8
D)(D3 π+πµ= u , 
onde C denota a posição do centro 
de massa da partícula 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1 (cont.) - Força resistiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem 
viscosidade µ. u é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e vs é a velocidade de translação da 
partícula (Berker, 1963). 
F
 
Descrição uF vs l 
Translação retilínea e uniforme da 
esfera com diâmetro D em presença de 
duas paredes planas paralelas. O fluido 
está inicialmente em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
uF = 0 
 
 
 
 
v
0)v()v(
)v(
zSyS
xS
==
=
 
 
 
 
 
l x 






 ++πµ−=
21 h
1
h
1D
32
91Dv3 
Translação retilínea e uniforme da 
esfera com diâmetro D ao longo do eixo 
do tubo com diâmetro Dt. O fluido está 
inicialmente em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
uF = 0 
 
 
 
 
 
v
0)v()v(
)v(
zSyS
xS
==
=
 
 
 
 
 
 
l x 


 +πµ−=
tD
D1,21Dv3 
h1 h2x
v
fluido
Dt
v
 
 
Tabela 1 (cont.) - Força resitiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem 
viscosidade µ. u é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e v é a velocidade de translação da 
partícula (Berken, 1963). 
F S
 
Descrição uF vs l 
Translação retilínea e uniforme das 
esferas 1 e 2 com diâmetro D1 e D2. O 
fluido está inicialmente em repouso. 
f
v
2
q2
h
v
f1
q1
φ
 
 
 
 
 
 
 
 
uF = 0 
 
 
 
 
v v( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
v
v v
v v
S x S x
S y S y
S z S z
1 2
1 2
1 2
0
0
= =
= =
= =
 
 
 
 
 
 
 
f D v D
h
f D v D
h
q q D D v
h
1 1
2
2 2
1
1 2 1 2
3 1 3
8
3 1 3
8
9
8
= −


= −







= =
πµ
πµ
πµ φcos
 
 
Esfera em translação retilínea não 
uniforme e com velocidade inicial nula. 
O fluido está inicialmente em repouso. 
 
 
 
 
uF = 0 
 
 
(( ) ), ( )
( ) ( )
v v t v
v v
S x
S y S z
= =
= =
0 0
0
 
 
∫ ττ−τπµρ
πµ+ρπ
t 
o 
2/12
F
3
d
t
d
dv
)(D
2
3+ 
Dv3
dt
dvD
12
1
 
=-lx = 
 
 
 
 
Na situação em que a partícula apresenta forma irregular e fora do regime de Stokes, não 
parece haver outra alternativa senão a de tratar a força resistiva de modo empiríco, 
procurando generalizar os resultados clássicos (Bird et al., 1960, p.193): 
 
 l 
vu
vuvu −
−⋅⋅−ρ⋅ D2F c2
1A= , (7) 
 
onde A é uma área característica, o coeficiente de arraste cujo valor numérico depende da 
definição de A, é a velocidade do fluido não perturbado pela presença da partícula na 
posição do centro de massa desta partícula, e v a velocidade de translação da partícula. 
Considera-se na equação (7) que a força resistiva e a velocidade relativa 
cD
u
 
 (8) U u v= −
 
tenham a mesma direção, o que implica em admitir que a forma da partícula apresenta um 
certo grau de regularidade. Nestas condições, a equação do movimento da partícula toma a 
forma 
 
 m A cP S F D S F Pa U U= + + −12 ρ ρ ρ( )V b . (9) 
 
 
2. A Força Resistiva Fluido-Partícula 
 
 O estudo da fluidodinâmica da partícula requer o conhecimento da reologia do fluido e 
das propriedades físicas da partícula expressas pela densidade, dimensão e forma. Entre as 
múltiplas possibilidades conhecidas na caracterização da partícula e para melhor usufruir um 
grande número de dados experimentais disponíveis na literatura, adotam-se neste texto o 
diâmetro volumétrico como dimensão característica e a esfericidade φ na 
caracterização da forma da partícula (Allen, 1981). 
DP
 
 O diâmetro volumétrico é definido como sendo o diâmetro da esfera com o mesmo 
volume que a partícula, 
 
 D VP P= 


6 1 3
π
/. (10) 
 
O valor desta propriedade para partículas de forma irregular pode ser determinado com o 
auxílio da picnometria clássica ou, na situação em que as partículas são diminutas, através da 
análise granulométrica realizada no Coulter Counter (Allen, 1981). 
 
 A esfericidade é definida como sendo o cociente entre a superfície da esfera com o 
mesmo volume que a partícula e a superfície , SP
 
 . (11) φ π= D SP2 / P
14 
 
 
 A esfericidade é um fator de forma empírico que pode ser determinado por 
permeametria, técnica que será apresentada em detalhes no capítulo 3. É a partícula esférica 
que apresenta o maior valor da esfericidade, φ=1; as partículas que ocorrem usualmente, 
como aquelas resultantes dos processos de moagem, apresentam a esfericidade na faixa de 0,5 
a 0,7. 
 
 O coeficiente de arraste c , presente na equação que define a força resistiva fluido-
partícula, equação (7), pode ser calculado através da medida da velocidade terminal da 
partícula , isto é, a velocidade constante atingida pela partícula quando lançada no fluido 
inicialmente em repouso. Definindo a área característica desta equação como sendo a área da 
seção transversal da esfera de diâmetro , 
D
vt
DP
 
 (12) A DP= π 2 4/
 
resulta no campo gravitacional, a partir das equações (8) e (9). 
 
U vz t= − = −0 vt (13) 
 
c D g
vD
S F P
F t
= −4
3 2
( )ρ ρ
ρ . 
 
(14) 
vt 
Um grande número de experiências conduzidas com partículas isométricas, isto é, partículas 
esféricas ou na forma de poliedros regulares (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e 
dodecaedro), parecem indicar que o valor do coeficiente de arraste depende apenas do número 
de Reynolds, 
 
 Re = D vP t Fρµ (15) 
 
e da esfericidade (Pettyjohn e Christiansen, 1948). Generalizande este resultado, 
 
 c D b
U
fD S F P
F
= − =4
3 2 1
( ) ( ,ρ ρρ φRe ) (16) 
 
 Re = D UP Fρµ (17) 
 
 b = = =b U u, U − v
)
, )
. (18) 
 
A partir da equação (16): 
 
 (19) 
 
Re Re= f cD2 2( ,φ
 
 (20) Re / Re= f cD3( φ
15 
 
 
 
onde os grupos adimensionais são assim calculados cDRe / Re
2 cDe 
 
 c bDD F S F PRe
2
3
2
4
3
= −ρ ρ ρµ
( )
 (21) 
 
 c b
UD
S F
F
/ ( )Re = −4
3 2 3
ρ ρ µ
ρ . (22) 
 
Cabe ressaltar que a correlação expressa pela equação (16) é o ponto de partida para o 
estabelecimento das equações (19) e (20) e que pode ser utilizada com vantagem no estudo da 
dinâmica da partícula em fluido não newtoniano pelo fato da viscosidade estar presente 
apenas no número de Reynolds. A equação (19) presta-se para o cálculo de U , pois 
não inclui esta variável; analogamente, a equação (20) deve ser utilizada no cálculo de já 
que não inclui esta variável. Nestas duas últimas situações, U e são calculados a 
partir do número de Reynolds. 
cDRe
2
DP
/ReDc DP
 
 As correlações apresentadas nas tabelas (2) a (4) referem-se à fluidodinâmica da 
partícula isométrica isolada em fluido newtoniano. Embora a tabela (3) inclua a partícula 
esférica, recomenda-se neste caso, para maior precisão, a utilização da tabela (2). A tabela (4) 
fornece diretamente as expressões para a velocidade relativa fluido-partícula e para o 
diâmetro da partícula quando prevalece o regime de Stokes ou o de Newton , isto é, quando 
ou . As correlações das tabelas (2) e (3) foram estabelecidas 
através do Método das Duas Assíntotas de Churchill (1983). 
Re < 0 5, 10 2 103 < < ×Re 5
n
 
 , (23) y x y x y xo
n n( ) [ ( ) ( )] /= + ∞ 1
 
onde referem-se, respectivamente, aos regimes de Stokes e Newton, e o 
“valor ótimo” de n é determinado a partir de dados experimentais, dentro de algum critério 
estatístico. 
y x xo ( ) ( ) ye ∞
 
 Entre outras correlações apresentadas na literatura para a fluidodinâmica da partícula 
isométrica, cabe mencionar as de Concha e Barrientos (1986) e Haider e Levenspiel (1989). 
Estas correlações, baseadas essencialmente nos dados experimentais de Pettyjohn e 
Christiansen (1948), são de complexidade e precisão equivalentes àquelas apresentadas na 
tabela (3). 
 
 Em algumas situações foram levantadas correlações específicas para descrever a 
fluidodinâmica da partícula não-isométrica (Concha e Christiansen, 1986), porém, na falta 
destas, utilizam-se os resultados relativos à partícula isométrica, caracterizando a forma da 
partícula não-isométrica através da esfericidade. 
 
 
 
 
16 
 
 
Tabela 2 - Fluidodinâmica da partícula esférica isolada: 
Correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Lapple & Shepherd 
(1940) e Pettyjohn & Christiansen (1948). 
 
 
Re < ×5 104 
 
 
Correlação 
 
 
n 
 
Valor Médio e Desvio Padrão 
 
n/1
n
n
D 43,0
24c 


 +

=
Re
 
 
 
 
0,63 
 
( )
( )
, ,exp
c
c
D
D cor
= ±1 00 0 09 
 
Re Re Re
2 2
= 

 +










− − −
c cD
n
D
n n
24 0 43
2 1
,
/ /
 
 
 
 
0,95 
 
( )
( )
, ,exp
Re
Re cor
= ±1 00 0 06 
 
Re
Re Re
= 

 +










24 0 43
2 1
c cD
n
D
n n
/
,
/
/ /
 
 
 
 
0,88 
 
 
( )
( )
, ,exp
Re
Re cor
= ±1 00 0 09 
 
 Re Re Re2= = − = −D U bD b
U
P F
D
F S F P
D
S F
F
ρ
µ
ρ ρ ρ
µ
ρ ρ µ
ρ2 3,
( ) , / ( ) c c4
3
4
3
3
2 
 
17 
 
 
Tabela 3 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: 
Correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Pettyjohn & Christiansen 
(1948). 
 
 
 0 65 1 5 104, < ≤ < ×φ e Re
 
Correlação 
 
 
n 
 
Valor Médio e Desvio Padrão 
 
c
K
KD
n
n
n
= 

 +






24
1
2
1
Re
/
 
 
 
 
0,85 
 
( )
( )
, ,exp
c
c
D
D cor
= ±1 00 0 13 
 
Re Re Re
2 2
= 

 +










− − −
K c c
K
D
n
D
n n
1
2
2 1
24
/ /
 
 
 
 
1,2 
 
( )
( )
, ,exp
R
R
e
e cor
= ±1 00 0 10 
 
Re
Re Re
= 

 +










24
1
2
2
1
K c
K
cD
n
D
n n
( / ) /
/ /
 
 
 
 
1,3 
 
 
(Re)
(Re)
, ,exp
cor
= ±100 014 
 
 Re = = − = −D U bD b
U
P F
D
F S F P
D
S F
F
ρ
µ
ρ ρ ρ
µ
ρ ρ µ
ρ2 3, Re
( ) , / Re ( ) c c2
3
2
4
3
4
3
 
 
 K K1 10 20 843 5 31 4 88= =, log ( , , ,φ / 0,065) φ −
 
 
 
 
18 
 
 
Tabela 4 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: 
Cálculo da velocidade e do diâmetro da partícula (Pettyjohn & Christiansen, (1948). 
 
 
 0 65 1, < ≤φ
 
 
Variável a Ser Estimada 
 
 
Regime de Stokes 
Re < 0 5, 
 
Regime de Newton 
10 5 103 4< < ×Re 
 
cD 
 
 
24
1K Re
 
 
K2 
 
 
U 
 
 
( )ρ ρ
µ
S F− bK D1 2
18
p 
 
4
3 2
1 2( ) /ρ ρ
ρ
S F p
F
bD
K
−



 
 
 
 
Dp 
 
 
18
1
1 2µ
ρ ρ
U
bKS F( )
/
−




 
 
 
3
4
2
2ρ
ρ ρ
F
S F
K U
b( )− 
 
 K K1 10 20 843 5 31 4 88= =, log ( , , ,φ / 0,065) φ −
 
 
19 
 
 
Exemplo 
 
 
 Deseja-se estudar a possibilidade de separar o minério A do minério B através da 
elutriação com corrente ascendente de água. 
 
 
 
 
Propriedades do minério A: ρ φ SA A= =2 2 0 703, / ,g cm e 
SB B= =3 2 0 853, / ,g cm e 
0149 0 595, ,< <D mmP
mm
s
m
s
mm
m
Água
A+B
A+B
A
 
Propriedades do minério B: ρ φ 
 
Faixa granulométrica da mistura A+B: , 
correspondendo às peneiras 28/100 # Tyler. 
 
 
 
 
 A velocidadede elutriação de água (20ºC) que permite recuperar a maior quantidade 
possível do produto A puro é igual à velocidade terminal da menor partícula de B, isto é, 
. Resulta da tabela 3, utilizando as propriedades de B: , 
 e, deste último, . 
DPB = 0149,
Re ,= 2 93
cD Re ,
2 95 2=
u v cmF tB= = 197, /
 
 Conhecida a velocidade de elutriação, é possível calcular o diâmetro da maior 
partícula de A presente no produto arrastado. A tabela (3) leva aos seguintes resultados 
utilizando as propriedades de A: c , e, deste último, . D / ,Re = 2 05 Re ,= 3 97 D mPA = 0 202,
 
 Em conclusão, a velocidade de elutriação leva a um produto de topo 
constituido de A puro na faixa granulométrica ; o produto de fundo é 
constituido de uma mistura de A e de B . 
Cabe salientar que esta análise trata apenas das condições de separabilidade dos componentes 
A e B na elutriação e nada informa sobre a cinética de separação. Pode-se esperar que as 
partículas maiores de A sejam arrastadas muito lentamente e que as partículas menores de B 
sedimentem também muito lentamente. 
u cm= 197, /
149 0 202, < <DP
595, mm
0 ,
)0< <D 0(0 202, P ( )149 0 595, ,< <D mP
 
Efeito da presença de fronteiras rígidas 
 
 Resultados analíticos reunidos na tabela (1) evidenciam que a fluidodinâmica da 
partícula é influenciado pela presença de fronteiras rígidas, resultando uma redução na 
velocidade terminal em relação à velocidade terminal da partícula isolada, v . ∞
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Almeida (1995) estudou experimentalmente o 
movimento da partícula isométrica ao longo do eixo 
principal de um tubo cilíndrico com diâmetro , 
resultando a figura (1) e as correlações empíricas 
apresentadas na tabela (5). Cabe ressaltar que as 
correlações clássicas de Francis (1933), regime de Stokes, 
e de Munroe (1888), regime de Newton, válidas para 
esferas, podem ser utilizadas também para partículas 
isométricas. 
Dt
 
 
 
vt
Dt
 
 
 
Francis (1933)
Almeida (1995)
Munroe (1888)
10310
2
10110-110-2
10-2
0,2
= 0,5
Re =∞
0,3
D p
D t
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0
0,05
0,1
0,3
0,2
β=
0,4
vt
v∞
µ
D vp ∞ρF
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Efeito de parede na velocidade terminal da partícula isométrica (Almeida, 1995). 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
Tabela 5 - Efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em fluido newtoniano 
(Almeida, 1995): . 5,0D/D0 e 165,0 tP ≤<≤φ<
 
 
 
Re∞ ∞= D vP Fρµ 
 
 
k v
v
D DP t P t= =
∞
, / β 
 
< 0,1 
(Francis, 1933) 
 
 
kP = −−




1
1 0 475
4β
β, 
 
 
 
0 1 103, − 
 
 
k
AP B
= + ∞
10
1 Re
 
 
A e= = × −−8 91 117 10 0 2812 79 3, , , ,, β β B 
 
 
> 103 
(Munroe, 1888) 
 
kP = −1 3 2β / 
 
 
 
 
Re = − =
24 0 85
1
3 54
2
1K
e
c KD
n n n
,
/( )
,
β
 n , para 35<Re
 
2
tF
PFS
D
v
gD)(
3
4c ρ
ρ−ρ= 
 
K1 10 20 843 0 065
5 31 4 88= =, log
,
, , ,φ φ K − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
Exemplo 
 
 Deseja-se planejar uma experiência que consiste na medida da velocidade terminal 
limitando, com a escolha adequada do diâmetro do cilindro de testes, o efeito de parede a 5%, 
isto é, k v
vP
t= >
∞
0 95, . A partícula tem diâmetro . Utilizando as correlações de 
Francis e Munroe, tabela (5), 
D mP = 5 m
 
 Regime de Stokes : ; D D mmt P t/ ,> >41 205 D
 Regime de Newton: . D D mmt P t/ ,> >8 40 D
 
 Os resultados evidenciam que o efeito da parede e bem mais agudo no regime de 
Stokes que no regime de Newton. 
 
Influência da concentração de partículas 
 
 
V
, )
Um grande número de dados experimentais apresentados na literatura evidencia que a 
velocidade terminal de uma partícula tem seu valor substancialmente reduzido pela presença 
de outras partículas. Esta redução, tanto mais sensível quanto maior a concentração de 
sólidos, é da ordem de 5% para concentrações de apenas 2%, como mostra a equação de 
Einstein (Govier e Aziz, 1972, p. 98). 
 
 , (24) v v ct / / ,∞ = +1 1 2 5( )
 
onde v é a velocidade terminal da partícula isolada e a fração volumétrica da fase sólida 
na suspensão. 
∞ cV
 
 O efeito da presença da fase particulada na fluidodinâmica de suspensões é 
comumente expresso através de correlação do tipo (Richardson e Zaki, 1954). 
 
 , (25) U v f/ Re∞ ε= ∞(
 
onde U é o módulo da velocidade relativa fluido-partícula, 
 
 U = −v u , 
 
Re∞ o número de Reynolds referente à velocidade terminal da partícula isolada, 
 
 Re∞ ∞= D vP Fρµ , 
 
ε, a porosidade, é a fração volumétrica de fluido na suspensão, 
 
 . ε = −1 cV
23 
 
 
 As correlações referentes à equação (25) podem ser determinadas através da 
experimentação conduzida na sedimentação em batelada e na fluidização homogênea: no 
primeiro caso U v , onde v é a velocidade da frente de sedimentação; no segundo caso 
, sendo a vazão de fluido e a A área da seção transversal de fluidização 
(Barnea e Mizrahi, 1973). A experimentação torna-se imprecisa quando a faixa 
granulométrica das partículas sólidas é extensa e quando a concentração de sólidos é 
reduzida, inferior a 5% em volume, resultando nas duas situações uma interface fluido-
suspensão pouco nítida por problemas de segregação de partículas. 
= / ε
) QU Q AF= / (ε F
 
 A maioria das correlações apresentadas na literatura referem-se a amostras com 
partículas "arredondadas", em faixa granulométrica "estreita" representada por um diâmetro 
médio que possivelmente não caracteriza a fluidodinâmica da suspensão. Como conseqüência 
da caracterização incompleta do sistema particulado, as correlações da literatura podem 
diferir substancialmente entre si. São apresentadas na tabela (6) as correlações de Richardson 
e Zaki (1954) para partículas arredondadas, a de Politis e Massarani (1989) para partículas 
irregulares e outras resultantes dos dados experimentais reunidos por Concha e Almendra 
(1978). Na figura (2) é feita a comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e 
Almendra (1979) para partículas arredondadas: as maiores discrepâncias ocorrem quando a 
porosidade é elevada e na região intermediária entre os regimes de Stokes e Newton. 
24
 
 
Tabela 6 - Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões. 
 
 
A. Correlação de Richardson e Zaki (1954) para partículas arredondadas: 
 
 U v nn/ (∞ ∞= =ε , R n )e 
 
 
Re∞ < 0,2 0,2-1 1-500 > 500 
 
n 
 
3,65 
 
4 35 10 03, Re ,∞− − 
 
4 45 10 1, Re ,∞− − 
 
1,39 
 
 
B. Correlação de Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares (areia, hematita, 
itabirito, dolomita e quartzo, 0,47<φ<0,80). 
 
U v/ , Re, Re
,
∞ ∞= <∞
−ε5 93 0 14 700 9,5 < . 
 
O diâmetro médio é a média aritmética da abertura das peneiras de corte. 
 
C. Correlações empíricas estabelecidas com base nos dados experimentais reunidos por 
Concha e Almendra (1978) (Massarani e Santana, 1994) 
 
 
Re , , , ,
, , ,
, ,
,
Re ,
Re
, , ,
, , , ,
Re , , ,
,
,
∞
∞
∞
∞ ∞−
−
∞
∞
< = −

< ≤
< <
< < = + < <
= = −
> × =
0 2 0 83
4 8 3 8
0 5 0 9
0 9 1
1 500 1
1
0 5 0 95
0 28 0 35 0 33
2 10 0 095 2 29
3 94
5 96
3
 U
v
U
v A
A B
U
v
B
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε εexp( ), 0,5 < < 0,95.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
 ε = 0,95
0,95
0,90
0,90
0,80
0,80
0,70
0,70
0,60
0,60
1
U/v∞
103
Richardson e Zaki
Almendra
Re∞
10410210110-110
-2
 
 
 
 
Figura 2 - Influênciada concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões: 
comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e Almendra (1979). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 Outra estratégia que pode ser adotada na análise de fluidodinâmica de suspensões 
consiste em considerar o comportamento isolado de uma partícula no seio da mistura sólido-
fluido, mistura esta caracterizada pela densidade e viscosidade ρSusp e µSusp(Govier e Aziz, 
1972, p.98; Massarani e Santana, 1994). Assim, no regime de Stokes, tabela (4), 
 
 U
18
DgK)(
v
Susp
2
P1SuspS ε=µ
ρ−ρ= . (26) 
 
Sendo 
 
 v gK DS F∞ = −( )ρ ρ µ
1
2
18
P (27) 
 
e 
 
 , (28) ρ ρ ε ρ ρS Susp S F− = −( )
 
resulta, combinando as equações (25) a (28), 
 
 µ µ µSusp (= =
∞
∞U v
f
/
/ Re ,ε) . (29) 
 
 Finalmente, cabe indagar em que medida podem estar relacionados entre si os 
resultados clássicos da fluidodinâmica nos meios de densos, estabelecidos no contexto da 
Teoria de Misturas, e os da fluidodinâmica de suspensões estabelecidos a partir do 
comportamento da partícula isolada. O assunto será abordado nos capítulos 3 e 4. Demonstra-
se, por exemplo, que no regime de Stokes 
 
 U D gP S F= ⋅ ⋅ − ⋅ −
1
36 1
2 2
µ
φ
β
ε
ε ρ ρ
( ) ( ) (30) 
 
ou, de modo equivalente, 
 
 cD = ⋅ ⋅ − ⋅43
36 1 1
2 2
β
φ
ε
ε Re , (31) 
 
sendo 
 
 β ε ε= − <3 82 1 0 977 21, / ( ) ,, e .
 
 
 
 
27 
 
 
Exemplo 
 
 
 Deseja-se calcular a porosidade no transporte vertical ascendente, em duto com 
diâmetro , de partículas sólidas com as seguintes propriedades: diâmetro 
, densidade ρ e esfericidade 
D ct = 51,
mm
m
DP = 1 S g cm= 3 3/ φ = 0 75, .
 
 a) O fluido é água e as vazões de fluido e sólido são 
respectivamente Q . 
( /ρ µF g cm= 1 3 e = 0,9cP)
h Q m hF S= = 33 3/ /e m15
 
 b) O fluido é ar a 20ºC e 1 atm e as 
vazões de fluido e sólido são respectivamente . 
( , /ρ µF g cm= × ×−1 2 10 3 3 e = 1,8 10 cP)-2
Q m h Q m hF S= =39 9 1 323 3, / , /e 
 
 A porosidade no transporte vertical pode ser calculada resolvendo a equação (25), 
 
 U Q
A
Q
A
v fF S= − − = ∞ ∞ε ε ε( ) ( ,1 Re )
m
, 
 
onde é a área da seção transversal do duto. Uma estimativa do valor da 
porosidade pode ser alcançada a partir do conhecimento das vazões de cada fase, 
A c= 20 4 2,
 
 α εε ε
ε
ε ε
= + = + − = + −
Q
Q Q
u A
u A v A v
u
F
F S ( ) ( )1 1
. (32) 
 
Quando v
u
 tende a 1, ε tende a α. 
 
Na solução deste exemplo admite-se que as correlações de Richardson e Zaki (1954), tabela 
(6), sejam válidas apesar das partículas não serem arredondadas. 
 
 2Re∞Dc 
(eq. 21) 
Re∞ 
(tab. 3) 
n 
(tab. 6) 
v∞ 
(cm/s) 
α 
(eq. 32) 
ε 
(eq. 25) 
u 
(cm/s) 
v 
(cm/s) 
u
v
 
Trans. 
Hidráulico 
 
 
3,23x104 
 
134 
 
1,73 
 
12,1 
 
0,833 
 
0,829 
 
246 
 
239 
 
1,03 
Trans. 
Pneumático 
 
 
1,45x105 
 
295 
 
1,52 
 
443 
 
0,968 
 
0,921 
 
592 
 
228 
 
2,60 
 
 
28 
 
 
 O fato da densidade e viscosidade da água serem muito maiores do que estas 
propriedades para o ar explica os resultados esperados de que a velocidade de deslizamento 
 é muito menor no primeiro caso do que no segundo. u v−
 
3. O Movimento Acelerado da Partícula 
 
 O movimento retilínio acelerado de uma esfera no seio de um fluido newtoniano, 
regime de Stokes, foi estudado no final do século passado por Basset (Berker, 1963, p.241). 
No caso da queda livre da partícula partindo do repouso em fluido inicialmente estagnado a 
força resistiva toma a forma indicada na tabela (1): 
 
 l ττ−
τπµρ+µπ+ρ= ∫ dtd
dv
)(D
2
3)t(vD3
dt
dvV
2
t 
0 
2/1
F
2
P
F . (33) 
 
O primeiro termo do segundo membro da equação fornece o valor da força resistiva que o 
fluido ideal em escoamento potencial exerce sobre a partícula; o segundo termo exprime o 
resultado clássico de Stokes para o movimento retilíneo e uniforme de uma esfera em fluido 
viscoso; o terceiro termo evidencia a ação “hereditária” do fluido sobre a partícula, pois 
explicita o fato de que a força resistiva depende da história da aceleração da partícula. 
 
 Substituindo a equação (33) na equação do movimento da partícula, equação (6), 
resulta a equação integro-diferencial 
 
 ρ ρ ρ ρ π µ πµρ τ τ τS
F
P S F P FV
dv
dt
V g D v t D
dv
d
t
d+

 = − − − −∫2 3 32 2 1 2 0( ) ( ) ( ) / 
 t
, (34) 
 
que pode ser resolvida analiticamente por diferentes técnicas (Clift et al., 1979, p. 285; 
Hackenberg, 1991). 
 
 O resultado expresso pela equação (34) mostra que a aceleração inicial da partícula 
 
 a S F
S F
( ) (0 2
2
= −+
ρ ρ
ρ ρ g
) , (35) 
 
tende ao valor da intensidade do campo gravitacional g quando ρS >> ρF e que esta 
aceleração é nula no caso limite em que as densidades do fluido e da partícula forem iguais 
entre si. Desprezando o efeito da história da aceleração da partícula, a integração da 
equação (34) fornece 
 
 v
v v D
tt
t S F−
= +




exp
( )
36
2 2
µ
ρ ρ , (36) 
 
onde v é a velocidade terminal da partícula t
29 
 
 
 
 v gDt S F= −( )ρ ρ µ
2
18
 . 
 
 
Exemplo 
 
 
 O diâmetro da esfera sólida de densidade em queda livre no ar 
e na água ( , no limite 
de validade do regime de Stokes, 
ρS g cm= 3 3/
/ρF g cm= 1( , / ,ρ µS g cm P= × = ×− −1 2 10 18 103 3 4 e ) 0 2, )µ P= −13 
 
 Re∞ = =Dvt Fρµ 0 5, , 
 
é de respectivamente 43µm e 77µm. Para os sistemas assim definidos, a integração da 
equação (34) e a equação (36) conduzem à figura (3) (Hackenberg, 1991). Pode-se observar 
que o regime permanente é atingido em fração de segundo, sendo que a água leva a uma 
resposta mais rápida inicialmente e mais retardada ao final. O efeito da história da aceleração 
da partícula é importante no caso da água e desprezível no caso do ar. 
 
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
água
ar
Eq. (34)
Eq. (36) ar
água
1
v/vt
t (s)0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
Figura 3 - Movimento acelerado das esferas com densidade e diâmetro 
em ar e em água . 
3 3g cm/ D m= 43µ
D = 77µm (Re , )∞ = 0 5
 
 Face às evidentes dificuldades tanto na abordagem teórica quanto experimental, a 
literatura evidencia uma grande carência de informações relativas ao movimento acelerado da 
30
 
 
partícula fora do regime de Stokes e quando estas não são esféricas (Marchildon e Gauvin, 
1979; Renganathan et al., 1989). Na situação em que ρS >> ρF, Renganathan et al. (1989), em 
abordagem empírica, consideram a queda livre da partícula como descrita pela equação do 
movimento 
 
 m dv
dt
V g D c vP P S D F= −ρ π ρ
2 2
4 2
 (37) 
 
em que o coeficiente de arraste c f preserva a forma funcional das correlações 
alcançadas no movimento estabelecido, . 
D = (Re
c fD =
)
λ*
∞ ∞( )Re
 
 
4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não Newtoniano 
 
 Os estudos teóricos relativos ao escoamento de fluidos não newtonianos nas 
vizinhanças de esferas rígidas restringem-se aos casos em que prevalece o regime de Stokes. 
Neste sentido, cabe mencionar os trabalhos de Caswell (1962, 1970). 
 
 A estratégia usada neste capítulo e nos seguintes consiste em estender a formulação 
clássica sobre a dinâmica da partícula sólida em fluidos newtonianos para contemplar também 
uma classe ampla de fluidos não newtonianos: o elo de ligação é a viscosidade efetiva µef que 
pode ser calculada através da tensão cisalhante S, uma propriedade material do fluido, e da 
taxa de deformação característica λ∗ , uma propriedade cinemática de escoamento (Massarani 
e Silva Telles, 1978), 
 
 (38) µ λef S= ( ) /*A taxa de distensão característica λ∗ pode ser determinada empiricamente através da 
medida experimental da velocidade da partícula com o auxílio, por exemplo, das relações 
 apresentadas nas tabelas (3), (5) e (6) na seguinte seqüência: cD × Re
 
 v c D b
v
D v
S
t D
S F P
F t
ef
P t F→ = − → → = →
=
4
3 2
( )
( ) /
*
* *
ρ ρ
ρ µ
ρ λ
µ λ
Re
Re
ef
 
 a partir
de
λ
 . 
 
 A propriedade cinemática λ pode ser representada do modo, *
 
 
D
v* α=λ (39) 
 
onde v* e D* são respectivamente uma velocidade e dimensão características e α um fator de 
configuração adimensional. Estão reunidos na tabela (7) os resultados obtidos para a dinâmica 
da partícula isolada e nos casos em que são levados em conta os efeitos de parede e de 
concentração. 
 
31 
 
 
 
 Tabela 7 - Dinâmica da partícula sólida em fluido não-newtoniano 
 
 
Descrição 
 
 
Taxa de Distensão λ∗ 
 
Referência 
Partículas esféricas e não 
esféricas isoladas P
2
D
v)62,346,1385,8(39,0 −φ+φ− Laruccia (1990) 
Deslocamento da partícula 
esférica ao longo do eixo 
principal do tubo )5,0D/D(
D
ve39,0
t
81,6
<=β
⋅β
 
 
Almeida 
(1995) 
Efeito de concentração na 
fluidodinâmica de 
partículas )9,0(
D
U19
P
<ε
⋅φε
ε−
 
 
Silva Telles e 
Massarani (1979) 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 Reômetro de Stokes para fluidos não newtonianos 
 
Deseja-se determinar a relação para um fluido 
não newtoniano através da medida da velocidade de 
deslocamento de esferas neste fluido. Diâmetro do tubo, 
. Densidade do fluido, ρ . 
Dados: 
S S= ( )λ
D mt = 20 m 3F cm/g15,1=
 
Dt
v
Exp. 
nº 
ρS 
(g/cm³) 
D 
(cm) β 
v 
(cm/s) 
1 2,55 0,20 0,10 0,72 
2 2,55 0,50 0,25 3,61 
3 3,98 0,30 0,15 3,78 
4 3,98 0,50 0,25 8,87 
5 7,60 0,30 0,15 9,85 
6 7,60 0,50 0,25 22,3 
 
32 
 
 
 
Resulta: 
 
 
Exp. nº 
λ*( )s−1 
(tab. 7) 
cD 
(eq. 14) 
Re 
(tab.5) 
)P( 
vD FP
ef Re
ρ=µ
 
)cm/dyn( 
)(S
2
*
ef
* λµ=λ
 
1 2,77 614 0,056 2,96 8,20 
2 15,1 61,1 0,957 2,17 32,8 
3 13,6 67,6 0,606 2,15 29,2 
4 38,0 20,5 2,94 1,73 65,7 
5 35,6 22,7 1,86 1,83 65,2 
6 95,5 7,38 8,75 1,47 140 
 
 O resultado pode ser expresso de modo conveniente através de 
, válido para . 280,0 cm/dyn 65,3S λ= 1s1002 −<λ<
 
 
 
 
 
33 
 
 
Problemas: Fluidodinâmica da Partícula Sólida 
1. Foram os seguintes os resultados obtidos na elutriação de 25 g de um pó industrial com 
água a 30°C, numa vazão de 37 cm3/min: 
 
Elutriador Diâmetro do 
tubo (cm) 
Massa 
recolhida (g) 
1 3,0 4,62 
2 4,0 6,75 
3 6,0 7,75 
4 12,0 4,42 
 
 
 
 
Determinar a distribuição granulométrica da amostra em termos do diâmetro de Stokes, 
sabendo-se que a densidade do sólido é 1,8 g/cm3. 
 
Resposta: 
 
Elutriador Diâmetro (cm) Velocidade do fluido 
(cm/s) 
DP 
(µm) 
X 
 
1 
 
3,0 
 
8,72×10-2 
 
44,9 
 
0,815 
 
2 
 
4,0 
 
4,91×10-2 
 
33,7 
 
0,545 
 
3 
 
6,0 
 
2,18×10-2 
 
22,4 
 
0,235 
 
4 
 
12,0 
 
5,45×10-3 
 
11,2 
 
0,058 
 
 
 
34 
 
 
2. Calcular a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas em querosene. 
 
Propriedades do fluido: densidade 0,9 g/cm3 e viscosidade 2,3 cP. 
Propriedades das partículas: densidade 2,3 g/cm3, diâmetro médio 0,8 mm, esfericidade 0,8. 
Concentração de sólidos na suspensão: 260 g/l de suspensão. 
 
Resposta: 
 
Porosidade da suspensão: 0,887. 
Velocidade terminal da partícula isolada: 7,71 cm/s 
Velocidade de sedimentação da suspensão: 5,25 cm/s. 
3. Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de Al2O3 em 
água, a 25°C: 
 
c gAl O cm( /2 3
3 de suspensão) 0,041 0,088 0,143 0,275 0,435 
v cm min( / ) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7 
 
A densidade das partículas é 4,0 g/cm3 e a esfericidade é estimada em 0,7. 
 
a) Determinar, pela extrapolação dos dados, a velocidade terminal das partículas à diluição 
infinita e, a partir deste valor, calcular Dp (diâmetro da esfera de igual volume que a 
partícula); 
b) Comparar os resultados experimentais com as estimativas segundo a correlação empírica 
de Richardson & Zaki. 
 
 
Resposta: 
 
Dados experimentais: 
v min R= − + =223 267 0 9962ε cm / ( , ) . 
Velocidade terminal calculada por extrapolação dos dados experimentais: 43,3 cm/min. 
Diâmetro volumétrico das partículas: 72 µm. 
 
ε 0,990 0,978 0,964 0,931 0,891 
v cm min( / ) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7 
v v cm min= ∞ε4 43, ( / ) 41,4 39,2 36,8 31,5 25,9 
4. Michael e Bolger (IEC Fundam., 1, 24, 1962) desenvolveram um método que permite a 
caracterização de partículas floculadas (diâmetro e densidade médios, grau de floculação e 
velocidade de sedimentação dos flocos). Uma vez determinada experimentalmente a 
velocidade de sedimentação da suspensão v a diferentes concentrações co, os parâmetros 
desejados podem ser estimados através do seguinte sistema de equações: 
 
 (Correlação de Richardson e Zaki) v v kco= −∞ ( ) ,1 4 65
35 
 
 
 
 
 v
D gfl fl F
∞ =
−2
18
( )ρ ρ
µ (Equação de Stokes) 
 
 ρ ρ ρ ρρfl F
S
Sk
− = − F (Balanço de massa), 
 
onde 
 
v - velocidade de sedimentação da interface lodo-líquido clarificado no ensaio em 
batelada; 
v∞ - velocidade terminal do floco à diluição infinita; 
k - volume de flocos por unidade de massa de sólido seco (fornece o grau de floculação); 
co - concentração em massa de sólido seco por unidade de volume de supensão; 
Dfl - diâmetro médio dos flocos; 
ρ fl - densidade média dos flocos; 
ρF - densidade do fluido; 
ρS - densidade do sólido seco; 
g - aceleração da gravidade; 
µ - viscosidade do fluido. 
 
Calcular as propriedades caracaterísticas ( dos flocos de hidróxido de cálcio 
de uma suspensão aquosa (agente de floculação: alúmen) sabendo-se que a 25ºC: 
, , )v D k fl fl∞ e ρ
 
c g cmo ( / )
3 6×10-3 8×10-3 10×10-3 12,5×10-3 15×10-3 20×10-3 25×10-3 30×10-3 
v cm min( / ) 4,77 4,32 3,65 3,04 2,33 2,08 1,37 0,30. 
 
A densidade do sólido seco é 2,20 g/cm3. 
 
Resposta: 
 
v∞ = 7,89 cm/min e k = 14,7 cm3/g (1ª equação). 
ρ fl = 1,037 g/cm3 (3ª equação). 
Dfl = 256 µm (2ª equação). 
5. Determinar as respectivas velocidades de elutriação para separar pó de diamante nas faixas 
0-1 µm, 1-2 µm, 2-3 µm (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula). A densidade 
36 
 
 
do diamante é 3,5 g/cm3 e a esfericidade das partículas 0,7. O fluido de arraste é água a 20ºC. 
(P.Grodzinski, “Diamond Technology”, NAG Press Ltd., Londres, 2ª edição, p. 349, 1953). 
 
Resposta: 
 
Faixa granulométrica (µm) 0-1 1-2 2-3 
Velocidade de elutriação (cm/h) 0,427 1,71 3,84. 
6. Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção 1:4 em massa é sujeita à 
elutriação com corrente ascendente de água com velocidade de 0,5 cm/s. A distribuição 
granulométrica dos dois materiais é a mesma: 
 
Dp (µm) 20 30 40 50 60 70 80 100 
100X 15 28 43 54 64 72 78 88. 
 
Calcular a percentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo. 
Galena: densidade 7,5 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,8. 
Calcário: densidade 2,7 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,7. 
Temperatura da água: 20ºC. 
 
Resposta: 
 
Análise granulométrica da alimentação 27,2
pD
6,441
1X



+
= , Dp em µm. 
 
 
Material c
g
uD
S F
F
/ ( )Re = −4
3 2 3
ρ ρ µ
ρ 
 
Re 
Diâmetro 
Crítico, µm 
% Massa 
Arrastada 
Calcário 178 0,395 73,8 0,76 
Galena 680 0,196 39,2 0,43% galena na alimentação : 20,0 
% galena no produto de fundo: 37,3 
% galena no produto de topo : 12,4. 
7. O separador de poeira opera em 3 compartimentos, como mostra o esquema abaixo 
representado. Estimar a faixa granulométrica das partículas retidas em cada compartimento 
sabendo-se que a vazão de gás (ar a 20ºC e 1 atm) é 140 m3/min, a densidade das partículas é 
3 g/cm3 e sua esfericidade 0,75. 
37 
 
 
 
 
Resposta: 
 
Compartimento L m( ) v H u
m s
t = /
( / ) 
L c
g
vD
S F
F t
/ ( )Re = −4
3 2 3
ρ ρ µ
ρ
 Re DP
m( )µ 
Faixa 
Granulométrica 
( )µm 
1 1,5 0,390 8,27 1,84 72,2 >72,2 
2 3 0,195 66,2 0,640 49,2 49,2-72,2 
3 4,5 0,130 223 0,347 40,0 40,0-49,2 
8. Dimensionar um rotâmetro tronco de cone-esfera para medir a vazão de água (20ºC) na 
faixa de 1 a 3 m3/h. O flutuador é uma esfera de aço com 1 cm de diâmetro e densidade 7,7 
g/cm3. Que faixa de vazões este mesmo rotâmetro mediria se o fluido fosse ar a 20ºC e 1 
atm? 
 
Resposta: 
 
A altura h não influencia o desempenho do rotâmetro. Pode ser da ordem de 20 cm por 
questão de comodidade e precisão na leitura da escala do aparelho. 
Faixa de vazão de ar: 30,4 a 97,8 m3/h. 
 
 
 
38 
 
 
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Particulados”, Revista Brasileira de Física, vol. 9, nº 2, 535-547 (1979). 
40 
 
 
Capítulo 2 
A Decantação 
 
 
 
1. A Trajetória da Partícula 
 
 O processo de separação sólido-fluido conduzido a partir de suspensões diluidas - a 
decantação - pode ser analisado através do estudo da trajetória das partículas no interior do 
equipamento de separação (Brauer, 1982). 
 
 Considera-se nesta análise que: 
 
 a) As partículas sejam caracterizadas individualmente através do diâmetro volumétrico 
 e da esferacidade φ ; DP
 
 b) A distribuição de tamanhos das partículas, isto é, a análise granulométrica, seja 
expressa por , sendo X a fração em massa das partículas com diâmetro menor que 
; 
X X DP= ( )
DP
 
 c) O campo de velocidades do fluido não pertubado pela presença das partículas seja 
; u u x= ( )
 
 d) Os efeitos da aceleração e concentração de partículas sejam desprezíveis no 
comportamento dinâmico destas partículas. 
 
 Como visto no capítulo anterior, a equação do movimento de translação da partícula é 
expressa por 
 
 0 = l (+ (1) bPF V)ρ−ρS
 
 l vuUU −=ρ= ,c
2
A
DF U (2) 
 
 c f D UD P F= =( , ), ,Re φ ρµ Re U U= . (3) 
 
 
Nestas equações ρ e µ são respectivamente a densidade e a viscosidade do fluido, ρ a 
densidade das partículas, l a força resistiva que o fluido exerce sobre a partícula, A e V a 
área projetada ( e V o volume ( da partícula, b a intensidade do campo 
exterior, o coeficiente de arraste, u, v e U respectivamente a velocidade do fluido, a 
velocidade da partícula e a velocidade relativa fluido-partícula. 
F
DP
2
S
P
/ )π 4 P / )πDP3 6
cD
 
 Seja a situação simples em que se deseja determinar o diâmetro da partícula que 
percorre a trajetória assinalada na figura (1) representando uma fenda retangular com 
41 
 
 
dimensões B, H e L. Na situação de maior interesse tecnológico H<<B, o que equivale a 
considerar o escoamento como ocorrendo entre placas paralelas. O efeito da aceleração da 
partícula não é levado em conta. 
 
 
 
B L
H u
v
x
yh
(cortetransversal) (corte longitudinal)
 
Figura 1 - Fluidodinâmica da partícula na fenda de seção retangular 
 
Equação do movimento da partícula: 
 
 Componente na direção x A c U u vF D x x, ( 0 2
0= −ρ ) + ; 
 
 Componente na direção y A c U v V gF D y S F P, ( ) ( 0 2
0= + − −ρ ρ )ρ
x
y
 
 
Resulta da primeira equação que e , portanto, v ux =
 
 [ ]U u v v vx x y= − + + =( ) ( ) /2 2 1 20 .
 
 Substituindo este resultado na segunda equação, vem 
 
 v V gA c
y
S F P
F D
= −






( )
/
ρ ρ
ρ
2
1 2
 
 
que representa, segundo a equação (14) do primeiro capítulo, a velocidade terminal da 
partícula isolada, v . Portanto, desprezando o efeito da aceleração da partícula: t
 
 Na direção do escoamento do fluido, ; v ux x=
 Na direção normal ao escoamento do fluido, v v . y t=
 
 Voltando à figura da fenda de seção retangular, pela composição do movimento da 
partícula 
42 
 
 
 
 h
v
L
ut h
= , (4) 
 
onde u h é a velocidade média do fluido em 0 . Portanto, ≤ ≤y h
 
 v
h u
Lt
h= e c g
vD
S F
F t
/ ( )Re = −4
3 2 3
ρ ρ µ
ρ
 
que permite calcular Re (tabela 2 do capítulo 1) e dele o valor do diâmetro da partícula 
desejado. 
 
 A situação mais desfavorável para a captura da partícula corresponde à posição h=H, a 
espessura de separação da câmara. O diâmetro crítico especifica as condições limites de 
separabilidade no equipamento em análise: partículas com diâmetros maior que são 
coletadas com eficiência de 100% independentemente da posição em que ingressam na 
câmara de separação. A equação (4) toma a forma 
Dpc
Dpc
 
 H
v
L
ut
= , (5) 
 
a equação de projeto para a separação de partículas na fenda de seção retangular. 
 
 
Exemplo 
 
 
 O sedimentador lamelado é constituido por um conjunto de fendas com seção 
retangular em que a espessura de separação em cada fenda H/n é muito menor que o 
comprimento L. A inclinação das lamelas, da ordem de 40º , permite a retirada contínua por 
gravidade das partículas depositadas nestas lamelas. 
 
 
 
L HH/n
θ
Suspensão
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 A velocidade terminal da partícula com diâmetro crítico é, analogamente à 
equação (5), 
Dpc
 
 v
H u
L H
H u
Lt
= + ≅cos sen cos θ θ θ . 
 
Sendo Q BH u= a vazão de suspensão que alimenta o sedimentador lamelado, resulta a 
equação de projeto 
 
 , v Q At = / *
 
onde é a área projetada das n lamelas ativas no plano horizontal. A nBL cos * = θ
r/ e
 
 
Exemplo 
 
 
 Deseja-se determinar o tempo consumido para que uma partícula se desloque, num 
campo centrífugo, da posição radial r até a parede do equipamento de separação. 
 
 
Fluido
Ω
vθ
vr
r
v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na situação representada na figura, os componentes da velocidade do fluido são 
 e (Bird et al., 1960, p.96) e do campo centrífugo b , sendo ê 
a velocidade angular da carcaça cilíndrica. Desprezando a aceleração da partícula, resulta da 
equação do movimento: 
ur = 0 u rθ = Ω b vr = θ2 θ = 0
 
 v dr
dt
v V bA c
r t
S F P r
F D
= = = −






( )
/
ρ ρ
ρ
2
1 2
 (6) 
 
 , (7) v u rθ θ= = Ω
 
44
 
 
onde v é a velocidade terminal da partícula no campo centrífugo. A integração da equação 
(6) para a partícula esférica e regime de Stokes leva ao valor do tempo desejado, 
t
 
 2
FS D)(
18t Ωρ−ρ
µ= .ln(R/r) (8) 
 
 
2. Separação Sólido-Fluido na Fenda de Seção Retangular 
 
 O projeto e a análise do desempenho do equipamento de separação sólido-fluido 
podem ser realizados em base aos seguintes resultados: 
 
 a) Equação que relaciona o diâmetro de corte D∗ às propriedades físicas do sistema 
particulado, às dimensões do equipamento e às condições operacionais; 
 
 b) Função eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D, 
 
 (9) η η= ( / *D D )
 
que depende da configuração do equipamento, do regime de escoamento do fluido e da 
dinâmica da partícula; 
 
 c) Função eficiência global de coleta que depende da distribuição granulométrica do 
conjunto de partículas, , X X D= ( )
 
 η η= ∫01 ( / )*D D dX ; (10) 
 
 d) Equação que relaciona queda de pressão e vazão de fluido no equipamento de 
separação. 
 
 O diâmetro de corte pode ser especificado de diferentes formas; neste texto é definido 
como sendo o diâmetro das partículas que são coletadas com eficiência de 50% no 
equipamento de separação. 
 
 Na análise da separação sólido-fluido em camada delgada ( conduzida no 
equipamento representado na figura (1) serão consideradas as seguintes hipóteses: 
)H B<<
 
 a) As partículas estão igualmente distribuidas na alimentação, x , 
independentemente do valor do diâmetro. Portanto, a eficiência de coleta da partícula com 
diâmetro D que percorre a trajetória assinalada na figura é 
= 0
 
 , (11) η( ) /D h= H
 
estando o diâmetro de corte associado a h H . = / 2
45
 
 
 
 b) O escoamento de fluido na fenda é laminar, resultando (Bird et al., 1960, p.62) 
 
 u u y
H
y
H
= − 








6
2
 (12) 
 
 
H2/H
h 
0 h
uu u
H
h
H
h
3
1
2
1u6udy
h
1u
==


 −== ∫ (13) 
 
 Q HB u BH p
L
= = −


1
12
3
µ
∆ , (14) 
 
onde Q é a vazão de fluido e a queda de pressão no equipamento. ∆p
 
 c) Prevalece o regime de Stokes para as partículas sólidas (capítulo 1, tabela 4) 
 
 v K gDt S F= −1
2
18
( )ρ ρ
µ (15) 
 
 . K1 100 843 0 065= , log ( / , )φ
 
 Combinando as equações (4), (11), (13) e (15) resulta 
 
 η( )
( / )
( )
( ) * *
D h
H
h
H
L v
u
L v
u
h
H
h
H
D
D
t D
h
t D
= = = = −










−1
2 2
1
2
1
12
1
2
1
3
1 2
. (16) 
 
Portanto, a função eficiência individual de coleta η η para o equipamento em 
questão, dentro das hipóteses consideradas, é 
= ( / *D D )
 
 ( ) , /
, /
*
*
*
3 2 1
2
2
1 2
2
2
− = 

 ≤
= ≥



η η
η
D
D
D
D
 D
 D .
 (17) 
 
 A relação entre o diâmetro de corte D*, as propriedades físicas do sistema particulado, 
as dimensões do equipamento e as condições operacionais pode ser estabelecida combinando 
as equações (4) e (15) 
 
 D Q
BLK g S F
*
/
( )
= −




9
1
1 2µ
ρ ρ . (18) 
46 
 
 
 Cabe ainda mencionar que quando o escoamento de fluido é turbulento, 
 
 u Q Bh ≅ / ,H 
 
resultando da equação (16) a denominada “eficiência teórica” do equipamento de separação 
(Perry e Green, 1984, p.20-86): 
 
 η
η
= 

 ≤
= ≥



1
2
2
1 2
2D
D
D
D
*
*
*
, /
, /
 D
 D .
 (19) 
 
 
3. O Conceito Sigma e a Especificação de Centrífugas 
 
 A trajetória da partícula assinalada no esquema da centrífuga tubular, figura (2), 
permite especificar o valor D do diâmetro das partículas que são coletadas com eficiência de 
100%. Para facilitar a análise, considera-se que as partículas sejam esféricas e que prevaleça o 
regime de Stokes. 
R
fluido
u
v
fluido
u
L
z
Q
R0
 
Figura 2 - Esquema da centrífuga tubular 
47 
 
 
 Resulta da composição do movimento da partícula com diâmetro crítico, utilizando a 
equação (8), 
 
 
D)(
18
)RR(
Q
L
u
Lt
FS
2
0
2
Ωρ−ρ
µ=
−π
== ln ( )R/R 0
 
ou, explicitando a vazão de líquido, 
 
 
)R/R(nlg
L)RR(
18
gD)(Q
0
22
0
22
FS
⋅
Ω−π⋅µ
ρ−ρ= . (20) 
 
Este último resultado mostra que a capacidade da centrífuga pode ser expressa pelo produtode dois termos, um que caracteriza o sistema particulado (a velocidade terminal da partícula 
no campo gravitacional) e o outro que caracteriza a configuração, as dimensões e rotação da 
centrífuga, o fator sigma: 
 
 . (21) Q vt= Σ
 
A equação (21) constitui a base para a especificação da centrífuga para uma dada tarefa, 
conhecendo o desempenho de uma centrífuga de laboratório, ambas do mesmo tipo, operando 
com a mesma suspensão (Svarovsky, 1981): 
 
 Q QΣ Σ



 =



1 2
. (22) 
 
 
4. Ciclones a Gás e Hidrociclones 
 
 A separação de particulas no interior do ciclone é efetuada pela ação do campo 
centrífugo resultante da configuração do equipamento e do modo com que a suspensão o 
alimenta. 
 
 O estudo da fluidodinâmica da partícula no ciclone vem recebendo contribuições 
teóricas significativas, o que faz prever que em futuro próximo o projeto e a análise do 
desempenho deste equipamento deixem de ser fundamentalmente empíricos: Leith e Licht 
(1972), Bloor et al. (1980), Mothes e Löffler (1985), Barrientos e Concha (1992). 
 
 Tal como foi abordado no item 2 deste capítulo, procura-se estabelecer para ciclones 
com diferentes configurações as equações que fornecem a relação entre diâmetro de corte, 
propriedades físicas do sistema, dimensões do equipamento e condições operacionais, a 
função eficiência de coleta relativa à partícula de diâmetro D, a expressão para a eficiência 
global de coleta e a equação que relaciona vazão e queda de pressão no ciclone. Cabe 
ressaltar que a configuração do ciclone caracteriza-se por uma relação específica entre suas 
dimensões, expressa usualmente em termos do diâmetro da parte cilíndrica do equipamento, 
. Dc
48
 
 
 
 Serão estudados neste item os ciclones a gás nas configurações Lapple e Stairmand e 
os hidrociclones nas configurações Rietema e Bradley. Enquanto que os ciclones Lapple e 
Stairmand são amplamente utilizados na indústria, os hidrociclones Rietema e Bradley 
recebem o rótulo de equipamento de pesquisa e são distintos daqueles disponíveis 
comercialmente (Pereira e Massarani, 1995). 
 
As configurações 
 
 Estão especificadas na figura (3) as configurações dos ciclones a gás Lapple e 
Stairmand, e na figura (4) as configurações dos hidrociclones Rietema e Bradley. 
 
Diâmetro de corte na separação centrífuga 
 
 D
D
K D
Q
f R g c
c
c
S F
L
* /
( )
( ) (= −




⋅ ⋅µρ ρ
1 2
v )
L
v
0 5
, (23) 
 
onde é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone, K um parâmetro que depende da 
configuração, µ e Q são a viscosidade e a vazão de fluido que alimenta o ciclone, f é um fator 
de correção que leva em conta o fato de que uma fração das partículas sólidas é coletada no 
"underflow" sem a ação do campo centrífugo (efeito "T") e g um fator que leva em conta a 
concentração volumétrica de sólidos na alimentação, c (Massarani, 1991). 
Dc
v
 
 O fator f está relacionado ao quociente entre as vazões de fluido no "underflow"e na 
alimentação, , RL
 
 (24) f R ARL( ) = +1
 
 , (25) R B D DL u c
C= ( / )
 
e os parâmetros A, B, e C relacionados à configuração do ciclone, e D respectivamente os 
diâmetros do "underflow" e da parte cilíndrica do equipamento. 
Du c
 
 Para partículas arredondadas o fator g pode ser expresso através da seguinte equação 
empírica: 
 
 . (26) g c c cv v( ) / [ , ( ) , ( )]
,= − − −1 4 8 1 3 8 12
 
 Os ciclones a gás operam com suspensões mais diluidas do que os hidrociclones e 
freqüentemente a descarga de sólido é feita de modo intermitente a partir do barril acoplado 
ao "underflow" do equipamento. Por estas razões, considera-se que para os ciclones a gás f e 
g não influenciam o valor do diâmetro de corte, equação (23), ou seja, . f g= = 1
 
 Os valores dos parâmetros de configuração A, B, C e K estão reunidos na tabela (1), 
cuja validade está restrita às condições operacionais assinaladas na própria tabela. 
 
49
 
 
 
Bc
Hc
Do
Du
Dc
c
Lc
Zc
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ciclone 
 
 Lapple Stairmand 
B Dc c/ 0,25 0,20 
D Do c/ 0,50 0,50 
H Dc c/ 0,50 0,50 
L Dc c/ 2 1,50 
S Dc c/ 0,62 0,50 
Z Dc c/ 2 2,50 
D Du c/ 0,25 0,37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50
Figura 3 - Configuração dos ciclones a gás Lapple e Stairmand 
 
 
Di
Do
Du
θ
Dc
L1
L
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hidrociclone 
 
 Rietema Bradley 
D Di c/ 0,28 1/7 
D Do c/ 0,34 1/5 
L Dc/ 5 - 
L Dc1 / - 1/2 
 / Dc 0,40 1/3 
θ 10º-20º 9º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - Configuração dos hidrociclones Rietema e Bradley 
51 
l 
l 
 
 
 
Tabela 1 - Parâmetros de configuração do ciclone e condições operacionais recomendadas. 
 
Configuração K 
(eq. 23) 
A 
(eq. 24) 
B 
(eq. 25) 
C 
(eq. 25) 
β 
(eq. 32) 
u Re* *ou * D / Du c 
Lapple 0,095 - - - 315 5 20< <u m / s 0,25 
Stairmand 0,041 - - - 400 10 30< <u m / s 0,37 
Rietema 0,039 1,73 145 4,75 1200 5 103 5 104× < < ×Re 0,10-0,30 
Bradley 0,016 1,73 55,3 2,63 7500 3 103 2 104× < < ×Re 0,07-0,15 
 
 *u é a velocidade média do fluido na seção de entrada do ciclone, u Q
B Hc c
=
 **Re , onde uc é a velocidade média do fluido na seção cilíndrica do 
ciclone, 
= D uc c Fρµ
u . Q
Dc c
= π / 4
 
Função eficiência individual de coleta no campo centrífugo 
 
 A eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D pode ser 
expressa pelas correlações empíricas: 
 
Ciclones Lapple e Stairmand 
 
 η( / ) ( / )
( / )
*
*
*D D
D D
D D
= +
2
21
; (27) 
 
Hidrociclones Rietema e Bradley 
 
 η( / ) exp( / )
exp( / )
*
*
*D D
D D
D D
= −+
5
5 146
 .1 (28) 
 
 Conhecida a distribuição granulométrica das partículas, , é possível 
estabelecer o valor da eficiência global de coleta no campo centrífugo, 
X X D= ( )
 
 (29) ∫ η= 10 dXI
 
e a eficiência global alcançada no ciclone, incluindo o efeito "T", 
 
 η = − +( )1 R I RL L , (30) 
 
sendo R o quociente entre as vazões de fluido no "underflow" e na alimentação. L
 
 A integração da equação (29) para a situação bastante comum em que a distribuição 
granulométrica pode ser representada pelo modelo de Rosin-Rammler-Bennet, 
52 
 
 
 , (31) X D e D D
n
( )
'( / )= − −1
 
toma a forma (Massarani, 1991): 
 
Ciclones Lapple e Stairmand 
 
 I
n
n
n D D
D
D
= +− + ⋅
111
0 118
181 0 322
,
,
, , ( ' / )
'
* *
; (32) 
 
Hidrociclones Rietema e Bradley 
 
 I
n
n
n D D
D
D
= +− + ⋅
113
0 138
1 44 0 279
,
,
, , ( ' / )
'
* *
. (33) 
 
 Cabe ressaltar que na equação (31) X é a fração em massa das partículas com diâmetro 
menor que D e que D' e n são os parâmetros do modelo, respectivamente o diâmetro da 
partícula que corresponde a e a dispersão. X = 0 632,
 
A relação vazão - queda de pressão 
 
 A expressão clássica que relaciona vazão e queda de pressão na Mecânica dos Fluidos, 
regime turbulento estabelecido, é utilizada também para os ciclones, 
 
 β ρ=
−∆p
uF c
2 2/
 (34) 
 
 u Q
Dc c
= π 2 4/ , (35) 
 
sendo a queda de pressão medida entre o "overflow" e a alimentação. O valor de β depende da 
configuração do ciclone, como mostra a tabela (1). 
 
 
Exemplo 
 
 
O diâmetro de corte na operação do ciclone 
 
 A separação sólido-fluido no ciclone pode ser considerada, numa análise grosseira, 
como acorrendo em camada delgada, num campo centrífugo com intensidade constante. O 
diâmetro de corte está associado à metade da espessura de separação, isto é, a B . D* c / 2
 
 
53
 
 
 
Dc
Do
trajetória da
partículaVista superior do
ciclone
B
c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Admitindo que as partículas sejam esféricas e que prevaleça o regime de Stokes, resulta que o 
tempo de residência do fluido e da partícula com diâmetro D* é dado por 
 
 V
Q
B
D b
a c
S F
= −
/
( ) *
2
18
2ρ ρ
µ
r
 (36) 
 
 b r ur = =Ω2 Ω (37) 
 
 Ω = 2πN
V Q
e
a /
 . (38) 
 
Nestes resultados, V é o volume que o fluido ocupa no ciclone (pode se formar no 
hidrociclone um nucleo de ar no interior do equipamento), u e Q respectivamente a 
velocidade média na seção de entrada e a vazão de fluido, e Ne o número de espiras de fluido 
que se formam no interior do ciclone. Combinando as equações (36) a (38): 
a
 
 D B
N u
c
e S F
*
/
( )
= −




9
2
1 2µ
π ρ ρ . (39) 
 
No caso particular do ciclone Lapple, verifica-se por simples visualização que . 
Lembrando que para esta configuração 
Ne ≅ 5
 
 u Q
B H
Q
Dc c c
= = 8 2 , 
 
vem para a equação (37), 
 
 D
D
K D
Qc
c
S F
* /
( )
= −




µ
ρ ρ
1 2
 
 
54
 
 
 K = 0 095, .
 
 resultados que confirmam a equação (23) e o valor do parâmetro de configuração K, tabela 
(1). 
 
 
Exemplo 
 
 
 Deseja-se especificar uma bateria de ciclones Lapple para operar com 100 de 
gás carregado com cinzas de carvão. Densidade das partículas de carvão, ρ . 
São as seguintes as propriedades do gás: ρ µ A bateria 
deve funcionar com descarga de sólida intermitente e deseja-se uma eficiência global de 
coleta superior a 85%. Distribuição granulométrica das partículas 
3m min/
S g c= 2 3, /
, cPe .
m3
035F g cm= × =−4 43 10 03 3, / 
 
 X e D= − −1 37 7 1 5( / , ) , , . D em µm
m
s
n
m s
 
Cálculo do diâmetro de corte 
 
 Resulta da equação (32), fazendo . I D m = ′ = = =0 85 37 7 1 5 6 0, , , , ,µ µe : n D*
 
Estimativa de e do número de ciclones em paralelo Dc
 
 Fazendo na equação (39) u , como recomendado na tabela (1), e lembrando 
que , vem que o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone é dado por 
. Portanto, sendo , resulta que o número de ciclones na bateria é 
m= 15 0, /
Q uDc1
2 8= /
8/DHB 2ccc =⋅
D cm49 6,c =
 
 . N Q Q= =/ ,1 3 6
 
Novo cálculo de considerando 4 ciclones em paralelo Dc
 
 A vazão em cada ciclone é . Vem da equação (23) que 
, o que leva a uma velocidade u , valor este dentro da faixa 
recomendada para a operação do ciclone Lapple. 
Q Q m mi1
34 25= =/ /
m= 14 5, /D cc = 48
 
Cálculo da potência do soprador 
 
 Considerando apenas a perda de carga nos ciclones, a potência requerida para a 
separação é dada pela equação 
 
 P Q p
E
= ∆ 1
75
 (40) 
 
55
 
 
com P em cv, a vazão total Q em m³/s e a queda de pressão num ciclone em mm de 
coluna de água. E é a eficiência elétrica do motor, da ordem de 0,5 para motores de baixa 
potência. Resulta das equações (34) e (40) e da tabela (1): P c 
∆p1
v
, )
3
= 2 .
 
Conclusões 
 
 A unidade: bateria com 4 ciclones Lapple em paralelo, diâmetro da parte cilíndrica 
Dc= 48 cm. 
 
 Capacidade da unidade: 100 de ar carregado com cinzas de carvão 
. 
3m min/
( , ,′ = =D m n37 7 15µ
 
 Eficiência global de coleta de partículas: 85%. 
 
 Potência do soprador, considerando apenas as perdas nos ciclones: 2 cv. 
 
 
Problemas: Decantação 
1. Calcular o diâmetro da menor partícula que é coletada com eficiência de 100% na câmara 
de poeira abaixo esquematizada. 
 
Propriedades físicas do fluido: densidade 1 e viscosidade 1 . 2 10 3, /× − g cm 8 10 2, × − cP
Propriedades físicas das partículas: densidade e esfericidade 0,7. 2 5 3, /g cm
Dimensões da câmara: , sendo a distância entre as lamelas de 10 (a espessura 
das lamelas é desprezível). 
m1622 ×× cm
 
Vazão de suspensão na alimentação: 4 m3/s. 
Considerar as seguintes situações diferentes: 
 
 a) A suspensão tem concentração volumétrica em sólido inferior a 0,2%; 
 b) Esta concentração é de 5%. 
 
 
 
 
 
---- "Trajetória crítica"da menor partícula coletada com eficiência de 100%. 
 
56 
 
 
Resposta: 
 
Velocidade terminal da menor partícula coletada com eficiência de 100%: . 0 625, /cm s
Diâmetro da menor partícula coletada com eficiência de 100%, diluição infinita: . 9 74, µm
Idem, 5% em volume de sólido: 11,0 µm. 
2. Uma suspensão diluída de cal em água contém areia como produto indesejável. 
Determinar, na operação a 25ºC: 
 
 a) A vazão de alimentação para a separação completa da areia no tanque com 
dimensões 0 ; 3 3 4, × × m
 b) O percentual de cal perdida na separação da areia. 
 
Faixa granulométrica de areia: 70 . 250< <D mp µ
Distribuição granulométrica das partículas de cal: 
D mp (µ ) 20 30 40 50 60 70 80 100 
100X 15 28 48 54 64 72 78 88. 
 
Densidade da cal e da areia, respectivamente, . 2 2 2 6 3, , / e g cm
Esfericidade das partículas de cal e de areia, respectivamente, 0,6 e 0,8. 
 
 
 
Resposta: 
 
Capacidade do sistema para a separação completa de areia: 175 m3/h. 
Diâmetro da maior partícula de cal no produto: 83,5 µm. 
% de cal perdida na separação da areia: 18,8. 
3. Foi conduzido no laboratório um ensaio de separação de argila (densidade 2,64g/cm3) de 
uma suspensão aquosa em centrífuga tubular. 
 
Propriedades do fluido: densidade 1g/cm3, viscosidade 1cP. 
Dimensões da centrífuga de laboratório: Ro = 1,1cm; R = 2,2cm e L = 20 cm. 
57 
 
 
Número de rotações da centrífuga de laboratório: 20000 rpm. 
Vazão de suspensão da centrífuga de laboratório que permite obter um classificado 
satisfatório: 28,8 L/h. 
Determinar a capacidade de uma centrífuga industrial operando com a mesma suspensão a 
15000 rpm. Suas dimensões são: Ro = 5,21cm; R = 8,16cm e L = 73,4cm. 
 
 
 
 
 
(Svarovski, L., “Solid-Liquid Separation”, Butterworths, Londres, 2ª edição, p. 196, 1981). 
 
 
Resposta: 
 
Fator Σ para a unidade de laboratório: 1,42×103 cm2. 
Fator Σ para a unidade industrial: 4,22×104 cm2. 
Capacidade da unidade industrial: 856 L/h. 
4. A Companhia Chalboud do Brasil adquiriu uma bateria de ciclones com as dimensões 
especificadas na figura para coletar partículas de um fluxo de ar a 70ºC e 1 atm. A densidade 
das partículas é 1,05 g/cm3. 
Verificar a validade da seguinte especificação fornecida pelo fabricante do equipamento: 
partículas com diâmetro maior que 20 µm são coletadas com eficiência superior a 95% 
quando a velocidade do ar na seção de alimentação do ciclone é 15 m/s. 
58
 
 
 
 
 Resposta: 
 
Os ciclones fornecidos estão praticamente na configuração Lapple, podendo-se esperar uma 
eficiência de coleta para as partículas de 20 µm de apenas 90%. 
5. O ferro-velho "Dois Irmãos" da Pavuna dispõe de um conjunto de 3 ciclones em paralelo 
na configuração Lapple, estado de conservação razoável. O diâmetro dos ciclones é 20 in. 
Estimar: 
 
 a) A capacidade do conjunto para u = 15 m/s; 
 b) O diâmetro da partícula que é coletada com eficiência de 95%; 
 c) A potência do soprador a ser usado na operação. 
 
Considerar que o gás tenha as propriedades físicas do ar a 200ºC e 1 atm e que as partículas 
sólidas tenham densidade 3 g/cm3. 
 
Resposta: 
 
Capacidade da bateria de ciclones: 87 m3/min. 
Diâmetro da partícula coletada com eficiência de 95%: 20 µm. 
Potência do soprador: ~3cv (eficiência 0,5). 
6. Deseja-se estudar o desempenho de uma bateria constituída por 2 ciclones Lapple em série 
com respectivamente 63,6 cm e 45 cm de diâmetro no tratamento de 27,7 m3/min de gás 
contendo 3% em volume de sólido. 
 
Propriedades do gás: densidade 1,1x10-3 g/cm3 e viscosidade 1,7x10-2 cP. 
59
 
 
Propriedades das partículas sólidas: densidade 2,5 g/cm3 e distribuição granulométrica dada 
por