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Matemática Discreta
Aula nº 10
Francisco Restivo
2007-03-29
2
Funções:
Sendo A e B dois conjuntos, uma função f de A para B, f: A → B, é
uma regra que associa a cada a ∈ A um único elemento f(a) ∈ B
A regra, por si só, não define uma função. Não basta dizer que a 
regra é, por exemplo, x2 + 4x +7: é preciso especificar os dois 
conjuntos envolvidos.
f
a f(a)
Se A for um conjunto finito, uma regra não é
mais que uma tabela que associa a cada 
elemento de A um elemento de B:
A = {a, b, c, d, e}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
A B
a 3
b 2
c 4
d 3
e 3
3
Definições:
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função f de A para B, que se 
escreve f: A → B, é um subconjunto f ⊆ (A×B) tal que
∀a∈A, existe um único b∈B tal que (a, b)∈f
O conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu
codomínio. Se (a, b)∈f, o elemento b∈B diz-se a imagem do 
elemento a∈A e escreve-se b = f(a).
Uma função é um mapeamento ou uma transformação.
Igualdade de funções:
Duas funções f: A → B e g: A’→ B’ são iguais se
A = A’
B = B’
∀a∈A = A’, f(a) = g(a).
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Algumas funções:
Função identidade no conjunto A: id = {(x, x): x ∈ A}
Quadrado: f = {(x, y) ∈ R×R: y = x2}
Mãe: f = {(a, b) ∈ A×B: b é a Mãe de a}
sendo A = {humanos vivos}, B = {humanos, vivos ou não}
Dígito decimal de π:
f: Z+→ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
f(n) = dígito na casa decimal n de π
Exemplo:
Raiz quadrada: f = {(x, y) ∈ R×R: x = y2} não é uma função,
mas é uma relação!
Conjunto imagem:
Seja f: A → B uma função. O conjunto imagem de f é
im(f) = {b∈B: (a, b)∈f para pelo menos um a∈A}
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Exemplos:
Quadrado: f = {(x, y) ∈ R×R: y = x2} im(f) = R+ ∪ {0}
Cubo: g = {(x, y) ∈ R×R: y = x3} im(g) = R
Outro exemplo:
Imagem da função f: R → R definida por
1x
3xf(x) 2 +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=≥−
−±=
=+−
=+
+=∈∃↔∈
2
3,
2
3- im(f)
porquê?) problemas; cria não 0 ycaso (o04y9
2y
4y93x
0y3xyx
3xyyx
1x
3xyR,xim(f)y
2
2
2
2
2
6
Alguns conceitos:
Imagem de um subconjunto do domínio da função:
f: A → B
Imagem inversa de um subconjunto do codomínio da função:
f: A → B
(f-1 não é necessariamente uma função)
A B
im(f)
f(C)C
A B
im(f)
D
f-1(D)
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Funções compostas:
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, a um elemento x∈A está
associado um elemento f(x)∈B e um elemento g(f(x))∈C. Fica 
assim definida uma associação x → g(f(x)), a que chamamos 
função composta de f e g, representada por g°f.
Imaginando uma função como uma caixa negra, a composição
equivale a ligar a saída da função f à entrada da função g (g 
depois de f):
f
a f(a) g(f(a))
g
A função composta g°f é assim um subconjunto do produto
cartesiano A×C
g°f = {(x, z)∈A×C, ∃y∈B, (x, y)∈f ∧ (y, z)∈g}
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Teorema:
Sendo f: A → B e g: B → C duas funções, então
im(g°f) ⊆ im(g)
B C
im(g)
im(g°f)im(f)
A
f: A → B g: B → C
Exemplos:
f(x) = x + 2
g(x) = 
1x
1
2 +
( )( ) ( )
( )
54xx
1
12x
1
2xgxfg
2
2
++=
++=
+= ( )( )
1x
32x
2
1x
1
1x
1fxgf
2
2
2
2
+
+=
++=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+=
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Exemplo:
A = {Quaresma, Raul, Lampard, Iniesta} 
B = {Porto, Madrid, Chelsea, Barcelona, Lyon}
C = {Portugal, Espanha, França, Inglaterra}
f = {(x, y) ∈ A×B, x joga no clube y}
g = {(y, z) ∈ B×C, y está no País z}
x f(x) g(f(x))
Quaresma Porto Portugal
Raul Madrid Espanha
Lampard Chelsea Inglaterra
Iniesta Barcelona Espanha
g°f neste caso é o País do clube do jogador x
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Funções injectivas e sobrejectivas:
Uma função pode ser tal que elementos diferentes do seu domínio 
tenham a mesma imagem no seu codomínio,
Ou então que existam elementos do seu codomínio que não são 
imagem de nenhum elemento do seu domínio.
Definições:
Seja f: A → B uma função.
A função f diz-se injectiva se 
∀a,a’∈A, se (a,b),(a’,b’)∈f ∧ a≠a’ então b≠b’.
A função f diz-se sobrejectiva se 
∀b∈B, ∃a∈A tal que (a,b)∈f.
Em R×R, a função quadrado não é injectiva nem sobrejectiva.
E a função 3x – 7?
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