Geometria Plana
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Geometria Plana


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diferente\u201d, a saber: \u201cSe uma
linha reta encontrando-se com outras duas retas fizer a\u2c6ngulos internos da mesma parte menores
que dois retos, estas duas retas, prolongadas ao infinito, concorrera\u2dco para a mesma parte dos
ditos a\u2c6ngulos internos\u201d. Outros quatro axiomas, fixados por Euclides no \u201cElementos\u201d sa\u2dco os
seguintes:
1- Pode-se trac¸ar uma reta passando por dois pontos;
2- Uma reta pode ser continuada ate´ onde seja necessa´rio;
3- Pode-se trac¸ar uma circunfere\u2c6ncia com qualquer centro e qualquer dista\u2c6ncia;
4- Todos os a\u2c6ngulos retos sa\u2dco iguais.
No \u201cElementos\u201d de Euclides, as 28 primeiras proposic¸o\u2dces do Livro 1 foram demonstradas
somente com base nos quatro axiomas acima. Pode-se provar que nosso axioma 18, junto com
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O axioma das paralelas e algumas conseque\u2c6ncias
os quatro axiomas acima, e´ equivalente a`quele enunciado por Euclides. Outras declarac¸o\u2dces que
podem ser tomadas como axiomas no lugar do axioma das paralelas, e que da\u2dco origem a`s mesmas
proposic¸o\u2dces demonstradas no \u201cElementos\u201d, podem ser encontradas em [13].
6.20 Teorema. A soma das medidas dos a\u2c6ngulos internos de qualquer tria\u2c6ngulo e´ 180\u25e6.
Prova: Seja ABC um tria\u2c6ngulo qualquer. Pelo ve´rtice C, consideremos a reta paralela ao
lado AB. C determina sobre essa reta duas semi-retas, S(CX) e S(CY ), onde X e´ um ponto no
semiplano determinado pela reta BC e que na\u2dco conte´m A, enquanto Y e´ um ponto no semiplano
determinado pela reta AC e que na\u2dco conte´m B. Temos que:
XC\u302B +BC\u302A+AC\u302Y = 1 raso.
A B
C. XY .
Figura 6.4: Teorema 6.20
Como as retas determinadas por X,Y e por
A,B, respectivamente, sa\u2dco paralelas e a reta de-
terminada por A,C e´ transversal a elas, o teorema
6.11 implica que AC\u302Y = BA\u302C. Analogamente, con-
clu´\u131mos que XC\u302B = CB\u302A. Logo CB\u302A + BC\u302A +
BA\u2c6C = 1 raso ou, A\u302+ B\u302 + C\u302 = 180\u25e6.
6.21 Corola´rio. Em qualquer tria\u2c6ngulo, a medida de um a\u2c6ngulo externo e´ igual a` soma das
medidas dos a\u2c6ngulos internos que na\u2dco lhe sa\u2dco adjacentes.
6.22 Exerc´\u131cio. Prove o corola´rio anterior.
6.23 Exerc´\u131cio. Mostre que, num tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo a soma das medidas dos a\u2c6ngulos agudos
e´ 90\u25e6.
6.24 Exerc´\u131cio. Os a\u2c6ngulos internos de um tria\u2c6ngulo equila´tero medem 60\u25e6. Prove isso.
6.25 Teorema. Se r e s sa\u2dco retas paralelas, enta\u2dco qualquer ponto de r dista igualmente de s.
6.26 Exerc´\u131cio. Prove o teorema anterior (sugesta\u2dco: utilize o teorema 6.15).
O teorema 6.25 motiva a seguinte definic¸a\u2dco.
6.27 Definic¸a\u2dco. A dista\u2c6ncia entre duas retas paralelas e´ a dista\u2c6ncia de um ponto qualquer
de uma delas a outra. A dista\u2c6ncia entre duas retas concorrentes e´ zero.
6.28 Observac¸a\u2dco. Pode-se provar que o teorema 5.4 (ou teorema 5.12), junto com os quatros
primeiros postulados de Euclides, e´ equivalente ao axioma das paralelas.
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Exerc´\u131cios complementares
6.2 Construc¸a\u2dco de um sistema de coordenadas no
plano
Sejam r e s retas concorrentes num ponto O. Em cada uma delas tomamos um sistema de
coordenadas que tenha o ponto O como origem. Chamamos a reta r de eixo das abscissas
e a reta s de eixo das ordenadas. O par ordenado de retas (r, s) e´ chamado um sistema
de coordenadas, e o ponto O, e´ a origem do sistema. Dado um ponto P do plano, a ele
associamos um par ordenado de nu´meros reais como segue.
rx
y
O
P
s
.
Figura 6.5: Sistema de coordenadas no
plano.
(a) Se P \u2208 r, enta\u2dco associamos a P o par (x, 0) ,
sendo x a coordenada de P em relac¸a\u2dco a` r.
(b) Se P \u2208 s, enta\u2dco associamos a P o par (0, y) ,
sendo y a coordenada de P em relac¸a\u2dco a` s.
(c) Se P /\u2208 r e P /\u2208 s, enta\u2dco passamos por P uma
paralela a` s, que encontra r num ponto cuja coor-
denada chamaremos de x, e uma paralela a` r, que
encontra s num ponto cuja coordenada chamaremos
de y. Ao ponto P associamos o par (x, y) acima con-
stru´\u131do.
O par de nu´meros reais (x, y) e´, por definic¸a\u2dco,
as coordenadas do ponto P no sistema de coorde-
nadas (r, s) . O nu´mero x e´ chamado de abscissa de P e o nu´mero y de ordenada de P.
Quando as retas r e s sa\u2dco perpendiculares, o sistema de coordenadas (r, s) e´ chamado de
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
6.29 Observac¸a\u2dco. A aplicac¸a\u2dco que a cada ponto do plano associa um par ordenado de nu´meros
reais, como definido acima, e´ bijetiva. Isto nos permite identificar pontos do plano com pares
ordenados de nu´meros reais, abrindo a possibilidade de resolvermos problemas geome´tricos uti-
lizando a´lgebra, como se faz normalmente em Geometria Anal´\u131tica. Por isso muitas vezes es-
crevemos P = (x, y) .
6.30 Exerc´\u131cio. Justifique a afirmac¸a\u2dco feita na observac¸a\u2dco 6.29.
6.3 Exerc´\u131cios complementares
6.31 Exerc´\u131cio. Prove que a bissetriz de um a\u2c6ngulo externo, relativo ao ve´rtice de um tria\u2c6ngulo
iso´sceles, e´ paralela a` base desse tria\u2c6ngulo.
6.32 Exerc´\u131cio. Sejam ABC um tria\u2c6ngulo iso´sceles e P um ponto qualquer da base BC. Sejam
PM e PN os segmentos perpendiculares a`s laterais desse tria\u2c6ngulo. Mostre que PM + PN e´
um valor constante, que e´ a medida da altura relativa a uma das laterais.
6.33 Exerc´\u131cio. Provar que se P e´ um ponto interior a um tria\u2c6ngulo equila´tero, enta\u2dco a soma
das dista\u2c6ncias de P ao lados do tria\u2c6ngulo e´ igual a` altura do mesmo.
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Exerc´\u131cios complementares
6.34 Exerc´\u131cio. Prove que se r e´ uma reta cujos pontos sa\u2dco equidistantes de uma reta s (isto
e´, todos os pontos de r esta\u2dco a mesma dista\u2c6ncia de s), enta\u2dco r e s sa\u2dco retas coincidentes ou
paralelas (este e´ o rec´\u131proco do teorema 6.25).
6.35 Exerc´\u131cio. Descubra qual o erro na demonstrac¸a\u2dco do \u201cTeorema\u201ddo Ape\u2c6ndice A.
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Cap´\u131tulo 7
Pol´\u131gonos
Apresenta-se uma se´rie de definic¸o\u2dces seguidas de exerc´\u131cios que
sa\u2dco, basicamente, conseque\u2c6ncias de resultados dos cap´\u131tulos
anteriores, principalmente daqueles sobre congrue\u2c6ncia e
paralelismo. Os resultados de muitos exerc´\u131cios sa\u2dco in-
formac¸o\u2dces importantes (verdadeiros teoremas), outros sa\u2dco cu-
riosidades que valem pelo treinamento que eles impo\u2dcem ao
racioc´\u131nio.
7.1 Definic¸o\u2dces gerais
7.1 Definic¸a\u2dco. Uma linha poligonal, ou simplesmente poligonal, e´ uma figura geome´trica
formada por uma seque\u2c6ncia de n (n \u2265 3) pontos distintos A1, A2, ..., An, e pelos segmentos A1A2,
A2A3, ... , An\u22121An. Os pontos sa\u2dco os ve´rtices e os segmentos os lados da poligonal. A\u2c6ngulo
de uma poligonal com ve´rtice Aj e´ o a\u2c6ngulo definido pelos lados que te\u2c6m Aj como ponto comum.
7.2 Definic¸a\u2dco. Pol´\u131gono e´ uma poligonal que satisfaz as seguintes condic¸o\u2dces:
(i) An+1 = A1;
(ii) os lados da poligonal interceptam-se somente em suas extremidades;
(iii) dois lados com mesma extremidade na\u2dco pertencem a uma mesma reta.
7.3 Observac¸a\u2dco. Um pol´\u131gono com ve´rtices A1, A2, ..., An, sera´ denotado por A1A2...An. Ele
tem n lados, n ve´rtices e n a\u2c6ngulos.
7.4 Observac¸a\u2dco. Uma classificac¸a\u2dco para pol´\u131gonos pode ser feita, facilmente, segundo o nu´mero
de lados. Os mais usuais sa\u2dco (para n \u2265 3, onde n representa o nu´mero de seus lados):
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Definic¸o\u2dces gerais
Nu´mero de lados Nome do pol´\u131gono
3 tria\u2c6ngulo
4 quadrila´tero
5 penta´gono
6 hexa´gono
7 hepta´gono
8 octa´gono
9 enea´gono
10 deca´gono
11 undeca´gono
12 dodeca´gono
15 pentadeca´gono
20 icosa´gono
7.5 Exerc´\u131cio. Quais dos desenhos da figura 7.1, representam pol´\u131gonos?
D
B
C
E
A
A
B
C
DE
C
EA
D
.
.
B
F
.
A
B
C D
E
F
(a) (b)
(c) (d)
Figura 7.1: Exerc´\u131cio 7.5.
7.6 Definic¸a\u2dco. Diagonal de um pol´\u131gono e´ um segmento que tem por extremidade dois de
seus ve´rtices que na\u2dco pertencem a um mesmo lado.
7.7 Exerc´\u131cio. (a) Quantas diagonais te\u2c6m um pol´\u131gono de: (i) 6 lados; (ii) 17 lados ?
(b) Mostre que um pol´\u131gono com n lados tem n(n\u22123)2 diagonais.
7.8 Exerc´\u131cio. Qual o pol´\u131gono que possui 27 diagonais distintas?
7.9 Definic¸a\u2dco. Um pol´\u131gono que possui todos