Geometria Plana
139 pág.

Geometria Plana


DisciplinaCálculo I77.361 materiais1.369.399 seguidores
Pré-visualização31 páginas
os a\u2c6ngulos congruentes e´ dito equia\u2c6ngulo. Um
pol´\u131gono que possui todos os lados congruentes e´ dito equila´tero.
58
Definic¸o\u2dces gerais
7.10 Exerc´\u131cio. Mostre que um pol´\u131gono separa o plano em dois subconjuntos dos quais um e´
limitado e outro e´ na\u2dco limitado.
7.11 Definic¸a\u2dco. O subconjunto limitado menos os pontos do pol´\u131gono e´ chamado interior
do pol´\u131gono. Se do subconjunto na\u2dco limitado exclu´\u131rmos os pontos do pol´\u131gono, teremos o
exterior do pol´\u131gono.
7.12 Definic¸a\u2dco. Um pol´\u131gono e´ convexo se cada reta que conte´m dois ve´rtices do pol´\u131gono
determina um semiplano que conte´m todos os outros ve´rtices.
7.13 Exerc´\u131cio. Mostre que o interior de um pol´\u131gono convexo e´ uma figura convexa.
7.14 Exerc´\u131cio. Sejam P um pol´\u131gono convexo, A um ponto no interior de P e B um ponto
em seu exterior. Mostre que existe um u´nico ponto comum a P e ao segmento AB.
7.15 Definic¸a\u2dco. A\u2c6ngulo de um pol´\u131gono convexo e´ chamado de a\u2c6ngulo interno do pol´\u131gono.
A\u2c6ngulo externo de um pol´\u131gono convexo e´ um suplemento de um a\u2c6ngulo interno do pol´\u131gono.
7.16 Definic¸a\u2dco. Um pol´\u131gono regular e´ um pol´\u131gono convexo, equila´tero e equia\u2c6ngulo, isto
e´, todos os lados sa\u2dco congruentes entre si e todos os a\u2c6ngulos internos sa\u2dco congruentes entre si.
7.17 Teorema. A soma das medidas dos a\u2c6ngulos internos de um pol´\u131gono convexo e´ igual a
[180(n\u2212 2)]\u25e6, onde n e´ o nu´mero de lados do pol´\u131gono.
7.18 Exerc´\u131cio. Prove o teorema anterior.
7.19 Teorema. A soma das medidas dos a\u2c6ngulos externos de um pol´\u131gono convexo vale 360\u25e6.
7.20 Exerc´\u131cio. Prove o teorema anterior.
7.21 Exerc´\u131cio. Nos dois exerc´\u131cios anteriores poder´\u131amos tirar o adjetivo convexo e manter a
conclusa\u2dco das proposic¸o\u2dces?
7.22 Exerc´\u131cio. Mostre que um pol´\u131gono convexo na\u2dco pode ter mais do que tre\u2c6s a\u2c6ngulos agudos.
7.23 Exerc´\u131cio. Calcule a medida do a\u2c6ngulo interno de um pol´\u131gono regular de n lados.
7.24 Exerc´\u131cio. Calcule a medida do a\u2c6ngulo externo de um pol´\u131gono regular de n lados.
7.25 Exerc´\u131cio. Quer-se revestir um soalho com tacos na forma de pol´\u131gonos regulares. Que
tipo de pol´\u131gonos, de mesmo formato, pode-se utilizar de modo a cobrir todo o soalho?
7.26 Exerc´\u131cio. Suponha que para revestir um soalho possam ser utilizadom tacos na forma
de pol´\u131gonos regulares, mas na\u2dco necessariamente de mesmo formato. Estude as possibilidades
para tal revestimento.
7.27 Definic¸a\u2dco. Per´\u131metro de um pol´\u131gono e´ a soma das medidas de seus lados. Semi-
per´\u131metro de um pol´\u131gono e´ a metade do per´\u131metro.
59
Quadrila´teros convexos
7.28 Exerc´\u131cio. Seja A1A2...An um pol´\u131gono convexo e A\u20321A\u20322...A\u2032n outro pol´\u131gono convexo que
possui cada um de seus ve´rtices sobre os lados do pol´\u131gono anterior. Prove que o per´\u131metro do
pol´\u131gono A\u20321A\u20322...A\u2032n e´ menor do que o per´\u131metro do pol´\u131gono A1A2...An.
7.29 Exerc´\u131cio. Mostre que, em todo pol´\u131gono convexo, a soma dos comprimentos dos segmen-
tos definidos por seus ve´rtices e um ponto no seu interior e´ maior do que seu semiper´\u131metro.
7.2 Quadrila´teros convexos
7.30 Definic¸a\u2dco. Quadrila´teros convexos sa\u2dco pol´\u131gonos convexos que possuem quatro lados.
7.31 Definic¸a\u2dco. Num quadrila´tero, ve´rtices na\u2dco consecutivos sa\u2dco ditos opostos, assim como
dois a\u2c6ngulos e dois lados na\u2dco consecutivos sa\u2dco ditos opostos.
7.32 Exerc´\u131cio. A soma das medidas dos a\u2c6ngulos internos de um quadrila´tero convexo e´ igual
a 4 vezes a medida de um a\u2c6ngulo reto.
7.33 Definic¸a\u2dco. Paralelogramo e´ um quadrila´tero no qual os lados opostos sa\u2dco paralelos.
7.34 Teorema. Em um paralelogramo temos sempre:
(i) a\u2c6ngulos adjacentes a um lado suplementares;
(ii) a\u2c6ngulos opostos congruentes;
(iii) lados opostos congruentes;
(iv) as diagonais se interceptam em um ponto que e´ o ponto me´dio das duas diagonais.
7.35 Exerc´\u131cio. Prove o teorema 7.34.
7.36 Exerc´\u131cio. Mostre que:
(i) Se um paralelogramo tem um a\u2c6ngulo reto enta\u2dco todos os demais a\u2c6ngulos sa\u2dco retos.
(ii) Se num paralelogramo dois de seus lados consecutivos sa\u2dco congruentes, enta\u2dco todos os
seus lados sa\u2dco congruentes.
7.37 Teorema. Um quadrila´tero e´ um paralelogramo se:
(i) os a\u2c6ngulos adjacentes a cada um dos seus lados sa\u2dco suplementares;
(ii) os a\u2c6ngulos opostos sa\u2dco congruentes;
(iii) os lados opostos sa\u2dco congruentes;
(iv) as diagonais interceptam-se mutuamente em seus pontos me´dios.
7.38 Exerc´\u131cio. Prove o teorema 7.37.
7.39 Teorema. Se um quadrila´tero possui dois lados opostos congruentes e paralelos, enta\u2dco ele
e´ um paralelogramo.
7.40 Exerc´\u131cio. Prove o teorema 7.39.
7.41 Definic¸a\u2dco. Um quadrila´tero que possui todos os seus a\u2c6ngulos retos recebe o nome de
reta\u2c6ngulo.
60
Quadrila´teros convexos
7.42 Exerc´\u131cio. Mostre que todo reta\u2c6ngulo e´ um paralelogramo.
7.43 Exerc´\u131cio. Mostre que as diagonais de um reta\u2c6ngulo sa\u2dco congruentes.
7.44 Exerc´\u131cio. Mostre que se as diagonais de um paralelogramo sa\u2dco congruentes, enta\u2dco o
paralelogramo e´ um reta\u2c6ngulo.
7.45 Definic¸a\u2dco. Losango e´ um quadrila´tero que tem os quatro lados congruentes.
7.46 Exerc´\u131cio. Mostre que todo losango e´ um paralelogramo.
7.47 Exerc´\u131cio. Mostre que, num losango, as diagonais sa\u2dco perpendiculares entre si e cada
uma e´ bissetriz do a\u2c6ngulo correspondente.
7.48 Exerc´\u131cio. Um paralelogramo e´ um losango se:
(i) suas diagonais sa\u2dco perpendiculares entre si;
(ii) uma das diagonais bissecta os a\u2c6ngulos opostos.
7.49 Definic¸a\u2dco. Quadrado e´ um reta\u2c6ngulo que tambe´m e´ um losango.
7.50 Exerc´\u131cio. Mostre que num quadrado,
(i) as diagonais sa\u2dco congruentes e perpendiculares;
(ii) cada diagonal e´ bissetriz dos seus a\u2c6ngulos.
7.51 Exerc´\u131cio. Mostre que se as diagonais de um quadrila´tero sa\u2dco congruentes e se intercep-
tam num ponto que e´ ponto me´dio de ambas, e ainda sa\u2dco perpendiculares, enta\u2dco o quadrila´tero
e´ um quadrado.
7.52 Definic¸a\u2dco. Trape´zio e´ um quadrila´tero em que somente dois lados sa\u2dco paralelos.
7.53 Definic¸a\u2dco. Os lados paralelos de um trape´zio sa\u2dco chamados bases e os outros dois sa\u2dco
as suas laterais. Um trape´zio e´ dito iso´sceles se suas laterais sa\u2dco congruentes.
7.54 Definic¸a\u2dco. Um trape´zio que possui um a\u2c6ngulo reto e´ dito trape´zio reta\u2c6ngulo.
7.55 Exerc´\u131cio. Se ABCD e´ um trape´zio iso´sceles e AB e´ uma base, mostre que A\u302 = B\u302, C\u302 = D\u302,
e reciprocamente (basta A\u302 = B\u302 ou C\u302 = D\u302).
7.56 Exerc´\u131cio. Mostre que num trape´zio iso´sceles, as diagonais sa\u2dco congruentes, e reciproca-
mente.
7.57 Exerc´\u131cio. Mostre que num trape´zio iso´sceles, a mediatriz de uma das suas bases e´ me-
diatriz da outra base, e reciprocamente.
7.58 Teorema. O segmento determinado pelos pontos me´dios de dois lados de um tria\u2c6ngulo e´
paralelo ao terceiro lado e mede a metade do comprimento desse lado.
7.59 Exerc´\u131cio. Demonstre o teorema anterior (sugesta\u2dco: se X e Y sa\u2dco os pontos me´dios de
dois lados, marque em
\u2212\u2212\u2192
XY um ponto D tal que XD = 2XY ).
61
Quadrila´teros convexos
7.60 Exerc´\u131cio. Prove que qualquer tria\u2c6ngulo que possui duas medianas congruentes e´ iso´sceles.
7.61 Exerc´\u131cio. Mostre que o segmento que liga os pontos me´dios das laterais de um trape´zio
e´ paralelo a`s bases e que seu comprimento e´ a me´dia aritme´tica dos comprimentos das bases.
7.62 Exerc´\u131cio. Prove que ligando-se os pontos me´dios dos lados de um tria\u2c6ngulo qualquer,
este ficara´ dividido em quatro tria\u2c6ngulos congruentes.
7.63 Exerc´\u131cio. Prove que as paralelas aos lados de um tria\u2c6ngulo qualquer, trac¸adas passando
pelos ve´rtices opostos aos respectivos lados, formam um novo tria\u2c6ngulo cujos pontos me´dios dos
lados sa\u2dco os ve´rtices do tria\u2c6ngulo inicialmente dado.
7.64 Exerc´\u131cio. Mostre que ligando-se os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero qualquer
obte´m-se um paralelogramo.
7.65 Exerc´\u131cio. Mostre que se num tria\u2c6ngulo qualquer ABC prolongarmos a mediana AM ,
relativa ao lado BC,