Geometria Plana
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Geometria Plana


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ate´ um ponto D tal que MD = AM , obtemos o quadrila´tero ABCD, que
e´ um paralelogramo.
7.66 Exerc´\u131cio. Prove que qualquer tria\u2c6ngulo no qual uma mediana e uma bissetriz sa\u2dco coin-
cidentes, e´ iso´sceles.
7.67 Exerc´\u131cio. Mostre que as bissetrizes de dois a\u2c6ngulos opostos de um paralelogramo sa\u2dco
coincidentes ou paralelas.
7.68 Exerc´\u131cio. Mostre que as bissetrizes dos a\u2c6ngulos internos de um paralelogramo interceptam-
se formando um reta\u2c6ngulo.
7.69 Exerc´\u131cio. Mostre que se o paralelogramo do exerc´\u131cio anterior e´ um reta\u2c6ngulo, o reta\u2c6ngulo
formado e´ um quadrado.
7.70 Exerc´\u131cio. Em um tria\u2c6ngulo iso´sceles ABC, com ve´rtice em A, toma-se um ponto P
sobre a base e trac¸am-se os segmentos PR e PS, paralelos a AB e AC, respectivamente, onde
R \u2208 AC e S \u2208 AB. Prove que o per´\u131metro do paralelogramo ASPR e´ independente da posic¸a\u2dco
do ponto P sobre a base BC.
7.71 Exerc´\u131cio. A partir de cada ve´rtice de um quadrado ABCD, cujos lados sa\u2dco percorridos
em um mesmo sentido, marcam-se pontos U,F, S,M , tais que AU = BF = CS = DM. Mostre
que o quadrila´tero UFSM tambe´m e´ um quadrado.
7.72 Exerc´\u131cio. Qual a figura obtida quando ligamos os pontos me´dios dos lados de um
reta\u2c6ngulo?
7.73 Exerc´\u131cio. Pelo ponto de encontro das diagonais de um quadrado, trac¸am-se dois segmen-
tos perpendiculares entre si e limitados pelos lados do quadrado. Mostre que esses segmentos
sa\u2dco congruentes.
7.74 Exerc´\u131cio. Mostre que em um trape´zio iso´sceles, o a\u2c6ngulo formado pelas bissetrizes de
seus a\u2c6ngulos agudos e´ congruente a um de seus a\u2c6ngulos obtusos.
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Cap´\u131tulo 8
Paralelismo e o Teorema do Feixe de
Retas Paralelas
Estabelece-se resultados gerais sobre feixe de retas paralelas
cortado por retas transversais e demonstra-se o teorema da
bissetriz interna.
8.1 Feixe de retas paralelas
A uma colec¸a\u2dco de retas paralelas da´-se o nome de feixe de retas paralelas.
8.1 Teorema. Sejam r, s, t retas de um feixe de retas paralelas que cortam as retas transversais
u e v nos pontos A,B,C e A\u2032, B\u2032, C \u2032, respectivamente.
i) Se A\u2212B \u2212 C, enta\u2dco A\u2032 \u2212B\u2032 \u2212 C \u2032.
ii) Se AB \u2261 BC enta\u2dco A\u2032B\u2032 \u2261 B\u2032C \u2032.
Prova: i) Se A\u2212B \u2212C enta\u2dco A e C pertencem a semiplanos distintos relativamente a` reta
s.
u v
r
s
t
A
B
C
A'
B'
C'
Figura 8.1: Feixe de paralelas r, s, t cor-
tadas pelas transversais u, v.
Uma vez que r e s sa\u2dco retas paralelas e A,A\u2032 per-
tencem a` r, segue que A,A\u2032 pertencem a um mesmo
semiplano definido por s. De modo ana´logo, con-
clu´\u131mos que C e C \u2032 pertencem a um mesmo semi-
plano determinado por s.
Assim A\u2032 e C \u2032 pertencem a semiplanos distin-
tos, relativamente a reta s. Logo, s intercepta o
segmento A\u2032C \u2032 em um u´nico ponto (!). Como B\u2032
e´ o ponto de intersec¸a\u2dco de v com s, e A\u2032, C \u2032 per-
tencem a` v (... e da´\u131 determinam v), conclu´\u131mos
que A\u2032C \u2032 intercepta s exatamente no ponto B\u2032. As-
sim, B\u2032 pertence a` A\u2032C \u2032 e da´\u131 A\u2032 \u2212 B\u2032 \u2212 C \u2032. Isto
prova i).
ii) Passando por B\u2032, consideremos a u´nica reta u\u2032 paralela a` u.
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Feixe de retas paralelas
u v
r
s
t
A
B
C
A'
B'
C'
u'
E
D
Figura 8.2: Prova de (ii).
Esta reta intercepta as retas r e t, respec-
tivamente, nos pontosD e E. ComoDB\u2032BA e
B\u2032ECB sa\u2dco paralelogramos (!), enta\u2dco DB\u2032 \u2261
AB e B\u2032E \u2261 BC. Como, por hipo´tese, AB \u2261
BC, segue queDB\u2032 \u2261 B\u2032E (!); por outro lado,
DB\u302\u2032A\u2032 \u2261 EB\u302\u2032C \u2032 (!) e B\u2032D\u302A\u2032 \u2261 B\u2032E\u302C \u2032 (!).
Pelo caso ALA de congrue\u2c6ncia de tria\u2c6ngulos,
conclu´\u131mos que os tria\u2c6ngulos A\u2032DB\u2032 e C \u2032EB\u2032
sa\u2dco congruentes. Daqui decorre A\u2032B\u2032 \u2261 B\u2032C \u2032.
Isto prova (ii).\ufffd
8.2 Corola´rio. Se ai,(i = 1, 2, ..., k), e´ um feixe de retas paralelas que interceptam duas retas
transversais u e v nos pontos Ai e A
\u2032
i, (i = 1, 2, ..., k), respectivamente, e tais que A1A2 =
A2A3 = ... = Ak\u22121Ak, enta\u2dco A\u20321A\u20322 = A\u20322A\u20323 = ... = A\u2032k\u22121A
\u2032
k.
8.3 Exerc´\u131cio. Prove o corola´rio 8.2.
O pro´ximo teorema e´ um resultado ba´sico para se estabalecer uma teoria de semelhanc¸a
de tria\u2c6ngulos (pro´ximo cap´\u131tulo); sua demonstrac¸a\u2dco fundamenta-se no axioma 10 e no fato do
corpo dos nu´meros reais ser completo.
8.4 Teorema. (Tales) Se uma reta, paralela a um dos lados de um tria\u2c6ngulo, intercepta os
outros dois lados, enta\u2dco ela os divide na mesma raza\u2dco.
Prova: Sejam ABC um tria\u2c6ngulo e r uma reta, paralela ao lado BC, que intercepta os
lados AB e AC nos pontos P e Q, respectivamente. (Ver figura 8.3)
B C
A
P rQ
Figura 8.3: Teorema de Tales
O teorema afirma que:
AP
AB
=
AQ
AC
. (8.1)
Para mostrar isso, tomemos na semi-reta
S(AB) um segmento AX1 de modo que as
razo\u2dces APAX1 e
AB
AX1
na\u2dco sejam nu´meros inteiros
(o caso em que as razo\u2dces sa\u2dco nu´meros inteiros
fica como exerc´\u131cio para o leitor). Em S(AB)
consideremos os pontos X2, X3, ..., Xk,... tais
que AXk = k ·AX1 para todo k \u2265 2. Existem
dois nu´meros inteiros m e n, m \u2264 n, tais que Xm \u2212 P \u2212Xm+1 e Xn \u2212B \u2212Xn+1, isto e´,
m ·AX1 < AP < (m+ 1) ·AX1 (8.2)
e
n ·AX1 < AB < (n+ 1) ·AX1. (8.3)
Da primeira desigualdade em (8.2) segue
m
n+ 1
<
AP
(n+ 1) ·AX1 . (8.4)
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Feixe de retas paralelas
Por outro lado, da segunda desigualdade em (8.3), segue que
1
(n+ 1) ·AX1 <
1
AB
e como AP > 0 temos
AP
(n+ 1) ·AX1 <
AP
AB
.
Usando isto em (8.4) resulta
m
n+ 1
<
AP
AB
. (8.5)
Da primeira desigualdade em (8.3) tem-se
1
AB
<
1
n ·AX1 .
Assim,
AP
AB
<
AP
n ·AX1 . (8.6)
Por outro lado, da segunda desigualdade em (8.2) temos
AP
n ·AX1 <
(m+ 1) ·AX1
n ·AX1 =
m+ 1
n
.
Assim, de (8.6) segue que
AP
AB
<
m+ 1
n
. (8.7)
De (8.5) e (8.7) vem que
m
n+ 1
<
AP
AB
<
m+ 1
n
. (8.8)
Pelos pontos X1,X2, ..., Xn+1, tracemos as retas paralelas a BC (que existem e sa\u2dco u´nicas);
estas retas cortam a semi-reta S(AC) em pontos Y1, Y2, ..., Yn+1 (segundo o corola´rio 8.2), de
modo que k ·AY1 = AYk para todo k, 2 \u2264 k \u2264 n+1. Ale´m disso Ym\u2212Q\u2212Ym+1 e Yn\u2212C\u2212Yn+1.
Assim
m ·AY1 < AQ < (m+ 1) ·AY1 e n ·AY1 < AC < (n+ 1) ·AY1.
Racioc´\u131nio ana´logo ao que fizemos anteriormente implica que
m
n+ 1
<
AQ
AC
<
m+ 1
n
. (8.9)
De (8.8) e (8.9) segue que
m
n+ 1
\u2212 m+ 1
n
<
AP
AB
\u2212 AQ
AC
<
m+ 1
n
\u2212 m
n+ 1
isto e´, \u2223\u2223\u2223\u2223APAB \u2212 AQAC
\u2223\u2223\u2223\u2223 < m+ 1n \u2212 mn+ 1 .
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Feixe de retas paralelas
Desde que m \u2264 n, temos que\u2223\u2223\u2223\u2223APAB \u2212 AQAC
\u2223\u2223\u2223\u2223 < m+ n+ 1n(n+ 1) \u2264 2n+ 1n(n+ 1) < 2n+ 2n(n+ 1) = 2n.
Assim, \u2223\u2223\u2223\u2223APAB \u2212 AQAC
\u2223\u2223\u2223\u2223 < 2n. (8.10)
Agora, como o segmento AX1 e´ arbitra´rio, podemos toma´-lo ta\u2dco pequeno quanto quisermos
de modo que o nu´mero n possa ser tomado suficientemente grande, resultando 2n ta\u2dco pequeno
quanto quisermos. Como o membro esquerdo de (8.10) independe de n, concluimos que o nu´mero
AP
AB \u2212 AQAC deve ser zero e da´\u131 APAB = AQAC , provando que vale (8.1).
O teorema seguinte e´ uma consequ¨e\u2c6ncia direta do teorema 8.4.
8.5 Teorema. Um feixe de paralelas cortadas por duas transversais determina sobre elas, seg-
mentos correspondentes proporcionais.
8.6 Exerc´\u131cio. Demonstre o teorema anterior.
8.7 Observac¸a\u2dco. Os teoremas 8.4 e 8.5 sa\u2dco conhecidos como Teoremas de Tales.
8.8 Teorema. (Bissetriz Interna) Uma bissetriz interna de um tria\u2c6ngulo divide o lado oposto
em segmentos cujos comprimentos sa\u2dco proporcionais aos comprimentos dos lados adjacentes.
Prova: Seja ABC um tria\u2c6ngulo e AD a bissetriz do a\u2c6ngulo A\u302. O ponto D e´ tal que B\u2212D\u2212C
e determina sobre o lado BC os segmentos BD e DC. Mostremos que BDAB =
DC
AC .
B
E
CD
A
Figura 8.4: Teorema da Bissetriz In-
terna
Na semi-reta
\u2212\u2212\u2192
BA tomemos o ponto E tal que
B\u2212A\u2212E e AE = AC. O tria\u2c6ngulo EAC e´ iso´sceles
com ve´rtice A e, da´\u131, AC\u302E = AE\u302C. Por outro lado,
BA\u302C e´ a\u2c6ngulo externo, donde BA\u302C = AC\u302E+AE\u302C
e, portanto, BA\u302C = 2AE\u302C. Como AD e´ bissetriz
de BA\u302C, temos que BA\u302C = 2BA\u302D. Destas duas
u´ltimas relac¸o\u2dces