Geometria Plana
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Geometria Plana


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os catetos correspondentes pro-
porcionais.
c) Dois tria\u2c6ngulos reta\u2c6ngulos sa\u2dco semelhantes, quando um deles te\u2c6m a hipotenusa e um dos
catetos proporcionais a hipotenusa e ao cateto correspondentes, do outro.
9.15 Exerc´\u131cio. Escreva, usando palavras (sem notac¸a\u2dco simbo´lica), os enunciados dos teoremas
sobre semelhanc¸a de tria\u2c6ngulos.
9.16 Teorema. Em qualquer tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo, a medida da altura relativa a` hipotenusa e´
a me´dia geome´trica entre as medidas das projec¸o\u2dces dos catetos sobre a hipotenusa.
Prova: Consideremos um tria\u2c6ngulo ABC, reta\u2c6ngulo em A. Tracemos a altura AD relativamente
ao lado BC (hipotenusa). O ponto D esta´ entre B e C (!) e define os segmentos BD e DC.
Para efeito de simplificac¸a\u2dco, vamos fixar a seguinte notac¸a\u2dco: BC = a,AB = c, AC = b, AD =
h,BD = m,DC = n, (vide figura ??). Os tria\u2c6ngulos ADB e ADC sa\u2dco reta\u2c6ngulos em D. Como
CA\u302D + C\u302 = 90\u25e6 e B\u302 + C\u302 = 90\u25e6, segue que CA\u302D = B\u302. Analogamente, temos que BA\u302D = C\u302.
Assim, os tria\u2c6ngulos ADB e CDA sa\u2dco semelhantes entre si e semelhantes ao tria\u2c6ngulo CAB.
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Casos de semelhanc¸a de tria\u2c6ngulos e o Teorema de Pita´goras
Usando a definic¸a\u2dco de semelhanc¸a, podemos escrever va´rias relac¸o\u2dces entre as medidas a, b, c,m, n
e h. Assim
ADB \u2248 CDA\u21d2 c
b
=
h
n
=
m
h
.
B C
A
a
c b
m n
h
| |
Figura 9.4: Tria\u2c6ngulos reta\u2c6ngulo ABC.
9.17 Teorema. (Pita´goras) Em todo tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo, o quadrado do comprimento da
hipotenusa e´ igual a` soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
Prova: Usando a notac¸a\u2dco estabelecida, temos que mostrar que a2 = b2 + c2. De fato, ja´
sabemos que os tria\u2c6ngulos ADB,CDA,CAB sa\u2dco semelhantes. De ADB \u2248 CAB, segue que
c
a =
m
c ; logo
am = c2. (9.3)
De CDA \u2248 CAB, segue que ba = mb ; logo,
an = b2. (9.4)
Assim, de (9.3) e (9.4), temos: a(m+n) = c2+ b2. Desde que m+n = a, temos, finalmente,
a2 = b2 + c2.
9.18 Teorema. (Rec´\u131proco do Teorema de Pita´goras) Se um tria\u2c6ngulo possui lados medindo
a, b, c e se a2 = b2 + c2, enta\u2dco esse tria\u2c6ngulo e´ reta\u2c6ngulo e a hipotenusa e´ o lado com medida a.
Prova: Seja ABC um tria\u2c6ngulo com lados que medem a, b, c e sa\u2dco tais que a2 = b2 +
c2. Construamos um tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo com catetos medindo b e c. Nesse tria\u2c6ngulo, pelo
teorema de Pita´goras, temos que sua hipotenusa mede
\u221a
b2 + c2, que e´ igual a a (por hipo´tese).
Assim, este novo tria\u2c6ngulo (que e´ reta\u2c6ngulo) tem lados medindo a, b, c. Pelo Terceiro Caso
de Congrue\u2c6ncia de Tria\u2c6ngulos, segue que ele e´ congruente ao tria\u2c6ngulo ABC. Logo, ABC e´
tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo e sua hipotenusa mede a.
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Exerc´\u131cios complementares
9.3 Exerc´\u131cios complementares
9.19 Exerc´\u131cio. Demonstre os tre\u2c6s casos de semelhanc¸a de tria\u2c6ngulos, utilizando o teorema
9.4.
9.20 Exerc´\u131cio. Dois pol´\u131gonos convexos, A1A2...An e B1B2...Bn sa\u2dco semelhantes se existe uma
corresponde\u2c6ncia bijetiva (chamada semelhanc¸a) entre seus ve´rtices, Ai \u2194 Bi, i = 1, 2, ..., n tal
que A\u302i = B\u302i, i = 1, 2, ..., n
A1A2
B1B2
=
A2A3
B2B3
= ... =
An\u22121An
Bn\u22121Bn
=
AnA1
BnB1
= k.
O nu´mero k e´ a raza\u2dco de semelhanc¸a entre os dois pol´\u131gonos. Dois pol´\u131gonos semelhantes,
cuja raza\u2dco de semelhanc¸a e´ igual a 1, sa\u2dco ditos congruentes (note que, pela definic¸a\u2dco, dois
pol´\u131gonos sa\u2dco congruentes quando possuem todos os lados e todos os a\u2c6ngulos, respectivamente,
congruentes).
a) Mostre que dois pol´\u131gonos semelhantes podem ser decompostos no mesmo nu´mero de
tria\u2c6ngulos ordenadamente semelhantes.
b) Dois pol´\u131gonos compostos por um mesmo nu´mero de tria\u2c6ngulos ordenadamente semel-
hantes sa\u2dco semelhantes.
9.21 Exerc´\u131cio. Mostre que a raza\u2dco entre os per´\u131metros de dois pol´\u131gonos semelhantes e´ igual
a` raza\u2dco de semelhanc¸a.
9.22 Exerc´\u131cio. Chamam-se pontos homo´logos de dois pol´\u131gonos semelhantes os pares de
pontos P e P \u2032 tais que, ligando-se P a dois ve´rtices quaisquer A,B do primeiro pol´\u131gono e,
P \u2032 aos correspondentes A\u2032, B\u2032 do segundo pol´\u131gono, os tria\u2c6ngulos PAB e P \u2032A\u2032B\u2032 sa\u2dco semel-
hantes.Segmentos homo´logos sa\u2dco aqueles que te\u2c6m como extremos pares de pontos homo´logos.
Mostre que em dois pol´\u131gonos semelhantes a relac¸a\u2dco de comprimento de segmentos homo´logos
e´ igual a` raza\u2dco de semelhanc¸a.
9.23 Exerc´\u131cio. Demonstre que em dois tria\u2c6ngulos semelhantes,
a) a raza\u2dco entre os comprimentos das bissetrizes de a\u2c6ngulos correspondentes e´ igual a` raza\u2dco
de semelhanc¸a;
b) a raza\u2dco entre os comprimentos das medianas relativas a lados homo´logos e´ igual a` raza\u2dco
de semelhanc¸a;
c) a raza\u2dco entre os comprimentos das alturas relativas a lados homo´logos e´ igual a` raza\u2dco de
semelhanc¸a.
9.24 Exerc´\u131cio. Determine o comprimento do lado do quadrado inscrito num tria\u2c6ngulo ABC,
cuja base BC mede l e a altura AD, relativa a` base BC, mede h.(suponha um lado do quadrado
paralelo a` base BC)
9.25 Exerc´\u131cio. Dado um tria\u2c6ngulo ABC, calcule a que dista\u2c6ncia x que o ve´rtice B deve estar
de um ponto P quando os segmentos PQ (PQ = r) e PR (PR = s) paralelos aos lados BC
(BC = a) e AC (AC = b), respectivamente, satisfazem a condic¸a\u2dco r + s = p+ q.(figura 9.5).
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Exerc´\u131cios complementares
B C
A
R
P Q
x s
r
q p
Figura 9.5: Tria\u2c6ngulo ABC.
9.26 Exerc´\u131cio. Sejam p, q inteiros positivos tais que p > q. Mostre que todo tria\u2c6ngulo cujos
lados medem p2 \u2212 q2, 2pq e p2 + q2, e´ um tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo.
9.27 Exerc´\u131cio. Demonstre que, num paralelogramo, as dista\u2c6ncias de um ponto da diagonal
aos dois lados adjacentes a ela sa\u2dco inversamente proporcionais aos comprimentos desses lados.
9.28 Exerc´\u131cio. Os lados de um tria\u2c6ngulo ABC medem AB = c, AC = b e BC = a. Por um
ponto D , sobre o lado AB , trac¸a-se a paralela ao lado BC , formando um trape´zio BDEC ,
onde E e´ um ponto de AC . Se o per´\u131metro do trape´zio e´ 2p , ache o per´\u131metro do tria\u2c6ngulo
ADE .
9.29 Exerc´\u131cio. Mostre que em todo tria\u2c6ngulo ABC, a medida ha, da altura relativa ao ve´rtice
A e´ dada por ha =
2
a
\u221a
p (p\u2212 a) (p\u2212 b) (p\u2212 c), sendo a = BC, b = AC, c = AB e p o semi
per´\u131metro do tria\u2c6ngulo (sugesta\u2dco: considere a altura AD e aplique o teorema de Pita´goras aos
dois tria\u2c6ngulos reta\u2c6ngulos formados).
9.30 Exerc´\u131cio. Um tria\u2c6ngulo iso´sceles cuja raza\u2dco entre a base e uma lateral e´ o nu´mero a´ureo, e´
chamado de tria\u2c6ngulo a´ureo (analogamente, define-se reta\u2c6ngulo a´ureo, elipse a´urea, etc.). Calcule
os a\u2c6ngulos de um tria\u2c6ngulo a´ureo. Mostre que todos os tria\u2c6ngulos a´ureos sa\u2dco semelhantes entre
si.
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Exerc´\u131cios complementares
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Cap´\u131tulo 10
Circunfere\u2c6ncia
Relacionam-se os fatos ba´sicos relativos a` geometria na cir-
cunfere\u2c6ncia, procurando-se enfatizar as relac¸o\u2dces entre a\u2c6ngulos
e arcos. Resultados relacionados a figuras inscritas e circun-
scritas sa\u2dco tambe´m abordados.
10.1 Elementos da circunfere\u2c6ncia
Recapitulamos, aqui, a definic¸a\u2dco 3.12, que introduz o conceito de circunfere\u2c6ncia.
Sejam O um ponto do plano e r um nu´mero real positivo. Circunfere\u2c6ncia de centro O
e raio r e´ o conjunto de pontos P tais que OP = r.
10.1 Observac¸a\u2dco. Para efeito de notac¸a\u2dco, indicaremos uma circunfere\u2c6ncia de centro O e raio
r por C(O, r). Muitas vezes, tambe´m chamaremos de raio um segmento determinado por O e
um ponto qualquer da circunfere\u2c6ncia.
10.2 Definic¸a\u2dco. Corda e´ um segmento cujas extremidades sa\u2dco dois pontos de uma circun-
fere\u2c6ncia. Dia\u2c6metro e´ uma corda que passa pelo centro.
10.3 Observac¸a\u2dco. A medida de um dia\u2c6metro de uma circunfere\u2c6ncia de raio r e´ 2r (muitas
vezes, chamaremos 2r de dia\u2c6metro da circunfere\u2c6ncia!).
10.4 Definic¸a\u2dco. Uma secante a uma circunfere\u2c6ncia e´ uma reta que intercepta a circunfere\u2c6ncia
em dois pontos distintos.
10.5 Teorema. Seja s secante a uma circunfere\u2c6ncia C(O, r) nos pontos A e B (onde AB
na\u2dco e´ um dia\u2c6metro). Enta\u2dco um raio intercepta AB em seu ponto me´dio