Geometria Plana
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Geometria Plana


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e´ inscrit´\u131vel
numa circunfere\u2c6ncia.
10.25 Definic¸a\u2dco. A\u2c6ngulo semi-inscrito relativo a uma circunfere\u2c6ncia e´ um a\u2c6ngulo que tem
ve´rtice na circunfere\u2c6ncia, um lado secante e o outro lado tangente a` circunfere\u2c6ncia.
Sejam A,B pontos distintos de C(O, r) e t uma reta tangente a` C(O, r) em A. Seja C um
ponto de t distinto de A; o a\u2c6ngulo com ve´rtice A e lados definidos pelas semi-retas
\u2212\u2212\u2192
AB e
\u2212\u2192
AC e´
um a\u2c6ngulo semi-inscrito e o denotaremos por CA\u302B. O arco
_
AB que tem um ponto no interior
de CA\u302B e´ chamado arco correspondente ao a\u2c6ngulo CA\u302B.
10.26 Teorema. A medida de um a\u2c6ngulo semi-inscrito e´ igual a` metade da medida do seu arco
correspondente.
Prova. Vamos dividir a demonstrac¸a\u2dco em tre\u2c6s casos:
(i) CA\u302B e´ agudo;
(ii) CA\u302B e´ reto;
(iii) CA\u302B e´ obtuso.
Caso (i) : CA\u302B e´ agudo. O tria\u2c6ngulo AOB e´ iso´sceles e BA\u302O+AO\u302B+OB\u302A = 180\u25e6. Como
BA\u302O = OB\u302A, segue que 2 ·BA\u302O = 180\u25e6 \u2212AO\u302B e, enta\u2dco,
BA\u302O = 90\u25e6 \u2212 1
2
AO\u302B. (10.2)
Sendo t tangente a` circunfere\u2c6ncia em A, temos que CA\u302B +BA\u302O = 90\u25e6 ou
BA\u302O = 90\u25e6 \u2212 CA\u302B. (10.3)
81
A\u2c6ngulos e arcos numa circunfere\u2c6ncia
F.
C
B
. tA
Figura 10.4: Teorema 10.26.
De (10.2) e (10.3), vem que
CA\u302B =
1
2
AO\u302B =
1
2
m
( _
AB
)
e o caso (i) esta´ provado.
Caso (ii): CA\u302B e´ reto. Neste caso, AB e´ dia\u2c6metro e
m(
_
AB) = 180\u25e6. Isto prova (ii).
Caso (iii): CA\u302B e´ obtuso. Como o suplemento de
tA\u302B e´ agudo, aplicando a este o caso (i), conclu´\u131mos a
prova.
10.27 Definic¸a\u2dco. Consideremos um arco
_
AB contido numa circunfere\u2c6ncia C(O, r). O arco
complementar de
_
AB relativamente a` C(O, r) e´ o conjunto de pontos {C(O, r)\u2212
_
AB}.
10.28 Teorema. Os ve´rtices dos a\u2c6ngulos inscritos (ou semi-inscritos) a uma circunfere\u2c6ncia
C(O, r) que tem lados passando por dois pontos A,B \u2208 C(O, r) e medem \u3b1, \u3b1 = 12 · m(
_
AB),
esta\u2dco no arco complementar de \u3b1 relativamente a` C(O, r).
10.29 Definic¸a\u2dco. O arco constru´\u131do acima e´ chamado arco capaz de \u3b1 sobre o segmento
AB.
10.30 Observac¸a\u2dco. Todos os pontos deste arco \u201cenxergam\u201d o segmentoAB segundo um a\u2c6ngulo
de medida \u3b1.
10.31 Exerc´\u131cio. Mostre que dado um segmento AB e um a\u2c6ngulo de medida \u3b1, existe um arco
capaz de \u3b1 sobre o segmento AB. Esse arco capaz e´ u´nico?
10.32 Teorema. SeAB e CD sa\u2dco cordas distintas de uma mesma circunfere\u2c6ncia que interceptam-
se num ponto P , enta\u2dco AP · PB = CP · PD.
Prova. Os tria\u2c6ngulos APD e CPB sa\u2dco semelhantes, pois DA\u302P = BC\u302P, PD\u302A = CB\u302P e
AP\u302D = CP\u302B (qual e´ a semelhanc¸a?).
F.
C
A
B
D
Figura 10.5: Teorema 10.32.
Logo CPAP =
PB
PD e, da´\u131, AP · PB = CP · PD.
10.33 Exerc´\u131cio. Mostre que se A1A2, A3A4, ..., An\u22121An
e´ uma seque\u2c6ncia de cordas de uma mesma circunfere\u2c6ncia e
elas interceptam-se num u´nico ponto P , enta\u2dco A1P ·PA2 =
A3P ·PA4 = ... = An\u22121P ·PAn. O produto An\u22121P ·PAn e´
chamado pote\u2c6ncia de P em relac¸a\u2dco a` circunfere\u2c6ncia.
10.34 Exerc´\u131cio. Se por um ponto P , externo a uma cir-
cunfere\u2c6ncia, passamos duas retas que interceptam a cir-
cunfere\u2c6ncia nos pontos A,B,C,D, respectivamente, enta\u2dco
PA · PB = PC · PD.
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A\u2c6ngulos e arcos numa circunfere\u2c6ncia
10.35 Definic¸a\u2dco. Um pol´\u131gono e´ inscrit´\u131vel se existe uma circunfere\u2c6ncia que contenha todos
os seus ve´rtices. Neste caso, a circunfere\u2c6ncia e´ dita circunscrita ao pol´\u131gono e o pol´\u131gono e´ dito
estar inscrito na circunfere\u2c6ncia.
10.36 Lema. Se ABC e´ um tria\u2c6ngulo qualquer e m,n sa\u2dco retas perpendiculares a AB e AC,
respectivamenteenta\u2dco m e n se interceptam num ponto.
10.37 Exerc´\u131cio. Prove o lema acima.
10.38 Teorema. Todo tria\u2c6ngulo e´ inscrit´\u131vel numa u´nica circunfere\u2c6ncia.
Prova. Existe\u2c6ncia da circunfere\u2c6ncia circunscrita. Seja ABC um tria\u2c6ngulo qualquer.
F
C
A
B
.
M
N
P
.t
s
Figura 10.6: Teorema 10.38.
Para provar que o 4ABC e´ inscrit´\u131vel numa cir-
cunfere\u2c6ncia, basta exibir um ponto (que sera´ o centro
da circunfere\u2c6ncia) equ¨idistante de A,B e C. Para isso,
tomemos os pontos me´dios M,N de AB,AC, respecti-
vamente, e sua respectivas mediatrizes t, s. Do exerc´\u131cio
5.27, segue o ponto P , intersec¸a\u2dco de t e s, e´ equ¨idistante
de A,B e C, logo, a circunfere\u2c6ncia C (P, r) com r = PA
circunscreve o tria\u2c6ngulo. Isto prova a existe\u2c6ncia.
Unicidade. Seja C (O, r\u2032) outra circunfere\u2c6ncia cir-
cunscrita ao 4ABC. Seu raio que passa por M e´ per-
pendicular a AB, conforme o teorema 10.5, logo, este
raio e´ mediatriz de AB e, enta\u2dco, O pertence a` media-
triz de AB.Mas, pelo mesmo motivo, o raio de C (O, r\u2032)
que passsa por N e´ a mediatriz de AC, de modo que O pertence a` mediatriz de AC. Acabamos
de mostrar que O e´ o ponto de intersec¸a\u2dco das mediatrizes de AB e AC. Desde que P e´, por
definic¸a\u2dco, o ponto comum das mediatrizes de AB e AC, segue que O = P. Note que
r\u2032 = OA = PA = r,
sendo a primeira e u´ltima igualdades va´lidas por C (O, r\u2032) e C (P, r) serem circunfere\u2c6ncias cir-
cunscritas ao 4ABC (a primeira por hipo´tese e a segunda por construc¸a\u2dco). Segue que as
circunfere\u2c6ncias C (O, r\u2032) e C (P, r) possuem mesmo centro e mesmo raio e, portanto, sa\u2dco iguais.
10.39 Exerc´\u131cio. Diga onde, na prova do teorema acima, foi usado o lema 10.36.
Como conseque\u2c6ncia imediata do teorema anterior temos o seguinte corola´rio:
10.40 Corola´rio. Em qualquer tria\u2c6ngulo, as mediatrizes dos seus lados interceptam-se num
u´nico ponto.
10.41 Corola´rio. Tre\u2c6s pontos na\u2dco colineares determinam uma u´nica circunfere\u2c6ncia.
10.42 Definic¸a\u2dco. O ponto comum a`s tre\u2c6s mediatrizes de um tria\u2c6ngulo e´ chamado circuncen-
tro do tria\u2c6ngulo (centro da circunfere\u2c6ncia circunscrita).
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A\u2c6ngulos e arcos numa circunfere\u2c6ncia
F
D
B
C
A
Figura 10.7: Quadrila´tero
inscrito.
Pelo que vimos no teorema 10.38, os tria\u2c6ngulos te\u2c6m a pro-
priedade de estarem inscritos numa circunfere\u2c6ncia. Isto na\u2dco e´
verdadeiro para um pol´\u131gono qualquer. So´ em situac¸o\u2dces bem
particulares pol´\u131gonos estara\u2dco inscritos numa circunfere\u2c6ncia. As
proposic¸o\u2dces que seguem esclarecem esse fato.
10.43 Teorema. Todo quadrila´tero inscrit´\u131vel possui um par
de a\u2c6ngulos opostos suplementares, e reciprocamente.
Prova. a) Suponhamos que ABCD seja um quadrila´tero
que esta´ inscrito numa circunfere\u2c6ncia. Da´\u131 segue que cada um
de seus a\u2c6ngulos esta´ inscrito na circunfere\u2c6ncia, logo, os a\u2c6ngulos
A\u302 e C\u302 subentendem arcos determinados pelos pontos B e D (arcos complementares). Como a
medida desses dois arcos soma 360\u25e6, de acordo com o teorema 10.20, A\u302+ C\u302 = 180\u25e6. Assim, A\u302 e
C\u302 sa\u2dco suplementares.
b) Seja ABCD um quadrila´tero que tem um par de a\u2c6ngulos opostos suplementares. Como a
soma dos a\u2c6ngulos internos de um quadrila´tero e´ 360\u25e6, segue que o outro par tambe´m constitui-
se de a\u2c6ngulos opostos suplementares. Consideremos a circunfere\u2c6ncia determinada pelos pontos
A,B,C (vide observac¸a\u2dco 10.41). Para o outro ve´rtice, D, do quadrila´tero so´ temos tre\u2c6s alterna-
tivas:
(i) D pertence ao interior da circunfere\u2c6ncia;
(ii) D pertence ao exterior da circunfere\u2c6ncia;
(iii) D pertence a` circunfere\u2c6ncia. F
E
B
C
A
D
Figura 10.8: Teorema 10.43.
Suponhamos que vale (i). Neste caso, tracemos o seg-
mento BD, e seja E o ponto de intersec¸a\u2dco da semi-reta
\u2212\u2212\u2192
BD
com a circunfere\u2c6ncia. Obtemos, assim, um quadrila´tero
ABCE que esta´ inscrito na circunfere\u2c6ncia. Da parte a)
do teorema, segue que seus a\u2c6ngulos opostos sa\u2dco suple-
mentares. Em particular, temos:
AB\u302C +AE\u302C = 180\u25e6. (10.4)
Por hipo´tese, temos que
AB\u302C +AD\u302C = 180\u25e6. (10.5)
Assim, de (10.4) e (10.5), segue que
AD\u302C = AE\u302C. (10.6)
Observemos, no entanto, que aplicando o teorema do a\u2c6ngulo externo aos 4AED e 4CDE
temos, respectivamente
AD\u302B > AE\u302B e CD\u302B > CE\u302B.
Assim,
AE\u302C = AE\u302B +BE\u302C < AD\u302B +BD\u302C = AD\u302C.
Isto entra em contradic¸a\u2dco com (10.6). Assim, D na\u2dco pertence ao interior da circunfere\u2c6ncia.
Se