Geometria Plana
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e a2 = BD2 + CD2.
Caso D esteja entre A e C, temos que AD + CD = b; logo,
a2 = BD2 + (b\u2212AD)2
= BD2 + b2 \u2212 2bAD +AD2
= b2 + c2 \u2212 2bAD
= b2 + c2 \u2212 2bc cos A\u302.
Caso C esteja entre A e D, temos que b+ CD = AD; logo,
a2 = BD2 + (AD \u2212 b)2
= BD2 + b2 \u2212 2bAD +AD2
= b2 + c2 \u2212 2bAD
= b2 + c2 \u2212 2bc cos A\u302.
Isto conclui a prova para o caso em que o a\u2c6ngulo A\u302 e´ agudo.
10.67 Observac¸a\u2dco. Observe que quando A\u302 e´ um a\u2c6ngulo reto, a igualdade do teorema anterior
reduz-se ao Teorema de Pita´goras.
10.68 Exerc´\u131cio. Complete a demonstrac¸a\u2dco do teorema anterior para o caso em que A\u302 e´ um
a\u2c6ngulo obtuso.
10.4 Comprimento de uma circunfere\u2c6ncia e de arco
de uma circunfere\u2c6ncia
Seja C (O,R) uma circunfere\u2c6ncia dada. Pelo exerc´\u131cio 10.55, para cada natural n, existe um
pol´\u131gono regular de n lados inscrito na circunfere\u2c6ncia. Denotaremos o lado e o per´\u131metro deste
pol´\u131gono por ln e pn, respectivamente.
A cada lado do pol´\u131gono esta´ associado um tria\u2c6ngulo iso´sceles com um ve´rtice em O, laterais
de medida R e base de medida ln. O a\u2c6ngulo do ve´rtice O de cada um destes tria\u2c6ngulos mede
\u3b8n = 2pin ; logo,
pn = n · ln = n2R sen pi
n
e, enta\u2dco
pn = 2piR
sen
(
pi
n
)(
pi
n
) .
Como
lim
n\u2192\u221e
sen
(
pi
n
)(
pi
n
) = 1,
88
Exerc´\u131cios complementares
e a` medida que n cresce, o per´\u131metro dos pol´\u131gonos inscritos aproximam-se cada vez mais do
comprimento da circunfere\u2c6ncia, tomamos a seguinte definic¸a\u2dco:
10.69 Definic¸a\u2dco. O comprimento de uma circunfere\u2c6ncia de raio R, e´ 2piR.
Observe que ao multiplicarmos o a\u2c6ngulo central por qualquer natural n, o comprimento do
arco correspondente devera´ ficar multiplicado por n. Ale´m disso, o comprimento do arco aumenta
a` medida que o a\u2c6ngulo central cresce, isto e´, o comprimento de arco e´ uma func¸a\u2dco crescente do
a\u2c6ngulo central.
Pelo teorema fundamental da proporcionalidade (vide [14]), temos que o comprimento l de
um arco e´ diretamente proporcional a` medida \u3b8 do a\u2c6ngulo central, isto e´,
l = k\u3b8,
sendo k a constante de proporcionalidade. Ela pode ser determinada observando que, para
\u3b8 = pi, temos l = piR; logo, k = R. Por isso, tomamos a seguinte definic¸a\u2dco:
10.70 Definic¸a\u2dco. O comprimento de um arco determinado por um a\u2c6ngulo central de me-
dida \u3b8 radianos e´ R\u3b8.
10.71 Observac¸a\u2dco. Note que as definic¸o\u2dces de medida de arco e de comprimento de arco sa\u2dco
distintas.
10.5 Exerc´\u131cios complementares
Indicaremos por R, ln, an as medidas do raio da circunfere\u2c6ncia circunscrita, do lado e do apo´tema
de um pol´\u131gono regular de n lados, respectivamente.
10.72 Exerc´\u131cio. Dado o raio da circunfere\u2c6ncia circunscrita, calcule as medidas do lado e doo
apo´tema do quadrado.
10.73 Exerc´\u131cio. Dado o raio da circunfere\u2c6ncia circunscrita, calcule as medidas do lado e do
apo´tema do hexa´gono regular.
10.74 Exerc´\u131cio. Dado o raio da circunfere\u2c6ncia circunscrita, calcule as medidas do lado e do
apo´tema do tria\u2c6ngulo regular.
10.75 Exerc´\u131cio. Dado o raio da circunfere\u2c6ncia circunscrita, calcule as medidas do lado e o do
apo´tema do deca´gono regular.
10.76 Exerc´\u131cio. Dado o raio da circunfere\u2c6ncia circunscrita, calcule as medidas do lado e do
apo´tema do penta´gono regular.
10.77 Exerc´\u131cio. Dados o raio da circunfere\u2c6ncia circunscrita e o lado ln, calcule a medida do
apo´tema an.
10.78 Exerc´\u131cio. Dados o raio da circunfere\u2c6ncia circunscrita e o lado ln, calcule a medida
del2n.
89
Exerc´\u131cios complementares
10.79 Exerc´\u131cio. Calcule a medida do a\u2c6ngulo central determinado pelos lados de um pol´\u131gono
regular de n lados.
10.80 Exerc´\u131cio. Se A1A2...A2n e´ um pol´\u131gono regular de 2n lados (nu´mero par de lados!),
enta\u2dco suas diagonais A1An+1, A2An+2, ... , AnA2n passam por um u´nico ponto, e este ponto e´
o centro do pol´\u131gono. Prove isso.
10.81 Exerc´\u131cio. Se A1A2...A2n e´ um pol´\u131gono regular de 2n lados (nu´mero par de lados!),
enta\u2dco seus lados A1A2 e An+1An+2; A2A3 e An+2An+3; ... ; An\u22121An e A2nA1 ; sa\u2dco dois a dois
paralelos. Prove isso.
10.82 Exerc´\u131cio. Prove que numa circunfere\u2c6ncia ou em circunfere\u2c6ncias de mesmo raio, cordas
sa\u2dco congruentes se, e somente se, sa\u2dco equidistantes do centro.
10.83 Exerc´\u131cio. Prove que a mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunfere\u2c6ncia.
10.84 Exerc´\u131cio. Prove que numa mesma circunfere\u2c6ncia ou em circunfere\u2c6ncias congruentes, se
duas cordas te\u2c6m comprimentos diferentes, a mais curta e´ aquela mais afastada do centro.
10.85 Exerc´\u131cio. Prove que todo paralelogramo circunscrito a uma circunfere\u2c6ncia e´ um losango.
10.86 Exerc´\u131cio. Prove que a soma dos dia\u2c6metros das circunfere\u2c6ncias inscritas e circunscritas
a um tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo e´ igual a` soma dos catetos desse tria\u2c6ngulo.
10.87 Exerc´\u131cio. Prove que todo trape´zio inscrito em uma circunfere\u2c6ncia e´ iso´sceles.
10.88 Exerc´\u131cio. Prove que todo paralelogramo inscrito em uma circunfere\u2c6ncia e´ reta\u2c6ngulo.
10.89 Exerc´\u131cio. Prove que o segmento determinado por um ve´rtice de um pol´\u131gono regular e
o centro da circunfere\u2c6ncia em que ele esta´ inscrito e´ bissetriz do a\u2c6ngulo daquele ve´rtice.
10.90 Exerc´\u131cio. Ale´m do tria\u2c6ngulo, existem pol´\u131gonos inscritos em uma circunfere\u2c6ncia que
sa\u2dco equia\u2c6ngulos, mas que na\u2dco sa\u2dco regulares? Ale´m do tria\u2c6ngulo, existem pol´\u131gonos circunscritos
em uma circunfere\u2c6ncia que sa\u2dco equila´teros, mas na\u2dco sa\u2dco regulares?
10.91 Exerc´\u131cio. Ale´m dos pol´\u131gonos regulares, existem outros pol´\u131gonos equia\u2c6ngulos inscrit´\u131veis.
E´ conveniente subdividirmos os pol´\u131gonos equia\u2c6ngulos em dois grupos: os que possuem um
nu´mero \u131´mpar de lados, e os que possuem um nu´mero par de lados. Mostre que todo pol´\u131gono
equia\u2c6ngulo, inscrit´\u131vel, com um nu´mero \u131´mpar de lados, e´ regular. Mostre que um pol´\u131gono
A1A2A3A4...An\u22121An equia\u2c6ngulo, com um nu´mero par de lados, tal que A1A2 = A3A4 = ... =
An\u22122An\u22121 e A2A3 = A4A5 = ... = An\u22121An, e´ inscrit´\u131vel.
10.92 Exerc´\u131cio. Ale´m dos pol´\u131gonos regulares, existem outros pol´\u131gonos equila´teros circuns-
crit´\u131veis. E´ conveniente subdividirmos os pol´\u131gonos equila´teros em dois grupos: os que possuem
um nu´mero \u131´mpar de lados, e os que possuem um nu´mero par de lados. Mostre que todo pol´\u131gono
equila´tero, circunscrit´\u131vel, com um nu´mero \u131´mpar de lados, e´ regular. Mostre que um pol´\u131gono
A1A2A3A4...An\u22121An equila´tero, com um nu´mero par de lados, tal que A\u3021 = A\u3023 = ... = A\u302n\u22121 e
A\u3022 = A\u3024 = ... = A\u302n , e´ circunscrit´\u131vel.
90
Exerc´\u131cios complementares
10.93 Exerc´\u131cio. Mostre que o dia\u2c6metro e´ a maior corda de uma circunfere\u2c6ncia.
10.94 Exerc´\u131cio. Mostre que toda reta cuja dista\u2c6ncia ao centro de uma circunfere\u2c6ncia seja
menor do que o raio, e´ secante a` circunfere\u2c6ncia.
10.95 Exerc´\u131cio. Mostre que toda reta cuja dista\u2c6ncia ao centro de uma circunfere\u2c6ncia e´ maior
do que o raio, e´ exterior a` mesma.
10.96 Exerc´\u131cio. Mostre que, toda reta cuja dista\u2c6ncia ao centro de uma circunfere\u2c6ncia e´ igual
ao raio, e´ tangente a` mesma.
10.97 Exerc´\u131cio. Mostre que uma reta e uma circunfere\u2c6ncia na\u2dco podem ter mais do que dois
pontos em comum.
10.98 Exerc´\u131cio. Mostre que tre\u2c6s pontos quaisquer de uma circunfere\u2c6ncia na\u2dco esta\u2dco alinhados.
10.99 Exerc´\u131cio. Enuncie e prove o rec´\u131proco do exerc´\u131cio 10.93.
10.100 Exerc´\u131cio. Mostre que em cada ponto de uma circunfere\u2c6ncia a reta tangente e´ u´nica.
10.101 Exerc´\u131cio. No caso do exerc´\u131cio 10.11, mostre que se O e´ o centro da circunfere\u2c6ncia, T
e T \u2032 os pontos de tange\u2c6ncia, enta\u2dco a semi-reta
\u2212\u2212\u2192
PO e´ bissetriz do a\u2c6ngulo T P\u302T \u2032 , e´ bissetriz do
a\u2c6ngulo TO\u302T \u2032 e os a\u2c6ngulos TO\u302T \u2032 e T P\u302T \u2032 sa\u2dco suplementares.
10.102 Exerc´\u131cio. Estude todas as poss´\u131veis posic¸o\u2dces relativas de duas circunfere\u2c6ncias.
10.103 Exerc´\u131cio. A reta que conte´m os centros de duas circunfere\u2c6ncias e´ dita reta dos cen-
tros. Se duas circunfere\u2c6ncias sa\u2dco tangentes a uma mesma reta em um mesmo ponto,