Geometria Plana
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Geometria Plana


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em outros que assumi-
mos como indefinidos. Assim, no desenvolvimento da geometria plana que faremos nos
pro´ximos cap´\u131tulos, iremos assumir quatro termos que sera\u2dco ba´sicos para definir todos os
outros termos geome´tricos, a saber:
- ponto;
- reta;
- incidente;
- estar entre.
Esta lista constitui-se dos termos geome´tricos indefinidos ou termos primitivos.
Todo corpo axioma´tico que construiremos estara´ baseado nesses termos, e nas noc¸o\u2dces
alge´bricas de conjunto, corresponde\u2c6ncia, aplicac¸a\u2dco, etc.
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A Origem da Geometria e o Me´todo Axioma´tico
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Cap´\u131tulo 2
Axiomas de Incide\u2c6ncia e da Ordem
O ambiente no qual constro´i-se a geometria e´ chamado
plano, e denominam-se ponto e reta os conceitos
geome´tricos primitivos (objetos primitivos) do plano.
Assume-se que o plano e´ constitu´\u131do por pontos e que retas
sa\u2dco subconjuntos distinguidos de pontos do plano. Lista-
se um grupo de axiomas, em nu´mero de sete, que fixara\u2dco
relac¸o\u2dces e definira\u2dco conceitos relativos aos objetos primi-
tivos (na\u2dco se apresenta axiomas relacionando esses entes
no contexto do espac¸o por so´ estar-se interessado em de-
senvolver geometria de objetos planos).
2.1 Axiomas de incide\u2c6ncia
... nos dizem sobre a disposic¸a\u2dco mu´tua de pontos e retas;
caracteriza reta.
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\ufffd
\ufffd
\ufffd
Axioma 1 Dados quaisquer dois pontos distintos, A e B, existe uma u´nica reta que os
conte´m.
2.1 Observac¸a\u2dco. Reservaremos as letras maiu´sculas do alfabeto latino para nomear
ponto e as letras minu´sculas para nomear retas. Assim, dizemos simplismente \u201cponto
P\u201d e \u201creta r\u201d, por exemplo.
2.2 Observac¸a\u2dco. Usando a notac¸a\u2dco da teoria dos conjuntos podemos, sinteticamente,
escreve o axioma 1 do seguinte modo: A,B,A 6= B \u21d2 \u2203 | r : A,B \u2208 r.
2.3 Observac¸a\u2dco. As expresso\u2dces \u201cum ponto pertence a uma reta\u201d, \u201cum ponto e´ incidente
em uma reta\u201d, \u201cum ponto esta´ sobre uma reta\u201d e \u201cuma reta passa por um ponto\u201d sa\u2dco
assumidas como equivalentes.
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Axiomas de incide\u2c6ncia
2.4 Observac¸a\u2dco. De acordo com este axioma, somente uma reta passa atrave´s de dois
pontos. Segue-se da´\u131, que uma reta esta´ completamente determinada pela especificac¸a\u2dco
de dois pontos. A partir disto, denotaremos enta\u2dco a reta que passa pelos pontos A e B,
por reta AB.
2.5 Definic¸a\u2dco. Se um ponto e´ comum a duas retas dizemos que elas se interceptam
nesse ponto, ou que esse ponto e´ um ponto de intersec¸a\u2dco dessas retas. Duas retas que
se interceptam num u´nico ponto sa\u2dco ditas concorrentes ou mutuamente transversais.
2.6 Definic¸a\u2dco. A colec¸a\u2dco de todos os pontos chamaremos dePlano. Nomearemos planos
utilizando-se das letras do alfabeto grego. Por exemplo: plano \u3b1 .
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\ufffd
\ufffd
Axioma 2 Em cada reta existem ao menos dois pontos distintos.\ufffd
\ufffd
\ufffd
Axioma 3 Existem tre\u2c6s pontos distintos que na\u2dco pertencem a uma mesma reta.
2.7 Observac¸a\u2dco. O axioma 3 diz que reta e´ um subconjunto pro´prio do plano.
2.8 Exerc´\u131cio. Prove que existem retas concorrentes.
2.9 Teorema. Duas retas distintas ou na\u2dco se interceptam, ou se interceptam somente
num ponto.
Prova: Dadas duas retas distintas, suponhamos que elas se interceptam em dois (ou
mais) pontos. Se isso e´ um fato, essas retas sera\u2dco coincidentes devido ao axioma 1, o que
e´ uma contradic¸a\u2dco pois, por hipo´tese, elas sa\u2dco distintas. Assim a intersec¸a\u2dco dessas retas
ou e´ vazia ou so´ conte´m um ponto.
2.10 Definic¸a\u2dco. Pontos pertencentes a uma mesma reta sa\u2dco ditos colineares, caso
contra´rio sa\u2dco na\u2dco-colineares.
2.11 Observac¸a\u2dco. E´ comum darmos uma representac¸a\u2dco gra´fica aos entes primitivos da
geometria euclidiana, imaginando um plano como a superf´\u131cie de uma mesa que se estende
indefinidamente em todas as direc¸o\u2dces. Nela, a marca da ponta de um la´pis representa
um ponto e a parte de uma reta e´ obtida usando-se uma re´gua. Cabe esclarecer que, ao
estudarmos geometria, e´ ha´bito utilizarmos desenhos. (vide ape\u2c6ndice A).
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Axiomas da ordem
aa
b
..
.
B
A
P
Figura 2.1: Retas a, b e pontos A,B e P.
Por exemplo, na Figura 2.1, esta\u2dco re-
presentadas duas retas, a e b, e tre\u2c6s pontos
A,B e P . O ponto A pertence a reta a e B,
a reta b; o ponto P e´ o ponto de intersec¸a\u2dco
das duas retas.
Muitas vezes faremos uso desse ar-
tif´\u131cio, mas chamamos a atenc¸a\u2dco do leitor
para o fato de que o desenho e´ so´ um ins-
trumento de apoio a` intuic¸a\u2dco e a` linguagem
mas, em momento algum, deve ser uti-
lizado como dado para demonstrac¸o\u2dces. (vide ape\u2c6ndice A).
2.2 Axiomas da ordem
...nos dizem sobre as propriedades da disposic¸a\u2dco mu´tua de
pontos numa reta; para essa disposic¸a\u2dco de pontos usa-se o
termo \u201cestar entre\u201d.
. . .
A BC
r
Figura 2.2: O ponto C esta´ entre A e B.
Com os pro´ximos axiomas, estaremos
interessados em caracterizar, exatamente,
o que significa \u201cdados tre\u2c6s pontos em uma
reta dizer quando um deles se localiza en-
tre os outros dois.\u201d Graficamente, isso esta´
ilustrado na Figura 2.2, para pontos A,B
e C de uma reta r.\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
Axioma 4 Para quaisquer tre\u2c6s pontos distintos colineares, um, e somente um deles, esta´
entre os outros dois.
2.12 Observac¸a\u2dco. As expresso\u2dces, \u201cum ponto C esta´ entreA eB\u201d, \u201cum ponto C separa os
pontos A e B\u201d ou \u201cos pontos A e B esta\u2dco em lados opostos do ponto C\u201d, sa\u2dco equivalentes.
2.13 Observac¸a\u2dco. Para dizer que \u201cC esta´ entre A e B\u201d vamos usar a seguinte notac¸a\u2dco:
A\u2212 C \u2212B.
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\ufffd
\ufffd
Axioma 5 Se A\u2212 C \u2212B enta\u2dco estes tre\u2c6s pontos sa\u2dco distintos, colineares e B \u2212 C \u2212 A.
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Axiomas da ordem
2.14 Observac¸a\u2dco. Em notac¸a\u2dco de teoria dos conjuntos o axioma 5 pode ser escrito do
seguinte modo:
A\u2212 C \u2212B \u21d4
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
A 6= B,A 6= C,B 6= C;
\u2203r : A,B,C \u2208 r e
B \u2212 C \u2212 A.
2.15 Observac¸a\u2dco. Se C separa A e B, podemos dizer tambe´m que B e C esta\u2dco situados
do mesmo lado em relac¸a\u2dco a A.
2.16 Definic¸a\u2dco. Dados dois pontos A e B, distintos, o conjunto de pontos constitu´\u131do
pelos pontos A,B e todos os pontos que esta\u2dco entre A e B e´ chamado de segmento AB,
(ou segmento de reta AB). Se A e B sa\u2dco coincidentes dizemos que AB e´ o segmento
nulo.
Os pontos A e B sa\u2dco denominados extremidades ou extremos do segmento AB.
2.17 Exerc´\u131cio. Use a notac¸a\u2dco da teoria de conjuntos e escreva a definic¸a\u2dco de segmento
AB.
2.18 Exerc´\u131cio. Mostre que AB = BA (observe que esta e´ uma igualdade de conjuntos).
2.19 Definic¸a\u2dco. A todo subconjunto pro´prio do plano chamaremos de figura geome´trica,
figura plana ou simplesmente figura.
2.20 Exerc´\u131cio. Utilizando somente os axiomas 1 - 5, de\u2c6 exemplos de figuras planas.
Utilizando-se segmentos podemos construir muitas figuras geome´tricas no plano. Uma
das mais simples e´ aquela formada por tre\u2c6s pontos na\u2dco colineares e pelos segmentos
A
CB
Figura 2.3: Representac¸a\u2dco gra´fica do
tria\u2c6ngulo determinado pelos pontos
A, B e C.
definidos por esses tre\u2c6s pontos. (Figura 2.3)
2.21 Definic¸a\u2dco. Sejam A,B,C tre\u2c6s pontos na\u2dco-
colineares. Tria\u2c6ngulo determinado por A,B,C e´
o conjunto AB\u222aAC\u222aBC. Os pontos A,B,C sa\u2dco os
ve´rtices do tria\u2c6ngulo e os segmentos AB,AC,BC
sa\u2dco os lados do tria\u2c6ngulo.
2.22 Observac¸a\u2dco. Indicaremos o tria\u2c6ngulo deter-
minado pelos pontos A,B,C por 4ABC.
2.23 Exerc´\u131cio. Prove que existe pelo menos um tria\u2c6ngulo (sugesta\u2dco: use os axiomas e
definic¸o\u2dces dados).
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Axioma 6 Dados dois pontos distintos A e B, existe um ponto C entre A e B.
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Axiomas da ordem
2.24 Exerc´\u131cio. Mostre que existem pelo menos sete tria\u2c6ngulos.
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Axioma 7 Dados dois pontos distintos A e B, existe um ponto D tal que B esta´ entre
A e D e um ponto E tal que A esta´ entre E e B.
A partir da noc¸a\u2dco de segmento de reta vamos introduzir o conceito de semi-reta atrave´s
da definic¸a\u2dco seguinte.
2.25 Definic¸a\u2dco. Dados dois pontos distintos, A e B, semi-reta de origem A contendo
o ponto B e´ o conjunto de pontos do segmento AB