Geometria Plana
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Geometria Plana


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O teorema 3.8 mostra que todo segmento tem um ponto me´dio e este
e´ u´nico.
3.11 Observac¸a\u2dco. A dista\u2c6ncia entre pontos satisfaz as seguintes propriedades:
i) AB \u2265 0 para quaisquer pontos A e B;
ii) AB = 0\u21d4 A = B;
iii) AB = BA para quaisquer pontos A e B.
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Axiomas sobre medida de segmentos
Observe que a noc¸a\u2dco de dista\u2c6ncia satisfaz propriedades que sa\u2dco as intuitivamente esper-
adas. Uma outra propriedade, que se espera estar satisfeita, e´ a chamada desigualdade
triangular, dada por:
iv) AC \u2264 AB + BC para quaisquer tre\u2c6s pontos A,B e C no plano. A igualdade vale
se C \u2208 AB.
Como veremos mais adiante (teorema 5.19), esta propriedade sera´ uma consequ¨e\u2c6ncia
dos axiomas anteriores e do pro´ximo grupo de axiomas a ser apresentado no cap´\u131tulo 4.
Com a noc¸a\u2dco de dista\u2c6ncia entre pontos podemos definir circunfere\u2c6ncia. Seja A um
ponto do plano e R um nu´mero real positivo.
3.12 Definic¸a\u2dco. Circunfere\u2c6ncia de centro A e raio R e´ o conjunto de pontos B do
plano tais que AB=R. Notac¸a\u2dco: C(A,R)
°A
Figura 3.2: Circunfere\u2c6ncia de
centro em A.
Um ponto C do plano tal que AC < R e´
dito ponto interior a` C(A,R); neste caso, dizemos
tambe´m que C esta´ dentro da circunfere\u2c6ncia. Se
AC > R, o ponto C e´ dito exterior a` C(A,R); neste
caso dizemos tambe´m que C esta´ fora da circun-
fere\u2c6ncia. O conjunto de pontos interiores a` circun-
fere\u2c6ncia e´ chamado disco aberto ou bola aberta de
centro A e raio r; que sera´ indicado por B(A,R).
3.13 Exerc´\u131cio. Use notac¸a\u2dco da teoria de conjuntos para escrever, de modo sinte´tico, os
conceitos da definic¸a\u2dco acima.
3.14 Definic¸a\u2dco. Um subconjunto do plano e´ dito limitado se existe um disco aberto
que o conte´m; caso contra´rio, e´ dito ilimitado (ou na\u2dco limitado).
3.15 Exerc´\u131cio. Utilizando as definico\u2dces anteriores:
i) Prove que qualquer conjunto finito de pontos do plano e´ limitado.
ii) Prove que todo segmento e´ limitado.
iii) Prove que a unia\u2dco finita de subconjuntos limitados e´ ainda um conjunto limitado
(observac¸a\u2dco: admita como verdadeira a desigualdade triangular).
iv) Prove que todo tria\u2c6ngulo e´ limitado.
v) Prove que dados um subconjunto limitado M , no plano, e um ponto P desse plano,
existe um disco aberto com centro em P e que conte´m M .
vi) Prove que retas sa\u2dco conjuntos ilimitados.
3.16 Exerc´\u131cio. Dizemos que o ponto C de um dado segmento AB e´ a sec¸a\u2dco a´urea de AB
se C e´ tal que ACCB =
AB
AC . Neste caso, dizemos tambe´m que C divide AB em me´dia e extrema
razo\u2dces.
Mostre que se C e´ sec¸a\u2dco a´urea de AB, enta\u2dco AC =
\u221a
5\u22121
2 AB e que AB =
\u221a
5+1
2 AC (o nu´mero\u221a
5+1
2 e´ conhecido como nu´mero a´ureo). Mostre que todo segmento possui uma sec¸a\u2dco a´urea.
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A\u2c6ngulo e Axiomas sobre medida de a\u2c6ngulos
3.2 A\u2c6ngulo e Axiomas sobre medida de a\u2c6ngulos
... define-se a\u2c6ngulo e diz como medi-los; da´-se uma maneira
de comparar a\u2c6ngulos.
3.17 Definic¸a\u2dco. A\u2c6ngulo e´ uma figura formada pela unia\u2dco de duas semi-retas distintas
que possuem a mesma origem e na\u2dco esta\u2dco contidas na mesma reta.
A\u2c6ngulo raso e´ a unia\u2dco de duas semi-retas opostas. Semi-retas coincidentes definem
um a\u2c6ngulo nulo.
As semi-retas sa\u2dco chamadas lados do a\u2c6ngulo e a origem comum e´ o ve´rtice do a\u2c6ngulo.
3.18 Observac¸a\u2dco. Muitos sa\u2dco os modos para se representar um a\u2c6ngulo; assim, se O e´ o
ve´rtice e se A e B sa\u2dco pontos quaisquer distintos de O, um em cada lado do a\u2c6ngulo, este
a\u2c6ngulo pode ser denotado por AO\u302B ou BO\u302A, (Figura 3.3).
.
.
A
BO
\u3b1
Figura 3.3: A\u2c6ngulo AO\u302B ou O\u302 e a\u2c6ngulo \u3b1.
Nesta notac¸a\u2dco, a letra que denomina
o ve´rtice deve sempre aparecer entre as
outras duas. Caso nenhum outro a\u2c6ngulo
tenha o mesmo ve´rtice, podemos utilizar
so´ a letra que designa o ve´rtice para repre-
sentar o a\u2c6ngulo. Assim, o a\u2c6ngulo represen-
tado na Figura 3.3 poderia ser denominado
simplesmente por O\u302. Em va´rias ocasio\u2dces e´
comum utilizar-se letras do alfabeto grego
para representar um a\u2c6ngulo; neste caso, escreve-se, pro´ximo do ve´rtice e entre as duas
semi-retas, a letra que designa o a\u2c6ngulo (Figura 3.3).
3.19 Observac¸a\u2dco. Dado um tria\u2c6ngulo ABC, os a\u2c6ngulos AB\u302C,BA\u302C e AC\u302B sa\u2dco ditos
os a\u2c6ngulos internos do tria\u2c6ngulo ABC.
De modo ana´logo a`quele utilizado para se introduzir medida de segmento, a medida
de um a\u2c6ngulo e´ feita atrave´s de alguns axiomas apropriados.\ufffd
\ufffd
\ufffd
Axioma 12 Existe uma func¸a\u2dco que a cada a\u2c6ngulo associa um nu´mero real positivo.
3.20 Definic¸a\u2dco. O nu´mero associado a um a\u2c6ngulo, a que se refere o axioma 12, e´
chamado medida do a\u2c6ngulo.
3.21 Observac¸a\u2dco. Via de regras, representaremos um a\u2c6ngulo e sua medida pelo mesmo
s´\u131mbolo. Assim, os s´\u131mbolos AO\u302B e \u3b1 sera\u2dco usados tanto para denotar um a\u2c6ngulo quanto
a sua medida.
28
A\u2c6ngulo e Axiomas sobre medida de a\u2c6ngulos
.
.
O
P
r
H
Figura 3.4: Semiplano H determinado por r.
Sabemos que uma reta divide um
plano em dois semiplanos (axioma
10). Tomemos um ponto O perten-
cente a uma reta r e uma semi-reta\u2212\u2192
OP , P contido no semiplano H de-
terminado por r. Nessa situac¸a\u2dco dize-
mos que a semi-reta divide o semi-
plano H.
Fixemos enta\u2dco um nu´mero real
positivo K.
#
&quot;
 
!
Axioma 13 Existe uma bijec¸a\u2dco que a cada semi-reta
\u2212\u2192
OP que divide H associa um
nu´mero real p \u2208 ]0, K[. Sendo a e b, respectivamente, os nu´meros associados as semi-retas\u2212\u2192
OA e
\u2212\u2212\u2192
OB que dividem H, a medida do a\u2c6ngulo AO\u302B e´ o nu´mero |a\u2212 b|.
\ufffd
\ufb03
\ufb01
\ufb02
Axioma 14 A uma das semi-retas de r com origem O esta´ associado o nu´mero 0 e a`
semi-reta oposta a ela esta´ associado o nu´mero K. A medida do a\u2c6ngulo nulo e´ zero e a
medida do a\u2c6ngulo raso e´ K.
3.22 Observac¸a\u2dco. No caso em que K = 180 temos o modo usual de medir a\u2c6ngulo,
que e´ aquele onde usamos um transferidor. A medida de a\u2c6ngulos feita nesse sistema
de coordenadas da´ o resultado em graus. Falaremos em a\u2c6ngulo de x graus ou x\u25e6 onde
0 \u2264 x \u2264 180. Quando K = 200 a medida e´ em grado e quando K = pi a medida esta´
dada em radiano . Daqui por diante, salvo menc¸a\u2dco em contra´rio, vamos assumir que os
a\u2c6ngulos sa\u2dco medidos em graus.
3.23 Observac¸a\u2dco. Exibida uma corresponde\u2c6ncia caracterizada pelos Ax. 13 e 14, a cada
semi-reta fica associado um nu´mero real entre 0 e K chamado coordenada da semi-reta.
3.24 Definic¸a\u2dco. Consideremos as semi-retas
\u2212\u2192
OA,
\u2212\u2212\u2192
OB e
\u2212\u2192
OC. Se o segmento AB inter-
cepta
\u2212\u2192
OC, dizemos que
\u2212\u2192
OC divide o a\u2c6ngulo AO\u302B.
3.25 Exerc´\u131cio. Mostre que se
\u2212\u2192
OC divide o a\u2c6ngulo AO\u302B\u201d e´ independente a escolha dos
pontos A e B nas semi-retas
\u2212\u2192
OA e
\u2212\u2212\u2192
OB, respectivamente.
O pro´ximo axioma vai estabelecer a propriedade da aditividade, coisa que se espera
de uma medida de a\u2c6ngulo. Para fazer isso, vamos considerar tre\u2c6s semi-retas de mesma
origem
\u2212\u2192
OA,
\u2212\u2212\u2192
OB e
\u2212\u2192
OC, tais que as duas u´ltimas estejam contidas, propriamente, num dos
semiplanos determinados pela reta que conte´m
\u2212\u2192
OA.
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A\u2c6ngulo e Axiomas sobre medida de a\u2c6ngulos
\ufb00
\ufffd
\ufffd
\ufffd
Axioma 15 Se uma semi-reta
\u2212\u2192
OC divide um a\u2c6ngulo AO\u302B, enta\u2dco AO\u302B = AO\u302C+CO\u302B,
e reciprocamente.
3.26 Exerc´\u131cio. Se a, b sa\u2dco as coordenadas dos lados do a\u2c6ngulo AO\u302B, enta\u2dco a medida
de AO\u302B e´ dada por |a\u2212 b|. (Resulta diretamente do Ax. 13).
3.27 Teorema. Para qualquer a\u2c6ngulo AO\u302B, existe uma u´nica semi-reta
\u2212\u2192
OC que divide
AO\u302B, tal que AO\u302C = CO\u302B.
Prova: Vide exerc´\u131cio 3.53.
3.28 Definic¸a\u2dco. A semi-reta
\u2212\u2192
OC do teorema acima, e´ chamada bissetriz do a\u2c6ngulo
AO\u302B.
3.29 Observac¸a\u2dco. O teorema 3.27 mostra que todo a\u2c6ngulo tem uma bissetriz e ela e´
u´nica.
Vamos introduzir, baseados nos axiomas ate´ agora fixados, algumas definic¸o\u2dces que
estabelecera\u2dco terminologias u´teis.
3.30 Definic¸a\u2dco. Dois a\u2c6ngulos sa\u2dco consecutivos se eles te\u2c6m um lado em comum. Se os
outros lados dos a\u2c6ngulos esta\u2dco em semiplanos