Geometria Plana
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Geometria Plana


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tem dois a\u2c6ngulos congruentes, enta\u2dco ele e´ iso´sceles.
4.18 Exerc´\u131cio. Prove o teorema 4.17.
4.19 Exerc´\u131cio. Prove que em qualquer tria\u2c6ngulo iso´sceles a mediana relativamente a`
base tambe´m e´ altura e bissetriz.
4.20 Teorema. (Terceiro Caso de Congrue\u2c6ncia de Tria\u2c6ngulos ou caso LLL)
Dois tria\u2c6ngulos sa\u2dco congruentes se eles te\u2c6m os lados correspondentes congruentes.
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Exerc´\u131cios complementares
Prova: Sejam ABC e XY Z dois tria\u2c6ngulos tais que AB \u2261 XY ,AC \u2261 XZ e BC \u2261
Y Z. Mostremos que ABC \u2261 XY Z. Consideremos a semi-reta S(AB) e escolhamos o
semiplano definido pela reta determinada por A e B e oposto a`quele que conte´m o ve´rtice
C. Construamos um a\u2c6ngulo com ve´rtice A, congruente ao a\u2c6ngulo X\u302, tendo por lados S(AB)
e uma semi-reta r\u2032 contida no semiplano escolhido acima. A partir de A, marquemos em r\u2032
um pontoD tal que AD \u2261 XZ (certifique-se de que tudo isso e´ poss´\u131vel de ser constru´\u131do!).
C
B||
Z
YX ||A
||
||
||
||
Figura 4.3: O Caso LLL de congrue\u2c6ncia de
tria\u2c6ngulos.
Como AB \u2261 XY (por hipo´tese),
AD \u2261 XZ (por construc¸a\u2dco) e
DA\u302B \u2261 X\u302 (por construc¸a\u2dco), temos
que ADB \u2261 XZY . Consideremos o
segmento CD; como AD \u2261 XZ \u2261
AC e DB \u2261 ZY \u2261 CB, os tria\u2c6ngulos
ADC e DBC sa\u2dco iso´sceles. Segue,
da´\u131, que AD\u302B \u2261 AC\u302B. Pelo axioma
17, temos que ADB \u2261 ACB. Mas
hav´\u131amos provado que ADB \u2261 XZY
logo ACB \u2261 XZY ou ABC \u2261 XY Z.
4.21 Exerc´\u131cio. Enuncie os casos de congrue\u2c6ncia de tria\u2c6ngulos utilizando-se somente de
palavras. (Sem uso de notac¸o\u2dces simbo´licas).
4.2 Exerc´\u131cios complementares
4.22 Exerc´\u131cio. Estude a possibilidade de construir um tria\u2c6ngulo iso´sceles cujos lados medem
a e b sendo a > b.
4.23 Exerc´\u131cio. Prove que em qualquer tria\u2c6ngulo iso´sceles as bissetrizes dos a\u2c6ngulos da base
sa\u2dco congruentes.
4.24 Exerc´\u131cio. Prove que em qualquer tria\u2c6ngulo equila´tero as tre\u2c6s bissetrizes sa\u2dco congru-
entes.
4.25 Exerc´\u131cio. Prove que em qualquer tria\u2c6ngulo iso´sceles as medianas relativamente, aos
a\u2c6ngulos da base, sa\u2dco congruentes.
4.26 Exerc´\u131cio. Prove que em qualquer tria\u2c6ngulo equila´tero as tre\u2c6s medianas sa\u2dco congruentes.
4.27 Exerc´\u131cio. Prove que em dois tria\u2c6ngulos congruentes as bissetrizes dos a\u2c6ngulos respec-
tivamente congruentes sa\u2dco congruentes.
4.28 Exerc´\u131cio. Prove que em dois tria\u2c6ngulos congruentes as medianas relativas a lados re-
spectivamente congruentes sa\u2dco congruentes.
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Exerc´\u131cios complementares
4.29 Exerc´\u131cio. Detalhe o procedimento que voce\u2c6 utilizaria para construir um tria\u2c6ngulo con-
gruente a um tria\u2c6ngulo dado.
4.30 Exerc´\u131cio. Prove que todo tria\u2c6ngulo, no qual uma altura e uma bissetriz sa\u2dco coincidentes,
e´ iso´sceles.
4.31 Exerc´\u131cio. Prove que todo tria\u2c6ngulo, no qual uma altura e uma mediana sa\u2dco coinci-
dentes, e´ iso´sceles.
4.32 Exerc´\u131cio. Prove que todo tria\u2c6ngulo equila´tero tem os tre\u2c6s a\u2c6ngulos congruentes, e recip-
rocamente.
4.33 Exerc´\u131cio. Sa\u2dco dados dois a\u2c6ngulos adjacentes congruentes: XO\u302Y e Y O\u302Z. Trac¸am-se
suas respectivas bissetrizes OM,ON e marcam-se sobre as semi-retas
\u2212\u2212\u2192
OX,
\u2212\u2212\u2192
OM ,
\u2212\u2212\u2192
OY ,
\u2212\u2212\u2192
ON
\u2212\u2192
OZ,
respectivamente, os segmentos congruentes OA \u2261 OB \u2261 OC \u2261 OD \u2261 OE. Encontre a relac¸a\u2dco
entre os segmentos AB,BC,CD e DE. Compare os a\u2c6ngulos BA\u302C e DC\u302E.
4.34 Exerc´\u131cio. Duas estradas retil´\u131neas ligam uma cidade A a duas cidades B e C,
conforme indicado na figura 4.4. Indique uma estrate´gia que permita voce\u2c6 determinar a
dista\u2c6ncia entre as cidades B e C, sabendo que entre B e C existe um morro (qualquer
medic¸a\u2dco que na\u2dco seja atrave´s do morro e´ poss´\u131vel).
.
A
B
C
.
.
Figura 4.4: Exerc´\u131cio 4.34
4.35 Exerc´\u131cio. Na figura 4.5, os tria\u2c6ngulos ABC e ABD sa\u2dco iso´sceles com base comum
AB. Prove que os a\u2c6ngulos CA\u302D e CB\u302D sa\u2dco congruentes e que CD e´ bissetriz do a\u2c6ngulo
AC\u302B.
B
BA
C
D
Figura 4.5: Exerc´\u131cio 4.35.
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Exerc´\u131cios complementares
4.36 Exerc´\u131cio. Na figura 4.5, o a\u2c6ngulo CM\u302A e´ reto e M e´ ponto me´dio de AB.Prove
que AC \u2261 BC.
.
.
A B
M
C
Figura 4.6: Exerc´\u131cios 4.36.
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Exerc´\u131cios complementares
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Cap´\u131tulo 5
Desigualdades nos Tria\u2c6ngulos
Estabelece-se, usando o teorema do a\u2c6ngulo externo, a ex-
iste\u2c6ncia de retas paralelas, a existe\u2c6ncia e unicidade da per-
pendicular a uma reta dada passando por um ponto na\u2dco
pertencente a essa reta, e uma condic¸a\u2dco necessa´ria para
que tre\u2c6s nu´meros positivos possam ser comprimentos de
lados de um tria\u2c6ngulo.
5.1 O teorema do a\u2c6ngulo externo e algumas de suas
consequ¨e\u2c6ncias
5.1 Definic¸a\u2dco. Os suplementos dos a\u2c6ngulos internos de um tria\u2c6ngulo sa\u2dco chamados
a\u2c6ngulos externos do tria\u2c6ngulo.
5.2 Teorema. (Teorema do A\u2c6ngulo Externo) Um a\u2c6ngulo externo de um tria\u2c6ngulo
mede mais do que qualquer um dos a\u2c6ngulos internos na\u2dco adjacentes a ele.
Prova: Seja ABC um tria\u2c6ngulo qualquer. Na semi-reta
\u2212\u2192
AB, marquemos um ponto
D tal que B esteja entre A e D. O teorema estara´ provado se mostrarmos que CB\u302D > C\u302
e CB\u302D > A\u302. Mostremos, inicialmente, que CB\u302D > C\u302.
A B D
C
M
N
.
Figura 5.1: O Teorema do A\u2c6ngulo Externo.
Para isso, consideremos o ponto me´dio
M do segmento BC. Na semi-reta S(AM)
marquemos um ponto N tal que A\u2212M\u2212N
e AM = MN. Ficam, assim, definidos os
tria\u2c6ngulos CMA e BMN.
Como CM = BM,AM = MN e
AM\u302C = BM\u302N (por que\u2c6?), segue que
os tria\u2c6ngulos CMA e BMN sa\u2dco congru-
entes. Logo, C\u302 =MB\u302N. Como a semi-reta\u2212\u2212\u2192
BN divide o a\u2c6ngulo CB\u302D enta\u2dco MB\u302N <
CB\u302D e, da´\u131, C\u302 < CB\u302D. De modo ana´logo, o leitor pode provar que CB\u302D > A\u302.
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O teorema do a\u2c6ngulo externo e algumas de suas consequ¨e\u2c6ncias
5.3 Exerc´\u131cio. Complete a demonstrac¸a\u2dco do teorema anterior.
5.4 Corola´rio. A soma das medidas de quaisquer dois a\u2c6ngulos internos de um tria\u2c6ngulo
e´ menor do que 180\u25e6.
Prova: Seja ABC um tria\u2c6ngulo qualquer; mostremos que A\u2c6+ B\u302 < 180\u25e6. Chamemos
de \u3b8 a medida do a\u2c6ngulo externo deste tria\u2c6ngulo com ve´rtice em B. Pelo teorema 5.2
temos que A\u2c6 < \u3b8. Como \u3b8 e B\u302 sa\u2dco suplementares, temos que \u3b8 + B\u302 = 180\u25e6. Logo
A\u2c6+ B\u302 < \u3b8 + B\u302 = 180\u25e6.
5.5 Corola´rio. Em todo tria\u2c6ngulo existem pelo menos dois a\u2c6ngulos internos agudos.
Prova: Suponhamos que um tria\u2c6ngulo possu´\u131sse dois a\u2c6ngulos internos na\u2dco agudos.
Neste caso a soma deles seria maior ou igual a 180\u25e6, o que na\u2dco pode ocorrer devido ao
teorema 5.4. Logo, vale o corola´rio.
5.6 Definic¸a\u2dco. Duas retas que na\u2dco se interceptam sa\u2dco ditas paralelas.
5.7 Corola´rio. Se r e s sa\u2dco retas distintas e perpendiculares a uma terceira, enta\u2dco r e s
sa\u2dco paralelas.
Prova: Se r e s se interceptassem, ter´\u131amos definido um tria\u2c6ngulo com dois a\u2c6ngulos
retos, o que e´ um absurdo devido ao corola´rio 5.5.
5.8 Teorema. (Quarto Caso de Congrue\u2c6ncia de Tria\u2c6ngulos ou caso LAA\u25e6)
Dois tria\u2c6ngulos ABC e XY Z sa\u2dco congruentes se AB \u2261 XY , B\u302 \u2261 Y\u302 e C\u302 \u2261 Z\u302.
5.9 Observac¸a\u2dco. O s´\u131mbolo A\u25e6 do teorema anterior representa o a\u2c6ngulo oposto ao lado
BC de um tria\u2c6ngulo ABC.
5.10 Exerc´\u131cio. Prove o teorema anterior.
5.11 Exerc´\u131cio. Mostre que existem retas paralelas (sugesta\u2dco: use o teorema 3.46).
O teorema seguinte nos fornecera´ um outro me´todo para constru´\u131rmos retas perpen-
diculares. Como conseque\u2c6ncia do corola´rio 5.7, podemos usar este me´todo para construir
retas paralelas.
5.12 Teorema. Por um ponto na\u2dco pertencente a uma reta passa uma u´nica reta perpen-
dicular a` essa reta.
Prova: (Existe\u2c6ncia) Seja r uma reta e P um ponto na\u2dco pertencente a` r. Tomemos
em r um ponto A, qualquer. Consideremos o segmento AP ; se AP ja´ e´ perpendicular a`
r, acabamos de construir a reta procurada, a saber, aquela determinada por A e P .
Caso contra´rio, observemos que A divide a reta r em duas semi-retas, r\u2032 e r\u201d. A
semi-reta S(AP ) define, com uma dessas semi-retas, um a\u2c6ngulo agudo com ve´rtice em A.
Suponhamos que r\u2032 seja essa semi-reta e chamemos esse a\u2c6ngulo