AnexoCorreioMensagem_500242_calculo-diferencial-e-integral-i-civil
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59857j \u27f9 :;<5\u27f6j j98j7j 4 1“ 4 8j . 
 
 6.POLINÔMIOS DE GRAU 3 E MAIOR QUE 3. 
 
 Para resolver este tipo de limite, usaremos um dispositivo prático chamado de 
BRIOT RUFFINI e o TEOREMA D\u2019ALEMBERT. Vejamos: 
 
 1.Dispositivo prático de BRIOT RUFFINI: 
 Consiste em dividir uma equação polinomial de grau maior ou igual a 3,da 
seguinte forma: 
 
 ”2*3 4 IE*y _ IE*y98 _\u22ef_ I* _ I , por * Q I,obtemos um quociente –2*3 4 ŽE Q 1*y98 _\u22ef_ Ž* _ Ž e resto r. 
 
 2.Teorema D\u2019ALEMBERT: 
 Um polinômio P(x) é divisível por * Q I		se, e somente se, P(x)=0. 
 
\u2192 Exemplos: Calcular os limites usando o dispositivo prático. 
 a)	:;<5\u21929—l “5
l78857j
15l9m5981 b)	:;<5\u2192˜l 15
l7m59j
15l9m571 c)	:;<5\u21928 5—9j5715l98 
\u2192Exemplos: Calcular os seguintes limites usando a fatoração: 
 a) :;<5\u21928 5—985l98 b)	:;<5\u219291 ™75—n95l c)	:;<5\u21921 5š98“™95— 
 
 
 3.Calculando limites usando o conjugado. 
\u2192Exemplos: Calcular os limites usando o conjugado. 
a):;<5\u2192j \u221a8759159j resp. 1/4 b)	:;<5\u21921 \u221aj59191\u221an5789j resp. 9/8. 
 
 
 
 
8 
 \u2192LISTA DE EXERCÍCIOS \u2013 1 
1.Calcular os seguintes limites: 
 
a):;<5\u2192122*1 _ 3* Q 43 f):;<5\u2192T 5l9Tl59T 
 
b):;<5\u21928 5l9m57n598 g):;<5\u21929T Tl95lT—75— 
 
c):;<5\u21928 5—9j5715l98 h):;<5\u21928 \u221a598598 
 
d):;<5\u2192+ \u221a57j9\u221aj5 i):;<5\u2192+ 89\u221a8955 
 
e):;<5\u2192+2pGA * _ A;E *3 j):;<5\u2192j 19\u221a5785l9’ 
 
7.LIMITES LATERAIS. 
 
Observando o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 \u2022 :;<5\u2192T7 ,2*3 4 Ž, é chamado de limite lateral à direita da a. 
 
 \u2022 :;<5\u2192T9 ,2*3 4 p, é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
 
\u2192Exemplo: É dada a função definida por ,2*3 4 @*1 _ 4*, * ‚ 16* Q 1, * X 1 ,calcular se existir: 
 
a):;<5\u219287 ,2*3 b):;<5\u219289 ,2*3 :;<5\u21928 ,2*3 
 
\u2192Exemplo.: Dada a função definida por ,2*3 4 |5|5 , para todo *Oo\u2217 , calcule ,se 
existir: 
 
a):;<5\u2192+7 ,2*3 b):;<5\u2192+9 ,2*3 c):;<5\u2192+ ,2*3 
 
OBS.: 
 Lembramos a definição de função modular: 
 
 |*| 4 œ *, AB	* ‚ 0Q*, AB	* X 0 \u2234 žŸ Çã	w£¤ŸN”- 
 
9 
 \u2192LISTA DE EXERCÍCIOS \u2013 2 
\u25baCalcular os limites laterais, caso existam em cada situação dada: 
1.Dada ,2*3 4 |578|578 definida em o Q RQ1S.Calcular : 
 
a):;<5\u219298Š ,2*3 b):;<5\u219298‰ ,2*3 c):;<5\u219298 ,2*3 
 
2.Dada ,2*3 4 |j591|19j5 definida em o Q œQ 1j¥.Calcular: 
 
a):;<5\u2192l—Š ,2*3 b):;<5\u2192l—‰ ,2*3 c):;<5\u2192l— ,2*3 
 
3.Dada ,2*3 4 5l9m57n|598| definida em oQ R2S. Calcular: 
 
a):;<5\u21928Š ,2*3 b):;<5\u21928‰ ,2*3 c):;<5\u21928 ,2*3 
 
4.Dada ,2*3 4 5—9“5l78859“|591| definida em oQ R2S.Calcular: 
 
a):;<5\u21921Š ,2*3 b):;<5\u21921‰ ,2*3 c):;<5\u21921 ,2*3 
 
5.Dada a função , ,definida por: 
 
 
 ,2¦3 4 §3* Q 2, AB	* V Q13, AB	* 4 Q15 Q I*, AB	* X Q1 
 
Determine a\u2208 o para que exista :;<5\u219298 ,2*3. 
 
8.LIMITES TRIGONOMÉTRICOS. 
 
 O que já devemos saber sobre trigonometria: 
 
1).Relação Fundamental da Trigonometria: 
 
 ABE1* _ pGA1* 4 1 QABE1* 4 pGA1* Q 1 
 
 ABE1* 4 1 Q pGA1* QpGA1* 4 ABE1* Q 1 
 
 pGA1* 4 1 Q ABE1* Hv	* 4 ¨…y 5©ª¨ 5 
 
 pGH * 4 ©ª¨ 5¨…y 5 ABp * 4 8©ª¨ 5 
 
 pGABp	* 4 8¨…y 5 ABE1* 4 ABE	* \u2219 ABE	* 
 
 
10 
2).Ciclo trigonométrico: 
 
 Para se calcular os limites trigonométricos, devemos calcular no sentido horário e ou 
anti \u2013 horário. Vejamos o ciclo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Limite trigonométrico fundamental: 
 
 					:;<5\u2192+ ¨…y 55 4 1 
 
 Visualizando o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 Vejamos alguns exemplos de limites trigonométricos: 
Calcular os limites trigonométricos: 
 
a):;<5\u2192+ ¨…y 155 
 
\u2022SOLUÇÃO: 
:;<5\u2192+ =2 \u2219 ¨«y	155 > \u27f9 2 \u2219 1 4 2 
 
 
b):;<5\u2192+ ¨…y j5¨…y m5 
 
\u2022SOLUÇÃO: 
 
11 
:;<5\u2192+ j\u2219¬­—‡—‡m\u2219¬­®‡®‡ \u27f9 :;<5\u27f6+
j\u22198
m\u22198 =
j
m 
 
c):;<5\u2192+ 89©ª¨55l 
 
\u2022SOLUÇÃO: 
 
:;<5\u2192+ =89©ª¨ 55l > \u2219 287©ª¨53287©ª¨53 \u27f9 :;<5\u27f6+ 89©ª¨l55l\u2219287©ª¨53 \u27f9 :;<5\u27f6+ ¨«yl55l\u2219287©ª¨53 \u27f9 
 :;<5\u27f6+ ¨…y 5\u2219¨…y 55\u22195\u2219287©ª¨ 53 \u27f9 :;<5\u27f6+ 887©ª¨ 5 \u27f9 :;<5\u27f6+ 887©ª¨ + \u21d2 81 . 
 
\u2022LISTA DE EXERCÍCIO. 
 Encontre: 
 
a):;<5\u27f6+ ¨…y j515 f):;<5\u2192+ 89¨«© 55l 
 
b):;<5\u27f6+ ¨…y 15¨…y 5 g):;<5\u2192+ °Ty 57¨…y 55 
 
c):;<5\u27f6+ ¨…y T5¨…y ±5 h):;<5\u2192+ 89©ª¨ 55\u2219¨…y 5 
 J3:;<5\u27f6+ °Ty 15j5 i):;<5\u2192+ m\u2219¨…y j59“\u2219¨…y 15²\u2219¨…y m57™\u2219¨…y 5 
 
e):;<5\u27f6+ 89©ª¨55 j):;<5\u2192+ ¨…y T5±5 
 
 \u25baTABELA COMPLEMENTAR DOS LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 
 
1.	A;E * _ A;E I 4 2 \u2219 A;E 57T1 \u2219 pGA 59T1 
2.	A;E * Q A;E I 4 2 \u2219 A;E 59T1 \u2219 pGA 57T1 
 3. pGA * _ pGA I 4 2 \u2219 pGA 57T1 \u2219 pGA 59T1 
 
4.pGA * Q pGA I 4 Q2 \u2219 A;E 57T1 \u2219 ABE 59T1 
 5. A;E2* _ I3 4 A;E I \u2219 pGA Ž _ A;E Ž \u2219 pGA I 
 6. pGA2* _ I3 4 pGA * \u2219 pGA I Q A;E * \u2219 A;E I 
 7. pGA 2I 4 pGA2I _ I3 4 pGA I \u2219 pGA I Q A;E I \u2219 A;E I 4 pGA1I Q ABE1I 
 
8.	Hv	* Q Hv	I 4 ¨«y	259T3©ª¨	5	\u2219©ª¨	T 
 
 
12 
Vejamos alguns exemplos: 
 
\u25baCom o auxílio das fórmulas complementares da trigonometria, calcular os seguintes 
limites: 
 
a):;<5\u2192T ©ª¨ 59©ª¨ T59T 			 \u2234 LBAK.QABE	I. 
 
b):;<5\u2192T °}	59°}	T59T 					 \u2234 LBAK. ABp1*. 
 
c):;<5\u2192³š ¨«y	59©ª¨ 589°}	5 		 \u2234 LBAK.Q \u221a11 . 
 
d):;<5\u2192T ¨«y	59¨«y	T59T 	 \u2234 LBAK. pGA I.	 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1.Calcule os limites trigonométricos: 
 
a):;<5\u2192+ °}59¨«y	5¨«yl5 					 \u2234 LBAK. ´BLG. b):;<5\u2192+ ¨«y	j59¨«y	15¨«y	5 					 \u2234 LBAK. 1 
 
c):;<5\u2192+ ¨«y	257T39¨«y	T5 		 \u2234 LBAK. pGA I d):;<5\u2192+ ©ª¨257T39©ª¨T5 		 \u2234 LBAK. QABE	I. 
 
2.Calcule o valor de :;<5\u2192+ 89©ª¨—5¨«yl5 .					 \u2234 LBAK. j1 . 
 
3.Mostre que: :;<5\u2192+ \u221a87¨«y	59\u221a89¨«y	55 4 1. 
 
4. Calcule os limites trigonométricos: 
a) :;<5\u2192³š ©ª¨ 15©ª¨ 59¨«y	5 b) :;<5\u2192+ ¨«y	T59¨«y	±55 
\u25baLimites Exponenciais: 
 Chamamos de \u212e o limite da função ,2E3 4 =1 _ 8y>y, definida em z\u2217,quando n 
tende a _\u221e. 
 \u212e 4 :;<y\u21927‹ =1 _ 8y>y 
 o número e é um número irracional. Um valor aproximado de e é 2,7182818284... . 
 
Devemos saber algumas regras de limites exponenciais, vejamos: 
 
a):;<5\u2192‹ =1 _ 85>5 4 B b):;<5\u2192+21 _ *38 5µ 4 B 
 
c):;<¶\u2192+21 _ ·3¹¸ 4 Bº\u2219„ d):;<5\u2192‹ =1 _ º5>„\u22195 4 Bº„ 
 
 
13 
e):;<5\u2192+ T‡985 4 :E	I f):;<5\u2192+ «‡985 4 1 
 
OBS. 
 \u2022»¼½¾\u21927‹ f¾¿ 4 c \u2022»¼½¾\u21929‹ f¾¿ 4 c 
 
Vejamos alguns exemplos: 
Calcular os seguintes limites: 
 
a):;<5\u2192‹ =1 _ j5>n5 b):;<5\u2192‹Š =1 _ 85>15 
 
c):;<5\u2192‹Š =578598>5 d):;<5\u2192+ j‡9815 
 
 
 \u25baEXERCÍCIOS: 
1.Calcular os seguintes limites exponenciais: 
 
a):;<5\u21927‹ =1 _ 85>j5 b):;<5\u21929‹ =1 _ 85>571 c):;<5\u21927‹ =1 _ n5>5 
 
d):;<5\u21929‹ =1 _ 15>j5 e):;<5\u21929‹ =1 _ j5>
‡š f):;<5\u21929‹ =57159j>5 
 
 
g):;<5\u21929‹ =15981578>5 h):;<5\u21927‹ =59n598>571 i):;<5\u21927‹ =5l785l9j>5
l
 
 
 
2.Calcular os seguintes limites exponenciais: 
 
a):;<5\u21927‹ «‡98¨…y m5 b):;<5\u21929‹ ¨…y j5«‡98