AnexoCorreioMensagem_500242_calculo-diferencial-e-integral-i-civil
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c):;<5\u21927‹ 1‡985 
 
d):;<5\u2192+ «l‡985 e):;<5\u2192+ 1—‡985 d):;<5\u2192+ jl‡981®‡98 
 
 
2.DERIVADAS. 
 
 Seja, uma função definida em um intervalo aberto I e *ª um elemento de I.Chama-
se derivada de , no ponto	*+ o limite 
 
 :;<5\u21925M |2539|25M3595M , se existir e for finito. 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 A derivada de ,´2*+3 ou ÁÂ|Â5Ã * 4 *+ ou ¤,2*+3. 
 
 
 Frisemos que a derivada de f no ponto *+ pode ser indicada das seguintes formas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.)Ä´2¾c3 4 »¼½¾\u2192¾c Ä2¾39Ä2¾c3¾9¾c 
 
 
2.)Ä´2¾c3 4 »¼½¾\u2192¾c \u2206Æ\u2206¾ 
 
 
3.)Ä´2¾c3 4 »¼½\u2206¾\u2192c Ä2¾c7\u2206¾39Ä2¾c3\u2206¾ 
 
OBS.: Para se resolver o mais rápido possível, usaremos a condição \u2018\u2019 3 \u2018\u2019. 
 
 
2.2.A DERIVADA USANDO A RETA TANGENTE: 
 
 Quando queremos obter a equação de uma reta passando por ‘2*+, +3 e 
coeficiente angular m, utilizamos a fórmula de Geometria Analítica: 
  Q + 4 < \u2219 2* Q *+3 
 
Graficamente, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 Em particular, se queremos a equação da reta tangente t ao gráfico de uma função f 
no ponto 2*+, +3, em que f é derivável, basta fazer	+ 4 ,2*+3 e < 4 ,Ç2*+3. A 
equação da reta t fica: 
 Æ Q Ä2¾c3 4 ÄÇ2¾c3 \u2219 2¾ Q ¾c3 
Exemplos: 
 
1.Qual é a equação da reta tangente à curva  4 *1 Q 3* no seu ponto de abscissa 4 ? 
 
2.Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico da função ,2*3 4 *1 no ponto: 
(a)(2; 4) e (b)(*+; *+13 como mostra o gráfico a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) resp. 2*+ (a)resp. 4 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função ,2*3 4 *j Q *		no ponto: 
 (a)( 2; 6) ,(b)(xo, f (xo)), como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a)resp. 11 (b)3*+1 Q1 
 
1º.)Calcularmos a derivada de f(x)=2x no ponto *+ 4 3. 
Resp.:2 
 
2º.)Calcularmos a derivada de f(x)=*1 _ * no ponto *+ 4 1. 
Resp.: 3 
 
3º.)Calcular a derivada de ,2*3 4 A;E * no ponto *+ 4 Èj. 
Resp.: ½ 
 
4º.)Calcular a derivada de ,2*3 4 \u221a*— no ponto *+ 4 0. 
Resp.:não existe. 
 
 
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2.3.INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA-APLICAÇÃO NA FÍSICA 
 
 A derivada da função A 4 A2H3 no ponto H 4 H+ é igual à velocidade escalar do 
móvel no instante H+. 
 
 A derivada da função É 4 É2H3 no ponto H 4 H+ é igual à aceleração escalar do 
móvel no instante H+. 
 
\u2022Exemplos: 
 
1.Um ponto material percorre uma curva obedecendo à equação horária 
A 4 H1 _ H Q 2. Calcule a sua velocidade no instante H+ 4 2. 
 
2.Calcule a aceleração de uma partícula no instante H+ 4 5,sabendo que sua 
velocidade obedece à equação É 4 2 _ 3H + 5H1. 
 
2.4.DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES: 
 
a)Derivada da função constante: 
 
					,(*) = p \u27f9 ,´(*) = 0 
 
b)Derivada da função potência: 
 
 ,(*) = *y \u27f9 ,´(*) = E \u2219 *y98 
 
c)Derivada da função seno: 
 
			,(*) = A;E * \u27f9 ,´ (*) = pGA * 
 
d)Derivada da função cosseno: 
 
			,(*) = pGA * \u27f9 ,´ (*) = \u2212A;E * 
 
e)Derivada da função exponencial: 
 
 ,(*) = I5 \u27f9 ,´(*) = I5 \u2219 :E	I 
No caso particular da função exponencial de base e,,(*) = B5,temos o resultado 
notável: 
 
 ,´(*) = B5 \u2219 :E	B = B5 , logo: 
 
 
 
 ,(*) = B5 \u27f9 ,´(*) = B5 
 
f)Derivada da função logarítmica natural (base e):f(x)=ln x 
 
					, ´(*) = 85 ou ,
´(*) = 85\u2219„y	T 
 
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2.5.REGRAS DE DERIVAÇÃO- IMPORTANTE 
 
\u2022I.Derivada da soma ou da diferença. 
 
,(*) = Ê(*) ± É(*) \u27f9 ,´(*) = Ê´(*) ± É´(*) 
 
\u2022II.Derivada do produto: 
 
,(*) = Ê(*) \u2219 É(*) \u27f9 ,´(*) = Ê´(*) \u2219 É(*) + Ê(*) \u2219 É´(*) 
 
\u2022III.Derivada do quociente: 
 
,(*) = Ë(5)Ì(5) \u27f9 ,
´(*) = Ë
´(5)\u2219Ì(5)9Ë(5)\u2219Ì´(5)
rÌ(5)sl 
 
 
\u25baConseqüências: 
 
 1ª)Derivada da função tangente: 
 ,(*) = HIE * \u27f9 ,´(*) = ABp1 * 
 
2ª)Derivada da função Ä(¾) = rÍ(¾)s9¿, ¿Î\u2115\u2217. 
 ,(*) = *9y \u27f9 ,´(*) = \u2212E \u2219 *9(y78) 
 
EXERCÍCIOS 
 
1.Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções: 
a),(*) = 8*88 b),(*) = 5 + * + 3*1 
c),(*) = *j + *1 + * + 5 d),(*) = 3 + 2*y + *1y,(EO\u2115) 
e),(*) = ABE²* \u2219 pGAj* f),(*) = * \u2219 B5 + pGA * 
g),(*) = (3*1 + *) \u2219 (1 + * + *j) h),(*) = *n \u2219 I15 
 
2.Obtenha a velocidade e a aceleração de um ponto material que percorre um 
segmento de reta obedecendo à equação horária A = B98 \u2219 pGA H,com IO\u211d. 
 
3.Usando a derivada do quociente, derive as seguintes funções: 
a),(*) = 5
l
578 b),(*) =
„y 5
5 c),(*) = HIE * 
 
d),(*) = pGH * e),(*) = 5
š78m
5 f),(*) =
5l98+
5l 
 
\u2022IV. Derivada de uma função composta: 
 ž(*) = vÐ,(*)Ñ \u27f9 ž´(*) = v´Ð,(*)Ñ \u2219 ,´(*) 
 
 
Exemplos: Derivar: 
 
a)ž(*) = pGA 2* resp.: - 2 . sen 2x 
 
b)ž(*) = ABEj* resp.: 3\u2219 ABE1* \u2219 pGA * 
 
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c)ž(*) = B²5l915 resp.: (14* \u2212 2) \u2219 B²5l915 
 
\u2022V.Derivada da função inversa: 
 * = ,98() \u27f9 (,98)() = 8|´(5) 
\u25baConseqüência 
 
1.Derivada da função logarítmica: 
 
 
 
 
No caso particular em que a=e,temos: 
 
 
 
 
 
2.Derivada da função potência com expoente real: 
 
 
  = *y \u27f9 ´ =\u221d\u2219 *\u221d98 
 
 
3.Derivada da função arc sen: 
 
 
  = ILp A;E * \u27f9 ´ = 8€89¶l 
 
 
4.Derivada da função arc cos: 
 
 
  = ILp pGA * \u27f9 ´ = \u2212 8€89¶l 
5.Derivada da função tangente: 
 
 
  = ILp HIE * \u27f9 ´ = 887¶l 
 
Vejamos alguns exemplos: 
Determinar a função derivada das seguintes funções: 
 
a) = :Gv1 * b) = :Gv1 pGA * c) = \u221a* d) = \u221a*— 
 
e) = \u221aA;E * f) = ILp A;E *1 g) = ILp pGA B5 h) = ILp HIE(:E *) 
 
 = :GvT * \u27f9 ´ =
1
* \u2219 :E I 
 = :GvT * \u27f9 ´ =
1
* \u2219 :E I 
 
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 LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1.Calcularmos a derivada de f(x)=2x+4 no ponto *+ = 4. 
 
2.Calcularmos a derivada de f(x)=3*1 + 2* no ponto *+ = 2. 
 
3.Calcular o valor da derivada da função ,(*) = 85l + B
95 + ABp1*, quando *+ = Èn. 
 
4.Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções: 
 
a),(*) = 8*88 b),(*) = 5 + * + 3*1 
c),(*) = *j + *1 + * + 5 d),(*) = 3 + 2*y + *1y,(EO\u2115) 
e),(*) = ABE²* \u22c5 pGAj* f),(*) = * \u2219 B5 + pGA * 
g),(*) = (3*1 + *) \u2219 (1 + * + *j) h),(*) = *n \u2219 I15 
 
5.Usando a derivada do quociente, derive as seguintes funções: 
a),(*) = 5
l
578 b),(*) =
\u221aj
5 c),(*) = HIE * 
 
d),(*) = pGH * e),(*) = 5
š78m
5 f),(*) =
5l98+
5l 
 
6.Mostre que: a derivada da função HIE *	 = 	 ABp1 *. 
 
7. Usando a definição, ,Ç(*+) = :;<Ô\u2192+ |
(5M7Ô)9|(5M)
Ô calcular a taxa de variação de 
cada função dada: 
 
a),(*) = 3* \u2212 2, para *+ = 2 
 
b),(*) = *1 \u2212 2* + 1, para *+ = 2 
 
8.Calcule no instante H+ = 3 a velocidade de uma partícula que se move obedecendo à 
equação horária A = 8°. (Unidades SI) 
 
9.Calcule a aceleração de uma partícula no instante H+ = 6, sabendo que sua 
velocidade obedece à equação