Apostila de Matemática Comercial e Financeira II
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Apostila de Matemática Comercial e Financeira II


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antes do vencimento deve descontá-
lo, à taxa comercial de 36% ao ano, para que possa adquirir mercadorias no valor 
de R$ 6.790,00?
Apostila de Matemática Comercial & Financeira 2ª Unidade Prof. Adeval
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13. CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTA
13.1. INTRODUÇÃO
1. Construir um capital - Temos uma Capitalização
2. Resgatar uma dívida - Temos uma Amortização
13.2. RENDAS
A sucessão de depósitos ou prestações, em épocas distintas, destinadas a formar 
um capital ou pagar uma dívida é denominada renda.
Os termos da sucessão de depósitos ou de prestações são chamados \u201ctermos da 
renda\u201d e o intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos 
consecutivos é chamado \u201cperíodo da renda\u201d.
As rendas podem ser de dois tipos: Certas e Aleatórias:
1) Rendas Certas ou Anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus 
vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados. 
Exemplo: Compra de bens a prazo.
2) Rendas Aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos três elementos não 
pode ser previamente determinado.
Exemplo: Pagamento de seguro de vida (o número de termos é 
indeterminado)
Quando o período da renda é sempre o mesmo, diz-se que ela é periódica, caso 
contrário, é não-periódica.
Se os termos da renda são iguais, ela é denominada constante, caso contrário, é 
variável.
Quanto ao vencimento do primeiro termo, uma renda certa pode ser:
 imediata, antecipada ou diferida.
\u2666 Renda Imediata : ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim 
do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do 
contrato. Assim, o vencimento do último termo (Tn) ocorre no fim do período n.
 T1 T2 T3 Tn-3 Tn-2 Tn-1 Tn termos
 0 1 2 3 n \u2013 3 n \u2013 2 n \u2013 1 n períodos
Exemplo:
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Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira 
prestação um mês após a assinatura do contrato.
\u2666 Renda Antecipada : ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na 
da data zero. Assim, o vencimento do último termo ocorre no início do período 
n.
 T1 T2 T3 T4 Tn-2 Tn-1 Tn termos
 0 1 2 3 n \u2013 3 n \u2013 2 n \u2013 1 n períodos
Exemplo:
Depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante 
um prazo determinado.
\u2666 Renda Diferida : ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim 
de um determinado número de períodos, a contar da data zero. Assim, o 
vencimento do último termo ocorre no fim de (m + n) períodos.
 T1 T2 Tn-2 Tn-1 Tn termos
 0 1 2 m m + 1 m + 2 m + n - 2 m + n - 1 m + n períodos
Exemplo:
Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira 
prestação no fim de um determinado número de meses.
Observações: Sempre que o tipo de renda não for especificado, deve-se 
considerar como renda imediata, por ser o tipo mais comum.
Resumo:
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u2022
.termodoValor
ou,vencimentodeData
ou,termosdeNúmero
)faltaquando(
.termodoValor
vencimentodeData
termosdeNúmero
)terdeve(
Aleatórias
anuidadesouCertas
Rendas
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1 \u2192
\u2022 periódica.Não
Periódica
rendadaPeríodo
iguaisPeríodos
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1 \u2192
\u2022
Variável.
Constante
rendadaTermos
iguaisTermos
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u2192
\u2192
\u2192
\u2022
.carênciaCom
entradaCom
períodoº1dofinalNo
Diferida
Antecipada
apostecipadouImediata
termo1ºdoVencimento
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13.3. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Vamos estudar neste item, a determinação do montante constituído por depósitos 
periódicos de quantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa.
13.3.1. Renda Imediata
Situação problema:
\u2666 Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 
meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que 
essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados 
mensalmente. 
Temos: C = 100,00
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 5 m
Fórmula do montante:
 0 1 2 3 4 5 Mn = C(1 + i)n
 100 100 100 100 100 M5 = 100
M4 = 100(1 + 0,02) = 100 x 1,02
M3 = 100(1 + 0,02)2 = 100 x 1,022
M2 = 100(1 + 0,02)3 = 100 x 1,023
M1 = 100(1 + 0,02)4 = 100 x 1,024
O montante de uma renda é dado pela soma dos valores dos montantes de seus 
termos, denotada por ( inS ¬ - lê-se: Sn, cantoneira i ou, simplesmente S, n, i).
Assim, 02,05S ¬ = M1 + M2 + M3 + M4 + M5
02,05S ¬ = 100 + 100 x 1,02 + 100 x 1,022 + 100 x 1,023 + 100 x 1,024 =
02,05S ¬ = 100 (1 + 1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024) =
02,05S ¬ = 100 (1 + 1,02 + 1,0404 + 1,0612 + 1,0824) =
02,05S ¬ = 100 x 5,204 = 520,40
Genericamente, temos:
inS ¬ = T × (1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + (1 + i)4 )
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Aplicando a soma dos termos de uma PG no parêntese, temos: Sn = 1
1
\u2212
\u2212\u22c5
q
aqan
a1 = 1
an = (1 + i)4
q = (1 + i)
Como sn = 1
1
\u2212
\u2212×
q
aqan = 
( ) ( )
( ) 11
111 4
\u2212+
\u2212+×+
i
ii
= ( )
11
11 5
\u2212+
\u2212+
i
i = ( )
i
i 11 5 \u2212+
Logo, 
 iS ¬5 = T × ( )i
i 11 5 \u2212+ para i5s ¬ = i
i 1)1( 5 \u2212+ (fator de 
capitalização)
 ins ¬ = i
i n 1)1( \u2212+ (fator de capitalização)
 Sn¬ i \u2192 Soma dos montantes
onde T \u2192 Termos da renda (Prestações)
sn¬ i \u2192 Fator de Capitalização.
Assim, 
S5¬0,02 = 100 × s5¬0,02 = 100×5,20404 = 520,40
Exercícios
1) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância 
de R$ 800,00 a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano ?
2) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu 
ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2 anos e meio?
3) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de 
cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, 
ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00 ?
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4) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 
200.000,00, à taxa de 25% ao ano.
5) A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor de 
R$ 8.093,00, forma um capital de R$ 135.000,00 ao fazer o décimo quinto 
depósito ? (Use a Tábua Financeira).
6) Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser calculadas, à 
taxa de 2% ao mês, a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00? (Use a 
Tábua Financeira).
13.3.2. Renda Antecipada
Vimos que na renda antecipada, depositamos no início do período, n parcelas 
iguais a T, a uma taxa unitária i, referida à mesma unidade do período constante. 
Neste caso, a última prestação será depositada no tempo n \u2013 1, e no tempo n, 
terá a correção do último período. Assim, o fator de capitalização será calculado 
sobre n + 1 períodos.
Situação-problema:
\u2666 Uma pessoa deposita numa poupança, no início de cada mês, durante 5 
meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que 
a instituição paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados 
mensalmente. 
Temos: C = 100,00