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DINÂMICA DE VEÍCULOS
2/2013
Profa. Suzana Moreira Avila, DSc
Noções de Vibrações
AULA 1
Sumário
� Histórico
� Importância
� Sistemas Dinâmicos
� Conceitos Básicos
� Procedimentos de Análise
� Sistemas de um grau de liberdade
� Sistemas de vários graus de liberdade
� Referências
Histórico
• Surgimento do interesse pelas vibrações com os
primeiros instrumentos musicais (apitos e tambores),
4000 a.C.
• Pitágoras (582-507 a.C.), primeiro a investigar sons
musicais com base científica.
• Aristóteles, 350 a.C., tratados sobre música e som.
• Zhang Heng, China, 132 d.C., invenção do primeiro
sismógrafo.
• Galileu (1564-1642), estudo sobre a relação entre
frequência, vibração e o comprimento de um pêndulo
simples.
Histórico
• Marin Mersenne, matemático francês (1588-1648),
vibração de cordas. É considerado o pai da acústica.
• Isaac Newton (1642-1727), segunda lei de Newton é
utilizada para derivar a equação de movimento de um
sistema.
• Brook Taylor (1685-1731) solução teórica do problema
da corda vibratória.
• Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean D´Alembert (1717-
1783) e Leonard Euler (1707-1783), aperfeiçoamento
da formulação de Taylor com a introdução de derivadas
parciais nas equações de movimento.
Histórico
• Lagrange (1736-1813) solução analítica da corda 
vibratória.
• D´Alembert , em 1750, método para estabelecer a 
equação diferencial do movimento de uma corda.
• Coulomb, em 1784, estudo sobre oscilações torsionais
de um cilindro de metal suspenso.
• Kirchoff (1824-1887), vibração de placas.
• Simeon Poisson (1781-1840), vibração de membranas.
• Rayleigh, em 1877, publicou seu livro sobre teoria do 
som.
Histórico
• Contribuições mais recentes: Frahm, Stodola,
Laval, Timoshenko e Mindlin.
• Vibrações não-lineares: Poicaré, Lyapunov,
Duffing, van der Pol, Minorsky, Stoker e Nayfeh.
• Até 30 anos atrás, estudos de vibrações, mesmo
os tratando sistemas complexos de engenharia,
eram realizados utilizando modelos grosseiros
com apenas alguns graus de liberdade.
Histórico
• Com o advento dos computadores e o
desenvolvimento simultâneo do Método dos
Elementos Finitos (MEF) habilitou os engenheiros a
usar computadores digitais para realizar análises
numericamente detalhadas de vibrações de sistemas
complexos com milhares de graus de liberdade.
Importância
• A maioria das atividades humanas envolve vibração:
audição pela vibração dos tímpanos, vibração das
ondas de luz proporcionam a visão, respiração através
da vibração dos pulmões, etc.
• Em muitos outros campos da atividade humana,
fenômenos apresentam variáveis cujo comportamento
é oscilatório (economia, biologia, química, física, etc.).
• No campo tecnológico, as aplicações de vibrações na
engenharia são de grande importância nos tempos
atuais.
Importância
• Projetos de máquinas, fundações, estruturas,
motores, turbinas, sistemas de controle, e
outros, exigem que questões relacionadas a
vibrações sejam levadas em conta.
• Sempre que a freqüência natural de vibração de
uma máquina ou estrutura coincide com a
freqüência da força externa atuante, ocorre um
fenômeno conhecido como ressonância que
ocasiona grandes deformações e falhas
mecânicas.
Importância
• Colapso da Ponte Tacoma Narrows, 1940
Importância
• Ocorrência de vibrações excessivas pode causar, entre
outras coisas, falhas mecânicas, fadiga do material,
desgaste mais rápido dos componentes do sistema.
• Em muitos sistemas de engenharia, o ser humano atua
como parte integrante do mesmo. A transmissão de
vibração para o ser humano resulta em desconforto e perda
de eficiência.
• A vibração também pode ser utilizada com proveito em
várias aplicações industriais. Esteiras transportadoras,
peneiras, compactadores, misturadores, máquinas de
lavar, utilizam vibração em seu princípio de funcionamento.
Importância
• Vibração também pode ser utilizada em testes de
materiais, processos de usinagem, soldagem.
• Os ultra-sons são largamente utilizados também em
medicina (obstetrícia, destruição de cálculos renais,
etc.).
• Também é empregada para simular terremotos em
pesquisas geológicas e para conduzir estudos no
projeto de reatores nucleares.
SISTEMAS DINÂMICOS
CONCEITO
• SISTEMA: 
1. conjunto de elementos agrupados
2. iteração e/ou interdependência
3. relações de causa e efeito;
• EXEMPLOS: Circuitos elétricos, 
Ecossistemas, Sistema Nervoso, etc.
SISTEMAS DINÂMICOS
CONCEITO
SISTEMA DINÂMICO
As grandezas que caracterizam seus 
elementos variam com o tempo
Considerações preliminares
POSSIBILIDADES:
• Projeto de um sistema
• Sistema existente
• Simulações
Variação da grandeza no tempo x(t)
• Contínua: derivada dx/dt – EQ. DIFERENCIAIS
• Discreta: Método das diferenças finitas
ESTUDO TEÓRICO DE UM SISTEMA 
DINÂMICO
• Construção de um modelo adequado
• Análise do Modelo
VÁRIÁVEIS 
• INDEPENDENTES: evoluem livremente
Ex. tempo t
• DEPENDENTES: dependem da variável 
independente
Ex. deslocamentos, velocidades e 
acelerações
PARÂMETROS
• Quantidades que influenciam no 
comportamento do sistema
• São classificados em:
1. fixos ou variáveis
2. concentrados ou distribuídos
SISTEMA AUTÔNOMO – Parâmetros
constantes, funçoes de entrada
independentes do tempo. Ex.: Vibração
Livre
SISTEMA NÃO-AUTÔNOMO – função de
entrada dependente do tempo t. Ex.:
Vibração Forçada
Conceitos Básicos
• Vibração: a teoria da vibração trata do estudo de
movimentos oscilatórios de corpos e forças
associadas a eles.
• Classificação:
1. Livre ou forçada;
2. Amortecida ou não-amortecida;
3. Linear ou não-linear;
4. Determinística ou aleatória.
Conceitos Básicos
• Componentes elementares de um sistema vibratório
1. Massas ou inércias: armazenam energia potencial
gravitacional (associada à posição em relação a um
referencial) e energia cinética (associada à
velocidade), sendo que esta última pode ser de
translação e/ou de rotação;
2. Molas: armazenam energia potencial elástica,
associada à deformação elástica que o corpo sofre;
3. Amortecedores: dissipam energia mecânica sob
forma de calor e/ou som.
Conceitos Básicos
• Graus de Liberdade: é o número mínimo de
coordenadas independentes necessárias a
descrever completamente o movimento de todas
as partes que compõem um sistema vibratório.
Conceitos Básicos
Conceitos Básicos
• Sistemas contínuos e discretos: 
Sistemas que podem ser separados em partes de forma
que cada uma delas possua um determinado número de
graus de liberdade e o sistema global tenha um número
finito e graus de liberdade são sistemas discretos, sendo
também chamados de sistemas com parâmetros
concentrados.
Um sistema contínuo não pode ser dividido, possuindo um
número infinito de graus de liberdade sendo também
conhecidos como sistemas com parâmetros distribuídos.
Procedimentos de Análise
1. Modelagem Matemática
2. Derivação das equações governantes
3. Solução das equações governantes
4. Interpretação dos resultados
Procedimentos de Análise
Procedimentos de Análise
Sistemas de um grau de liberdade
• Equação de movimento
Sistemas de um grau de liberdade
• A equação de movimento é deduzida através das leis 
de Newton, ou de forma equivalente, pelo princípio de 
D´Alembert.
Sistemas de um grau de liberdade
• Se o sistema, por outro lado, possuir uma inércia
rotacional girando em torno de um ponto fixo,
com um momento externo aplicado, temos a
seguinte equação de movimento equivalente:
Exercício
• Deduza a equação de movimento para um 
sistema massa-mola em posição vertical como 
mostra a figura:
Sistemas com vários graus de 
liberdadeSistemas com vários graus de 
liberdade
Sistemas com vários graus de 
liberdade
Sistemas com vários graus de 
liberdade
Sistemas com vários graus de 
liberdade
Sistemas com vários graus de 
liberdade
Sistemas com vários graus de 
liberdade
Sistemas com vários graus de 
liberdade
Referências
• Capítulo 1: RAO, S., Vibrações Mecânicas, Ed. 
Pearson, 4ª ed., 2009
• CRAIG R.R., Structural Dynamics, An
Introduction to Computer Methods, Wiley, 
1981