Medição da Mortalidade em Matemática Atuarial

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Bibliografia:
1. C. W. Jordan, Lifes Contingencies - The Society of Actuaries/1975.
2. José Gonzales Galé - Elementos de Cálculo Actuarial - Impresso en La Prenta Lopez - Buenos Aires - Dezembro 1942.
I. Introdução:
A análise sistemática das contingências de vida humana constitui os fundamentos do trabalho de um atuário. Na solução dos problemas envolvendo essas contingências, ele necessita proceder alguns tipos de medição dos seus efeitos; e em se tratando de problemas de natureza financeira, ou seja, de sistemas de financiamento, ele precisa também de utilizar uma série de princípios, segundo os quais as medições sejam combinadas com as funções de juros, no sentido de quantificar monetariamente.
A primeira preocupação do atuário é com as contingências de morte e sobrevivência. Nesta primeira apostila, consideraremos a problemática de dar expressão quantitativa para os padrões observados de mortalidade e, definiremos e examinaremos as diversas funções que são utilizadas para esse fim. Nas apostilas seguintes, desenvolveremos fórmulas nas quais as funções de mortalidade e as funções de juros são combinadas de forma a produzir valores monetários para as anuidades por sobrevivência e para os seguros de vida.
2. A função sobrevivência:
 O padrão normal de mortalidade observado entre as vidas humanas é geralmente familiar. A eliminação por morte das vidas individuais, é um tanto forte nos primeiros anos de vida, decrescendo na meninice para crescer ao longo da adolescência e da meia-idade e acelerar o crescimento com a aproximação do limite máximo de sobrevivência (w). Procurando uma quantificação da extensão desses efeitos, vamos começar por definir uma função de probabilidade fundamental.
Seja x a idade em anos da vida humana. Então x pode assumir qualquer valor de 0 (zero) até o limite máximo de sobrevivência (w).
Consideraremos agora a probabilidade de uma nova vida, de idade 0 (zero), sobreviver à idade x. Nós podemos estudar essa probabilidade como uma função de x, e nos referiremos a ela como função sobrevivência, s(x).
A função sobrevivência s(x) tem as seguintes propriedades:
s(x) é uma função contínua, decrescente em relação à x visto que a probabilidade de (0) sobreviver à idade x é maior que a de sobreviver à idade x+t, t > 0;
s(x) é uma função contínua de x definida no intervalo 0 ( x ( w, que decresce do valor s(0) = 1 até s(w) = 0.
Notação: (0) = pessoa de exatamente idade zero.
w = limite máximo de sobrevivência, ou seja, a primeira idade em que não há sobreviventes (geralmente w é uma idade próxima de 100 anos).
Fig. 1: “Curva de sobrevivência derivada da experiência real”:
 �
OBS: É difícil encontrar uma expressão matemática, envolvendo um pequeno nº de parâmetros, que se ajuste perfeitamente a essa curva ao longo de todas as idades.
Fig. 2: “Curva de sobrevivência derivada da hipótese simplificada de que s(x) seja linear”:
 �
Verifica-se que a função de sobrevivência s(x) = 1 - � INCORPORAR Equation.2 ���; 0 ( x ( 105 atende às propriedades estudadas pois:
s’(x) = - 1/105 < 0
s(0) = 1
s(105) = 0
Portanto, s(x) = 1 - � INCORPORAR Equation.2 ��� é uma função contínua e decrescente no intervalo 0 ( x ( 105, assumindo o valor máximo de 1 no ponto x = 0 e o valor mínimo de 0 no ponto x = w = 105.
Da função de sobrevivência s(x) = 1 - � INCORPORAR Equation.2 ���; 0 ( x ( 105, podemos tirar que:
. prob (0) sobreviver à idade 15 = s(15) = 1 - � INCORPORAR Equation.2 ��� = 6/7.
. prob (0) sobreviver à idade 42 = s(42) = 1 - � INCORPORAR Equation.2 ��� = 3/5.
. prob (0) falecer entre 15 e 42 anos: s(15) - s(42) = 6/7 - 3/5 = 9/35.
Qual é a probabilidade p de (15) sobreviver à idade de 42 anos? E de morrer até essa idade?
s(42) = p . s(15) ( p = � INCORPORAR Equation.2 ���portanto, a probabilidade contrária correspondente a 1-p = 1 - 7/10 = 3/10.
Supondo uma segunda função: s(x) = � INCORPORAR Equation.2 ��� temos:
y = � INCORPORAR Equation.2 ���
= - � INCORPORAR Equation.2 ���
s(0) = � INCORPORAR Equation.2 ���
s(100) = � INCORPORAR Equation.2 ���
que, portanto, s(x) é uma função de sobrevivência. Pede-se calcular então:
. prob (0) sobreviver à idade 36 = s(36) = � INCORPORAR Equation.2 ���
. prob (0) sobreviver à idade 64 = s(64) = � INCORPORAR Equation.2 ���
. prob (36) sobreviver à idade 64 = � INCORPORAR Equation.2 ���
. prob (0) morrer entre as idades 36 e 64 � INCORPORAR Equation.2 ���
. prob (36) morrer antes dos 64 � INCORPORAR Equation.2 ���
IMPORTANTE: Deve ficar claro, a partir dos exemplos apresentados, que as medições numéricas das probabilidades de vida e morte são prontamente calculadas a qualquer tempo desde que se conheça a função de sobrevivência, s(x).
3. Tábua de mortalidade:
3.1. Apresentação:
Suponhamos que se deseje estudar o efeito da função de sobrevivência
� INCORPORAR Equation.2 ���
num determinado grupo de 100.000 vidas recém-nascidas.
Fig. 3 
 �
Agora, o número � INCORPORAR Equation.2 ��� de vidas sobreviventes à idade 1 é uma variável aleatória com o valor esperado de:
� INCORPORAR Equation.2 ���100.000 � INCORPORAR Equation.2 ���é denotado por l1. 
Podemos agora calcular o número esperado de mortes ocorridas no 1º ano de vida: 100.000 - 99.499 = 501, que é denotado por d1.
Vamos determinar agora l2 e d2:
l2 = 100.000 . s(2) = 100.000 � INCORPORAR Equation.2 ���
d2 = 99.499 - 98.995 = 504
Seguindo este raciocínio, podemos elaborar a seguinte Tábua 1 contendo as colunas lx e dx, sendo lx o nº de sobreviventes a cada idade x e dx o nº de mortes ocorridas entre as idades x e x+1.
TÁBUA 1
Parte da Hipotética Tábua de Mortalidade com s(x) = 1/10 � INCORPORAR Equation.2 ��� ; 0 ( x ( 100:
Idade
x�lx�dx�Idade
x�lx�dx��0
1
2
3
4
5�100.000
99.499
98.995
98.489
97.980
97.468�501
504
506
509
512
514�6
7
8
9
10
-�96.954
96.437
95.917
95.394
94.868
-�517
520
523
526
528
-��
As funções lx e dx têm as seguintes definições:
lx = k . s(x), onde *k é uma constante positiva, e
dx = lx - lx+1
*k é conhecido como “raiz da tábua” e corresponde ao valor de l0, assumindo geralmente uma potência de 10 não inferior a 105.
Para facilitar as relações que apresentaremos a seguir é conveniente ter as seguintes interpretações de lx e dx:
lx representa o número de sobreviventes exatamente com idade x, e
dx representa o número de falecidos entre as idades x e x+1.
Importante: É preciso ficar bem claro nem lx, e nem dx têm significado a partir dos respectivos valores absolutos.
Tal significado depende do valor escolhido para “raiz da tábua”. Em suma, seu significado é sempre relativo. Também é preciso ter permanentemente em consideração que lx é uma função contínua de x, embora valores tabulados aparecem nas Tábuas de Mortalidade apenas para valores inteiros de x.
3.2. Probabilidades de morte e de sobrevivência:
Probabilidades de morte e sobrevivência podem ser obtidas diretamente das colunas lx e dx constantes das tábuas de mortalidade e as relações apresentadas anteriormente podem imediatamente serem verificadas com base nos conceitos elementares de probabilidade.
. px = � INCORPORAR Equation.2 ��� é a prob de (x) sobreviver pelo menos mais 1 ano, ou seja, de atingir em vida a idade x+1.
. � INCORPORAR Equation.2 ��� é a prob de (x) sobreviver pelo menos mais n anos, ou seja, de atingir em vida a idade x+n.
NOTA: Quando x=0, � INCORPORAR Equation.2 ���se transforma na função de sobrevivência: � INCORPORAR Equation.2 ���= s(n).
. qx = 1 - px = � INCORPORAR Equation.2 ��� é a prob. de (x) falecer em menos de 1 ano, ou seja, antes de atingir a idade x+1.. � INCORPORAR Equation.2 ���é a prob de (x) falecer em menos de n anos, ou seja, antes de atingir a idade x+n.
. � INCORPORAR Equation.2 ���é a prob de (x) sobreviver a idade x+n e falecer antes de atingir a idade x+n+1.
. � INCORPORAR Equation.2 ���é a prob de (x) sobreviver a idade x+n e falecer antes de atingir a idade x+n+m+1.
IMPORTANTE: É preciso salientar que essas probabilidades podem ser avaliadas a partir da tábua de mortalidade somente se x, n e m forem valores inteiros. 
3.3. Construção das tábuas de mortalidade:
Embora tenhamos definido a tábua de mortalidade em termos da Lei (função) de sobrevivência s(x), na prática essas tabelas são construídas geralmente com base em observações empíricas constantes de estatísticas sobre dados de mortalidade. Quando isto é feito, os valores de qx são desenvolvidos a partir de uma investigação da mortalidade, e esses valores são usados para construir a coluna dos lx e dos dx da tábua de mortalidade utilizando-se o seguinte processo:
Um valor arbitrário qualquer, geralmente uma potência positiva de 10 não inferior a 105, é escolhido para o valor de lx inicial e denominado de “raiz da tábua”. No caso vamos considerar como lx inicial a quantidade l0.
Então: d0 = l0 . q0
l1 = l0 - d0
d1 = l1 . q1
l2 = l1 - d1
e, generalizando, temos: dx = lx . qx
lx+1 = lx - dx
Ocorre frequentemente em estudos desse tipo, que não há observação suficiente para definir os valores de qx em relação às idades mais jovens e, em muitos casos, o objetivo para o qual a tábua está sendo preparada é tal que não há necessidade de incluir valores para essas idades mesmo se os mesmos pudessem ser avaliados. Assim, é comum começar a tábua de mortalidade na menor idade significativa, por exemplo, entre as idades de 10 e 20 anos.
Quando as tábuas de mortalidade são construídas pelo processo ora apresentado, não é usualmente possível encontrar uma expressão matemática simples para s(x), e a tábua de mortalidade constitui por si só a inteira definição do padrão de comportamento da mortalidade.
NOTA: É importante, contudo, ter em mente que sempre existe uma função de sobrevivência s(x), contínua, associada à tábua de mortalidade, mesmo quando não se conhece exatamente que expressão matemática ela tenha.
3.4 Relação entre as funções lx e s(x):
s(x) representa a probabilidade de (0) sobreviver a idade x e, lx representa a quantidade de sobreviventes com exatamente a idade x.
� INCORPORAR Equation.2 ���
Como l0 = k é uma constante (raiz da tábua), o comportamento dessas funções são idênticas, apenas que: s(x) está contida no intervalo 0 ( s(x) ( 1 e,
lx está contida no intervalo 0 ( lx ( k
Portanto, as probabilidades de sobrevivência e de morte apresentadas no subitem 3.2., podem ser obtidas substituindo-se devidamente a função lx pela função s(x). Assim, por exemplo temos que:
. Px = � INCORPORAR Equation.2 ���
. qx = � INCORPORAR Equation.2 ���
4. A função Lx e a taxa central de mortalidade mx:
4.1. A função Lx:
Vamos definir a seguinte função:
Lx correspondente ao número de pessoas que tendo completado x anos de idade não completaram ainda x+1 anos de idade.
Se considerarmos a hipótese de que a ocorrência de mortes entre as idades x e x+1 tenha uma distribuição uniforme, teremos que:
Lx = � INCORPORAR Equation.2 ���
Portanto, Lx representa o número médio de sobreviventes entre as sucessivas idades x e x+1.
4.2. Taxa Central de Mortalidade (mx):
Vimos que a prob. de que (x) morra antes de atingir a idade x+1 é representada por:
qx = � INCORPORAR Equation.2 ���. Chamaremos esse quociente de “taxa anual de mortalidade”.
Se compararmos o número de mortes ocorridas entre as idades x e x+1 (dx), com o número de pessoas que, em um dado momento (num censo por exemplo) declaram ter idade x (embora na verdade tenham idade igual ou superior a x e inferior a x+1), o que pelo que foi visto pode ser representado pela função Lx, o novo quociente será:
mx = � INCORPORAR Equation.2 ��� . Chamaremos esse quociente de “taxa central de mortalidade”.
Como dx = lx - lx+1 temos mx = � INCORPORAR Equation.2 ���
dividindo o numerador e o denominador por lx, temos:
mx = � INCORPORAR Equation.2 ���
para se obter mx em função de qx, basta substituir px por 1 - qx e 1 - px por qx e, então: mx = � INCORPORAR Equation.2 ���
Exercícios:
i) Demonstrar que: px = � INCORPORAR Equation.2 ���
mx = � INCORPORAR Equation.2 ��� 
mx . px + 2 px = 2 - mx� INCORPORAR Equation.2 ��� 
ii) Demonstrar que: qx = � INCORPORAR Equation.2 ���
px = � INCORPORAR Equation.2 ���
� INCORPORAR Equation.2 ���
5. A Força da Mortalidade:
5.1. Introdução:
As funções de probabilidade definidas anteriormente são úteis para medir a mortalidade em determinados intervalos de tempo. A função qx, por exemplo, que mede a prob de (x) falecer antes de atingir a idade x+1, pode ser interpretada como um indicador do nº médio de mortes efetivamente ocorridas entre as idades x e x+1. Nesse sentido, qx, é comumente conhecido como “taxa anual de mortalidade”.
É claro, no entanto, que a intensidade da mortalidade varia a cada momento entre cada intervalo x a x+1, e assim é importante se chegar a algum método de se medir essa variação a cada instante.
5.2. Taxa Instantânea de Mortalidade (Força de Mortalidade):
O gráfico da Figura 1, com alteração na escala das ordenadas, pode representar a curva lx, visto que lx = k . s(x) - sendo k a constante l0. O grau de inclinação dessa curva em qualquer ponto está relacionado com o número de mortes nas proximidades desse ponto: quanto maior for o declíve da curva, maior será o número de mortes. O grau de inclinação é medido pela derivada da função lx, sendo natural, portanto, que estudemos em seguida a derivada dessa função.
Vamos tomar um caso concreto como uma função (x) conhecida, de forma que a diferenciação possa ser realmente quantificada:
Seja s(x) = 1/10 . � INCORPORAR Equation.2 ��� e seja a raiz da tábua (l0) igual a 10.000, então:
lx = 1.000 . � INCORPORAR Equation.2 ���
Denotando a derivada de lx em relação a x por Dlx, temos:
Dlx = - � INCORPORAR Equation.2 ���
que mede a taxa de decrescimento de lx em relação a x. Na idade de 51 anos, por exemplo:
� INCORPORAR Equation.2 ���aproximando para inteiro o mais próximo. Isto significa que na idade de 51 anos, lx está decrescendo na taxa de 71 vidas por ano.
Como uma medida da taxa de mortalidade, tal medição não é satisfatória visto que ela depende do número de vidas que estão sujeitas ao risco de morte na idade exata de 51 anos, denotada por l51 = 7.000. Dividindo 71 por 7.000, obtemos para a idade de 51 anos, o índice de mortalidade 71/7.000 = 0,0101, um resultado que independe do número de vidas com exatamente 51 anos.
Este índice de mortalidade é conhecido como “força da mortalidade” ou como a “taxa instantânea de mortalidade” e é denotado pelo símbolo Mx. Sua definição é dada por:
Mx = - � INCORPORAR Equation.2 ��� ou, o que é equivalente, por Mx = - � INCORPORAR Equation.2 ���
As seguintes propriedades de Mx devem ser memorizadas:
(1) Mx é uma medida de mortalidade “no preciso momento em que se atinge a idade x”;
(2) Mx expressa essa mortalidade na forma de uma taxa anual.
O valores de Mx não estão restritos ao intervalo 0 ( Mx ( 1, de forma diferente das funções de probabilidade que a ele estão restritos, podendo assumir qualquer valor positivo. Isto pode ser visto a partir da relação Mx = - � INCORPORAR Equation.2 ���, que excederá da unidade quando o valor numérico da inclinação da curva lx exceder ao correspondente valor lx. Tal fato ocorre normalmente nos limites inferiores e superiores de duração da vida, ou seja, nos primeiros poucos dias seguintes ao nascimento e de novo no anoda idade que procede a idade w. De fato, na medida que x se aproxima da idade w, lx, se aproxima de zero e Mx tende a infinito.
Finalmente é possível escrever uma expressão alternativa para Mx , visto que por diferenciação temos que D log u = � INCORPORAR Equation.2 ��� .
Portanto: Mx = - D loglx.
Melhor compreensão da natureza da “força de mortalidade” (“taxa instantânea de mortalidade”) pode ser obtida analisando a relação Mx = - � INCORPORAR Equation.2 ��� em termos da definição de derivada. A derivada de lx pode ser expressa como: � INCORPORAR Equation.2 ��� e, pela relação Mx = - � INCORPORAR Equation.2 ���, temos que podemos denotar que:
Mx = - � INCORPORAR Equation.2 ���
Agora, a expressão � INCORPORAR Equation.2 ��� pode ser vista como uma taxa anual de mortalidade calculada com base na mortalidade ocorrida no intervalo de idade x a x+h. Por exemplo, se h = ½ (ano), � INCORPORAR Equation.2 ��� = � INCORPORAR Equation.2 ��� = 2 x � INCORPORAR Equation.2 ��� que corresponde ao dobro da probabilidade (x) falecer antes de decorrer meio ano. Quando h se aproxima de zero, o limite dessa expressão, a “força da mortalidade” ou a “taxa instantânea de mortalidade”, pode ser entendida como a taxa anual nominal de mortalidade calculada com base na mortalidade ocorrida no instante em que se atinge a idade x.
Podemos facilmente ver porque o valor de Mx normalmente excede a 1 no início e no fim da tábua de mortalidade. A mortalidade infantil é alta no período imediatamente posterior ao nascimento. Considerando as primeiras 24 horas de vida, por exemplo, o valor de � INCORPORAR Equation.2 ��� pode exceder a 1/365, então a taxa � INCORPORAR Equation.2 ��� excede 1. Quando menores intervalos de tempo são tomados, a taxa cresce ainda mais. Consideremos o final da tábua de mortalidade. Desde que não haja sobreviventes na idade w, nós podemos escrever � INCORPORAR Equation.2 ���, que é verdadeiro para qualquer valor de x. Se x é uma tal idade que h = w-x é menor que 1, se segue que: � INCORPORAR Equation.2 ���, e assim valores de Mx excedentes a 1 ocorrerão no ano entre as idades w-1 e w.
NOTA: Valores de Mx maiores que 1 são ocasionalmente encontrados quando nós estamos utilizando uma função de sobrevivência não relacionada com o padrão normal de mortalidade. Por exemplo: lx = (100-x)101; 0 ( 100 é fácil verificar que Mx é maior que 1 em qualquer idade.
5.3. A força da mortalidade versus a força dos juros:
Se aplicarmos um capital inicial (C0) ao longo de 1 ano, obteremos o capital final (C1). A diferença entre C1 e C0 corresponde aos juros (I). Portanto, I representa a força dos juros sobre C0 ao final de 1 ano.
I = C1 - C0
Se o capital final (C1) só será pago ao final de 1 ano caso a pessoa que no início do ano tinha exatamente a idade x esteja viva, a força da mortalidade atua conjuntamente com a força dos juros. Neste caso, o valor, no instante zero, de C1 não é mais C0 = C1 - I, mas sim: � INCORPORAR Equation.2 ��� a força da mortalidade.
Portanto, do mesmo modo que i (taxa efetiva anual de juros correspondente a I) representa a força dos juros ao longo do período de 1 ano, temos que qx (taxa efetiva anual de mortalidade) representa a força da mortalidade ao longo do ano que vai da idade x até a idade x+1.
6. Algumas Famosas Leis de Mortalidade:
6.1. Introdução:
As expressões que até aqui utilizamos para representar funções de sobrevivência são confessadamente artificiais. Matemáticos há muito que se mostram intrigados com o problema de construir funções analíticas, que reproduza, com fidelidade a típica curva lx. Essa curva é uma retorcida curva descendente, e a presença de pelo menos dois pontos de inflexão torna difícil representá-la por qualquer fórmula simples. Vamos examinar das mais importantes soluções propostas pelos matemáticos.
6.2. Lei de De Moivre (1.724):
A primeira e mais simples proposta foi sugerida por Abraham De Moivre de forma que lx fosse representada por uma linha reta. De Moivre reconhecia que esta era uma rude aproximação. Seu objetivo, contudo, era o de na prática tornar simplificado o cálculo dos valores das anuidades de sobrevivência, que naquela época era uma extenuante tarefa. Ele recomendava a utilização de sua hipóteses somente no intervalo entre as idades de 12 a 86 anos. A fórmula encontrou pronta aceitação e foi muito utilizada em seu objetivo simplificador. Ela pode ser expressada por:
lx = (kw-x) e deriva da seguinte expressão de Mx = � INCORPORAR Equation.2 ���
Mx = - � INCORPORAR Equation.2 ���
lx = � INCORPORAR Equation.2 ���
s(x) = � INCORPORAR Equation.2 ���
NOTA: O gráfico da Fig. 2 é baseado nessa lei, sendo w = 105.
6.3. Lei de Gompertz (1.825) e Lei de Makeham (1.860):
Apresentando sua fórmula, Benjamin Gompertz escreveu que “É possível que a morte seja consequência de 2 (duas) causas gerais que coexistem: a primeira seria o acaso, sem que se tivesse prévia disposição para a morte ou deteriorização e a segunda seria a deteriorização, ou seja, crescimento da inabilidade de combate a destruição”. Em outras palavras: mortes acidentais e naturais. Derivando sua lei, contudo, ele só considerou as mortes naturais, visto que na hipótese de Gompertz a força da mortalidade, como veremos, cresce em progressão geométrica. Ficou para Makeham combinar em sua lei de mortalidade o efeito das mortes acidentais e naturais. Para isso, ele adicionou à expressão matemática da força de mortalidade de Gompertz (Mx = Bcx) uma constante A, fazendo Mx = A+BCx. Matematicamente falando, podemos considerar, portanto, a expressão da força de Mortalidade de Gompertz um caso particular da de Makeham, onde a constante A é nula.
Na Lei de Makeham temos, portanto:
My = A + BCy
My = - � INCORPORAR Equation.2 ��� My = - � INCORPORAR Equation.2 ���
. � INCORPORAR Equation.2 ���
= � INCORPORAR Equation.2 ���
dy + k onde k é a constante de integração, donde se tira que:
ly = � INCORPORAR Equation.2 ���
 
l = � INCORPORAR Equation.2 ���
� INCORPORAR Equation.2 ���
� INCORPORAR Equation.2 ��� 
� INCORPORAR Equation.2 ���
agora, fazendo:
i) e-A = s
ii) � INCORPORAR Equation.2 ���
onde: � INCORPORAR Equation.2 ���
temos finalmente que:
� INCORPORAR Equation.2 ���
= � INCORPORAR Equation.2 ��� (Lei de Makeham)
Caso Particular: A = 0 (lei de Gompertz)
� INCORPORAR Equation.2 ���
� INCORPORAR Equation.2 ���
Mx = A+BCx = 0 + BCx ( Mx = BCx
Nos seus escritos originais, Gompertz restringiu o uso da fórmula � INCORPORAR Equation.2 ��� ao intervalo de idade compreendido entre 10 ou 15 anos até 55 ou 60 anos, e não é possível usar essa fórmula ao longo de todas as idades sem se alterar as constantes em algum ponto, geralmente entre 50 e 60 anos. Isto é óbvio, pois não se podia esperar que uma fórmula simples com apenas 2 parâmetros pudesse representar a retorcida curva lx ao longo de todas as idades. Já a Lei de Makeham trouxe uma notável melhoria à hipótese de Gompertz, e a nova fórmula, com uma adequada escolha das constantes g, c e s, pode ser frequentemente aplicada entre a idade de 20 anos e até quase a idade final de sobrevivência.
Tanto a Lei de Gompertz quanto a de Makeham possuem propriedades de grande importância prática na simplificação de probabilidades compostas envolvendo a sobrevivência de mais de uma vida, o que será visto mais tarde. Em decorrência disso, ambas as leis continuam a serem usadas atualmente. A Lei de Gompertz foi utilizada na construção da “1937 Standart Annuity Table” e a Lei de Makeham foi usada na “Comissioners 1941 Standart Ordinary Mortality Table” e também na “Annuity Table for 1949”.
Cada uma dessas leis envolve um certo número de não especificados parâmetros, e, portanto, cada uma delas dá origem a um número infinito de diferentes funções de sobrevivência. Essas leis de mortalidadedefinem apenas a forma das funções matemáticas e não fornecem medições numéricas de mortalidade a não ser que valores apropriados sejam escolhidos como parâmetros. Verifica-se que os valores de cada parâmetro caem dentro de um intervalo restrito quando a função de sobrevivência segue fielmente o padrão usual da mortalidade.
Por exemplo, sob a Lei de Makeham,
Mx = A + BCx,
os parâmetros normalmente estão restritos aos seguintes intervalos:
0,001 < A < 0,003,
10-6 < B < 10-3
1,08 < C < 1,12
7. Tábuas de Mortalidade Selecionadas:
Vamos admitir que uma Companhia de Seguros só aceite as propostas de Seguros de Vida das pessoas que forem previamente aprovadas em exame médico. Esse grupo segurado é assim considerado um grupo selecionado visto que, com base nos resultados dos exames médicos, os riscos indesejáveis foram eliminados. É claro que, nos anos subsequentes iniciais, a mortalidade desse grupo selecionado é sensivelmente inferior à de um outro grupo segurado formado sem a exigência de exame médico. Com o passar dos anos, como o exame médico é feito apenas na ocasião do ingresso no plano de seguro, a distinção entre as taxas de mortalidade do grupo selecionado e do grupo não selecionado vai se reduzindo mais ou menos rapidamente.
Esses anos subsequentes iniciais que sucedem aos exame médico de seleção constituem o período de seleção. Se, por exemplo, considerarmos que o período de seleção seja constituído pelos 3 anos seguintes ao da realização dos exames de seleção (exame médico), é natural que o efeito da seleção vai perdendo intensidade ao longo desses 3 anos em função do afastamento da data em que foi feito o exame médico até que, no final desses 3 anos (ao final do período de seleção considerado), o efeito da seleção não é mais sentido. Ao final do período de seleção, a mortalidade do grupo selecionado e do grupo não selecionado tendem a se igualar.
Vamos denotar:
� INCORPORAR Equation.2 ��� como sendo a probabilidade de que uma pessoa de idade x+n, admitida no seguro com exame médico na idade x, venha a falecer antes da idade x+n+1.
Pelo que estudamos até aqui, fica fácil de concluir que:
� INCORPORAR Equation.2 ���
ou seja, que a mortalidade para 2 (duas) pessoas de mesma idade diverge em função da idade de admissão no seguro com exame médico, sendo menor para aquela pessoa que há menos tempo fez seu exame médico de admissão. Normalmente a diferença � INCORPORAR Equation.2 ��� decresce rapidamente e se torna desprezível para efeito de aplicações práticas após alguns anos.
A seguir, vamos estudar o exemplo de uma tábua de mortalidade selecionada de forma a se visualizar o que estamos estudando:
(VIDE FOLHA SEGUINTE)
Exemplo de uma tábua de mortalidade selecionada onde se considera que o efeito da seleção na mortalidade termina ao final do 3º ano de seguro:
[x] = idade de admissão com exame médico
(1)�
q[x]
(2)�
q[x]+1
(3)�
q[x]+2
(4)�
qx +3
(5)�x+3 = idade após o fim do 3º ano de seguro
(6)��20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30�0,00132
0,00135
0,00137
0,00139
0,00140
0,00140
0,00140
0,00141
0,00143
0,00146
0,00149�0,00156
0,00161
0,00164
0,00167
0,00169
0,00171
0,00173
0,00175
0,00179
0,00183
0,00189�0,00177
0,00182
0,00186
0,00190
0,00193
0,00196
0,00199
0,00203
0,00208
0,00215
0,00224�0,00191
0,00196
0,00200
0,00204
0,00208
0,00212
0,00217
0,00223
0,00230
0,00239
0,00250�23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33��
nas colunas de transição:
Coluna (2): � INCORPORAR Equation.2 ���
Coluna (3): � INCORPORAR Equation.2 ���
Coluna (4): � INCORPORAR Equation.2 ���
Na coluna final ou permanente:
Coluna (5): � INCORPORAR Equation.2 ���
Algumas probabilidades importantes:
� INCORPORAR Equation.2 ��� é a prob. de (x) recém admitido no seguro com exame médico sobreviver à idade x+n, sendo n < 3.
� INCORPORAR Equation.2 ��� é a prob. de (x) recém admitido no seguro com exame médico sobreviver à idade x+n, sendo n > 2.
� INCORPORAR Equation.2 ��� é a prob. de (x+1) admitido no seguro com exame médico sobreviver à idade x, sobreviver à idade x+2.
� INCORPORAR Equation.2 ��� é a prob. de (x+1), admitida no seguro com exame médico na idade x, sobreviver à idade x+3 e falecer antes de atingir a idade x+4.
8. Vida Média:
8.1. Quantidade de existência:
Tx= � INCORPORAR Equation.2 ���
Considerando que o número médio de sobreviventes entre as idades x+t e x+t+1 pode ser estimado como Lx+t ( ½ (lx+t + lx+t+1), temos que:
Tx = Lx + Lx+1 + Lx+2 + ... =
= � INCORPORAR Equation.2 ���
� INCORPORAR Equation.2 ���, conhecida como quantidade (de anos) de existência, pois corresponde ao nº de anos que, a partir da idade x, viverão todos os componentes do grupo (população) até que ele se extinga.
8.2. Vida Média:
i) Vida média completa:
A quantidade Tx de existência é desfrutada muito desigualmente pelos indivíduos do grupo inicial. Uns vivem pouco dias e outros morrem com idades extremamente altas. Se distribuíssemos equitativamente essa quantidade Tx entre todos os componentes do grupo lx, então obteríamos o que se denomina de vida média completa, ou seja:
� INCORPORAR Equation.2 ��� que também é conhecido como expectativa de vida das pessoas de idade x.
ii) Vida média abreviada:
Se em vez de admitirmos que as mortes ocorrem no meio do ano, admitirmos que elas ocorrem no início do ano, teremos o que se chama de vida média abreviada, ou seja:
� INCORPORAR Equation.2 ���
iii) Cálculo de Px em função dos valores de vida média:
Temos: � INCORPORAR Equation.2 ���
multiplicando o numerador e o denominador por lx+1, temos que:
� INCORPORAR Equation.2 ���
iv) Vida média diferida:
É aquela na qual só se começa a contar os anos de vida a partir de uma idade x+n, ou seja:
� INCORPORAR Equation.2 ��� no caso da vida média completa.
� INCORPORAR Equation.2 ��� no caso da vida média abreviada.
v) Vida média temporária:
A vida média temporária por n anos inclui, evidentemente, os anos que não são considerados na vida média diferida. Portanto:
� INCORPORAR Equation.2 ��� no caso da vida média completa.
� INCORPORAR Equation.2 ��� no caso da vida média abreviada.
vi) Vida média interceptada:
É a vida média diferida por n anos e temporária por m anos, ou seja:
� INCORPORAR Equation.2 ��� no caso da vida média completa.
� INCORPORAR Equation.2 ��� no caso da vida média abreviada.
Importante: Utiliza-se a vida média, entre outras finalidades, para se avaliar comparativamente duas ou mais tábuas de mortalidade
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 APOSTILA Nº 1 DE MATEMÁTICA ATUARIAL
 “A Medição da Mortalidade”