apostila5

Prévia do material em texto

Profº: José Roberto Montello
Bibliografia:
1. C. W. Jordan, Lifes Contingencies - The Society of Actuaries/1975.
2. José Gonzales Galé - Elementos de Cálculo Actuarial - Impresso en La Prenta Lopez - Buenos Aires - Dezembro 1942.
Seguros em caso de morte a prêmios periódicos:
1. Prêmios Anuais:
Temos considerado, até aqui, os valores atuais a prêmios únicos dos distintos tipos de seguros. Quer dizer, o que o segurado deveria pagar à vista pelo seguro contratado. É evidente porém que se todos os contratos fossem celebrados nessas condições, a instituição do seguro teria entrado em colapso.
O seguro não se dirige, salvo casos excepcionais, às pessoas que dispõem de grandes capitais. O seguro se dirige principalmente à pessoas mais modestas, que vivem graças ao trabalho dos pais ou responsáveis. O brusco desaparecimento destes representa um verdadeiro desastre econômico que apenas o seguro pode aliviar. Porem tais pessoas só podem pagar os prêmios dos seguros se estes forem diluídos no tempo, fracionados em prestações periódicas. Inicialmente vamos considerar o caso dos Prêmios Anuais.
O cálculo dos Prêmios Anuais é fácil. Temos de substituir o prêmio único, A, (usaremos simplesmente o símbolo principal para que possamos representar o prêmio único puro de qualquer dos seguros existentes) pelos respectivos prêmios anuais.
Se 
� é o prêmio anual a ser pago por um determinado seguro, seja durante toda a vida do segurado, seja durante um dado número de anos enquanto o segurado esteja vivo, é evidente que o valor atual dos futuros prêmios anuais é uma renda vitalícia ou temporária, conforme o caso, de 
� unidades monetárias calculada sobre a vida do segurado, visto que o pagamento dos prêmios anuais depende dele estar vivo ou não. Se a renda antecipada de 1 valor 
�, (também aqui prescindimos de símbolos auxiliares para que se possa sempre adaptar ao caso em questão) então uma renda de 
� valor 
� . 
�. E, como este valor tem de ser igual ao prêmio único, resulta que:;
� . 
� = 
�
		
Para o seguro de vida inteira, temos:
��� EMBED Equation.3 �
Se o seguro de vida inteira será pago por um número determinado, n de prêmios anuais, temos o seguro de vida inteira com pagamentos limitados, onde:
�
Se se trata de um seguro diferido por n anos com pagamento limitado a n anos, temos:
�
Se o seguro for diferido por n anos e o pagamento vitalício, temos:
�
Se o Seguro for temporário por n anos e for pago através de n prêmios anuais, temos:
�
Se se trata de um capital diferido por n anos, pagável com n prêmios anuais, temos:
�
Para o seguro dotal misto, pagável por n prêmios anuais, temos:
�
Caso o Seguro seja temporário por n anos e pago através de t < n prêmios anuais temos: 
��� EMBED Equation.3 ��� EMBED Equation.3 �
�
Caso o Capital diferido por n anos seja pago com t < n prêmios anuais temos:
�
Caso o seguro total misto seja pago em t < n prêmios anuais temos:
�
Importante: Não é incomum para um segurador estabelecer uma apólice na qual o prêmio anual não é nivelado. Suponhamos, por exemplo, que um seguro de vida inteira estabeleça que cada prêmio pagável durante os primeiros 5 anos seja igual a metade de cada prêmio pagável nos anos subsequentes. Se o prêmio anual inicial for denotado por 
�, o valor de 
� pode ser obtido através da seguinte fórmula:
�
�
NOTA: Nesta situação é necessário colocar a seguinte restrição ao valor mínimo assim obtido para P:
�
É comum encontrar-se prêmios anuais referentes a anuidades diferidas. O prêmio anual pagável durante t anos para uma anuidade diferida por n anos de 1 para (x) é denotado por
�
Na prática, t é normalmente igual a n.
OBS: O símbolo 
� está associado a prêmios antecipados de seguros pagáveis no fim do ano da morte, o símbolo P está associado a prêmios postecipados de seguros pagáveis no fim do ano da morte, o símbolo 
� está associado a prêmios antecipados de seguros pagáveis imediatamente após o falecimento, e o símbolo 
� está associado a prêmios postecipados de seguros pagáveis imediatamente após o falecimento.
2. Os prêmios anuais dos seguros em função das anuidades:
O prêmio único do seguro de vida inteira é:
�
Portanto, o prêmio anual antecipado correspondente é:
�
Do mesmo modo podemos verificar para o seguro dotal misto que:
�
Exercício Modelo: Obter o valor da anuidade vitalícia postecipada em função do Prêmio Único e em função do Prêmio Anual antecipado do Seguro de Vida Inteira.
�
como d = 1 - v = vi = 
� temos que:
�
� 
Agora, de 
�, temos que:
�
�e que, portanto, 
�
Este tipo de exercício é importante para que se possa entender perfeitamente as relações entre anuidades e seguros.
3. Prêmios pagáveis em períodos menores que 1 ano (Prêmios Fracionados)
As Companhias de Seguros, com objetivo de facilitar ainda mais aos seus segurados o pagamento dos prêmios, costumam fracioná-los de modo a que o pagamento seja feito em prestações semestrais, trimestrais, mensais e até mesmo semanais. Tal fracionamento, às vezes, não implica na substituição do prêmio anual por outro semestral, trimestral etc. Se trata apenas do mesmo prêmio anual fracionado em partes iguais e levemente carregado para a cobertura dos juros correspondentes a demora que o fracionamento acarreta. Essas apólices estipulam que, se o segurado falecer tendo pago apenas p das m cotas em que se fracionou o prêmio anual, do capital segurado a ser pago se deduzirá as m-p cotas não pagas no ano do falecimento.
Em geral, no entanto, ocorre é que os prêmios são fracionados em períodos menores que 1 ano, sem que o segurado possa reter da importância segurada as m-p cotas que restavam no falecimento para integralizar o último prêmio anual devido. Neste caso, o prêmio deixa de ser anual e passa a ser semestral, trimestral, etc. É preciso no seu cálculo levar em conta esta nova modalidade. No entanto, a solução dessa situação dessa situação não pode ser mais simples: basta substituir a anuidade 
� pela anuidade fracionada 
�.
Representando por 
�o prêmio fracionado na enésima parte do ano temos que: m . 
��� EMBED Equation.3 � será o valor atual de todos os prêmios, valor atual que deverá ser igual ao Prêmio Único A do seguro. Assim:
�, sendo que de propósito não colocamos índices visto que se trata de um procedimento aplicável a qualquer tipo de seguro.
Como: 
�, teremos para o Seguro de Vida Inteira;
�
Se desejarmos obter o valor do prêmio fracionado, 
�, em função do prêmio anual 
�, teremos que recordar que:
�
substituindo em 
�, obteremos que:
�
�
ou, numa fórmula equivalente, se preferirmos:
�
4. Forma especial de Seguro ( Seguro de remissão de Prestações restantes remanescentes de uma dívida:
i) Prestação Financeira que amortiza uma dívida (D) em n anos:
. Prestação anual antecipada:
�
. Prestação mensal antecipada:
�
ii) Prestação a ser paga pelo mutuário durante n anos enquanto estiver vivo para amortizar um dívida (D):
. Prestação anual antecipada:
�
. Prestação mensal antecipada:
�
NOTA: A diferença entre o valor de 
� (que denominaremos Prestação Atuarial) e o valor de 
� (prestação financeira) consiste no fato de que a segunda será paga durante o período certo de n anos (ou 12 . n meses) e a primeira será paga enquanto o mutuário estiver vivo e no máximo durante n anos (ou 12 . n meses).
iii) Prêmios do Seguro de remissão das prestações remanescentes em caso de morte do mutuário durante o período de amortização:
. Prêmio anual antecipado:
�
. Prêmio mensal antecipado:
�
iv) Prêmio Único do Seguro de remissão das prestações remanescentes em caso de morte domutuário:
�
 
 
 ou
�
ou diretamente,
�
 
 
 ou
�
IMPORTANTE: É preciso tomar muito cuidado com este tipo de seguro quando os prêmios forem fracionados pois, como veremos na apostila nº 5 ao estudarmos “Reservas Matemáticas”, ele é um dos casos onde é bastante possível a ocorrência de Reservas Negativas.
5. Prêmios Puros e Prêmios Carregados ou Comerciais:
i) Prêmios Puros: São os prêmios resultantes pura e simplesmente do cálculo atuarial relativo a cobertura do risco atuarial (morte, sobrevivência, invalidez, etc), ou seja, a cobertura das contingências que cercam nossa vida. São representados em geral pelas letras A ou P.
ii) Prêmios Carregados ou Comerciais: São os prêmios resultantes de se agregar aos Prêmios Puros os custos de produção, colocação, cobrança, administração, etc, decorrentes do contrato do seguro.
 São representados em geral por A’ ou P’.
iii) Relação entre os Prêmios Comerciais e os Prêmios Puros: 
�
onde: 
� é o percentual de carregamento que depende diretamente do Prêmio cobrado do segurado; 
� é o carregamento fixo, que independe do valor do Prêmio, por exemplo: o custo de emissão da apólice.
Em muitos casos, o valor de 
� é nulo. Portanto:
�. Neste caso, temos que dos Prêmios Comerciais A’ ou P’, (1-
�). A’ ou (1-
�) . P’ correspondem aos Prêmios Puros e 
�. A’ ou 
� . P’ correspondem as sobrecargas para cobertura de despesas.
APOSTI5.DOC/.lcs
 APOSTILA Nº 5 DE MATEMÁTICA ATUARIAL I
 
�PAGE �
Pág. �PAGE �10�
_954852657.unknown
_954915663.unknown
_954918042.unknown
_954921396.unknown
_954941021.unknown
_954941186.unknown
_955979279.unknown
_955979300.unknown
_955894459.unknown
_954941214.unknown
_954941106.unknown
_954941146.unknown
_954941044.unknown
_954940886.unknown
_954940921.unknown
_954940754.unknown
_954920915.unknown
_954921303.unknown
_954921394.unknown
_954921145.unknown
_954920460.unknown
_954920582.unknown
_954920409.unknown
_954917186.unknown
_954917773.unknown
_954918041.unknown
_954917682.unknown
_954916026.unknown
_954916362.unknown
_954915791.unknown
_954856633.unknown
_954915388.unknown
_954915598.unknown
_954915628.unknown
_954915500.unknown
_954915103.unknown
_954915239.unknown
_954914803.unknown
_954914886.unknown
_954854697.unknown
_954855658.unknown
_954856591.unknown
_954855294.unknown
_954853274.unknown
_954853524.unknown
_954853202.unknown
_954834189.unknown
_954849053.unknown
_954851671.unknown
_954851938.unknown
_954852181.unknown
_954851834.unknown
_954849547.unknown
_954851258.unknown
_954849240.unknown
_954848548.unknown
_954848996.unknown
_954849025.unknown
_954848737.unknown
_954847465.unknown
_954847583.unknown
_954837766.unknown
_954837836.unknown
_954834498.unknown
_954831365.unknown
_954832282.unknown
_954833849.unknown
_954833999.unknown
_954832495.unknown
_954832075.unknown
_954832077.unknown
_954831383.unknown
_954831187.unknown
_954831239.unknown
_954831364.unknown
_954831199.unknown
_954831009.unknown
_954831105.unknown
_954830776.unknown