Reservas Matemáticas em Seguros

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Profº: José Roberto Montello
Bibliografia:
1. C. W. Jordan, Lifes Contingencies - The Society of Actuaries/1975.
2. José Gonzales Galé - Elementos de Cálculo Actuarial - Dezembro/1942.
Reservas Matemáticas - (Reservas Puras):
1. O que é Reserva:
Vimos que, em todos os seguros contratados a prêmios anuais, temos no momento inicial a seguinte equação de equilíbrio.
�
que em palavras significa dizer que no momento inicial o valor atual do compromisso do segurador é igual ao compromisso do segurado.
A equação de equilíbrio pode também ser apresentada da seguinte forma:
�
no momento inicial a diferença entre os compromissos do segurador e do segurado (sempre em termos de valor atual) é nula.
Esse equilíbrio, porém , se rompe assim que o tempo começa a correr a partir do momento inicial. Assim, ao fim de m anos, tem-se:
�
A razão é evidente. Estamos representando por 
� e 
�, respectivamente, o prêmio único de qualquer seguro e o valor da renda vitalícia m anos após o momento inicial. Quer dizer, se a idade do segurado no momento inicial é x, estamos agora na idade x+m. Se porém, o seguro fosse contratado agora, na idade x+m, tendo como momento inicial a época m, teríamos evidentemente que:
�
Agora, como na grande maioria do casos - os únicos que consideraremos no momento - temos que o Prêmio Anual cresce em função da idade em que é feito o contrato. Dessa forma, temos que: 
�. Por conseguinte, temos também que: 
�, pois o valor atual do compromisso do segurador é maior que o do segurado. Esta diferença, que se simboliza pela letra V (inicial da expressão inglesa “Value of police” = Valor da Apólice), é o que se conhece geralmente com o nome de Reserva Matemática: 
�.
Se o seguro for contratado a prêmio único, o valor atual após o momento inicial, do compromisso futuro do segurado é Zero, pois só existe compromisso do segurador, logo temos que: V(m) = A(m).
Para ilustrar, consideremos uma apólice de um seguro de vida inteira a prêmio anual antecipado constituída para um segurado de idade x. Ao final de m anos, o valor atual dos compromissos futuros do segurador é Ax+m e o valor atual dos prêmios puros futuros do segurado, incluindo aquele devido no início do (m+1)º ano, é 
�. A diferença entre essas quantias, 
�,
representa a obrigação líquida do segurador nesse momento, consistindo dessa forma na reserva da apólice. Nessa forma, a reserva matemática pode ser definida como o excesso do valor atual dos benefícios futuros em relação ao valor atual dos prêmios puros futuros.
2. O prêmio de risco:
Podemos encarar a formação das reservas matemáticas através de outro ponto de vista. Suponhamos que uma pessoa deseja fazer um seguro de vida inteira, quer dizer, um seguro que cubra o risco de morte até o fim dos seus dias. Porém essa pessoa, em vez de pagar o prêmio único ou o prêmio fracionado constante, prefere outra combinação: renovar todos os anos o seus seguro e pagar o prêmio que, a cada ano, se fizer necessário em função da idade alcançada. É evidente que esta operação não dará lugar a nenhuma reserva no final do ano de seguro (reserva terminal), visto que o seguro é renovado a cada ano. O prêmio puro que, em um dado ano - por exemplo, quando o segurado tem idade x, cobre o capital unitário é simplesmente v qx, se supormos que o seguro é pago no fim do ano da morte ou, v1/2 . qx se supormos que o seguro é pago imediatamente após o falecimento.
Este prêmio - conhecido com o nome de prêmio de risco, é diretamente proporcional a probabilidade de morte, crescendo portanto em função da idade até o ponto de alcançar um valor proibitivo. É claro que, se o prêmio de risco cresce com a idade, o prêmio constante há de ser, nos primeiros anos do seguro, superior a ele. Logo, o segurado paga, durante esses primeiros anos, um excedente sobre o risco do ano, excedente que se destina a cobrir, junto com os juros compostos que forem obtidos por sua aplicação, as insuficiências que necessariamente ocorrerão quando, após alguns anos, o prêmio constante venha a ser inferior ao prêmio de risco.
Torna-se preciso, portanto, reservar e capitalizar esses excedentes visto que as reservas matemáticas nada mais são do que quantias pagas antecipadamente pelos segurados para a cobertura de riscos futuros. Quer dizer, as reservas matemáticas são um passivo para o segurador.
3. Reservas Negativas:
Chegamos a conclusão de que as Reservas Matemáticas são um passivo para o segurador a partir do seguro de vida inteira. Porém, não existirá outros tipos de seguro em que as reservas matemáticas podem representar, em um dado momento, um ativo para o segurador ? 
Sim, existem. O mais conhecido de todos é o seguro de prêmio constante e capital decrescente. O seguro que cobre, por exemplo, o saldo de uma dívida que é amortizada em prestações periódicas: digamos uma hipoteca. Os seguradores, porém, tomam suas precauções para que não ocorram, o que na técnica profissional, se denomina de “reservas negativas”, ou seja, reservas que representam, não um passivo, mas um ativo para o segurador já que os compromissos deste em um dado instante são inferiores ao do segurado. A razão do segurador evitar as “reservas negativas” é óbvia. O segurador tem de cumprir seu contrato até o final, mas o segurado pode romper o contrato deixando tão somente de pagar os prêmios. Portanto, o ativo que representasse uma reserva negativa, uma dívida que o segurado iria pagar ou não caso julgasse conveniente, seria um “ativo eventual” que não poderia ser considerado como realizável pela empresa seguradora. Por esta razão é que dissemos que as empresas seguradoras não podem trabalhar com reservas negativas. Assim, por exemplo, no seguro que cobre o saldo de uma renda (dívida), é comum estipular que os prêmios periódicos serão pagos durante um nº de anos inferior ao que a dívida levará para ser amortizada, sendo o usual se adotar 
� (dois terços) desse tempo. Outra solução é a de cobrar à vista uma determinada parcela do prêmio único, fracionando o restante em prestações periódicas.
4. Reservas pelo método prospectivo:
Para ilustrar este método consideremos um seguro ordinário de vida de valor unitário contratado por um segurado de idade x. Ao final de t anos, o valor atual dos compromissos futuros do segurador é Ax+t, e o valor atual dos compromissos futuros do segurado, incluindo o prêmio devido no início do ano t+1 do seguro, é 
�. A diferença entre essas duas quantidades,
�
representa o compromisso líquido do segurador no instante t e é denominado de “reservas de apólice” ou de “reserva do final do ano t de seguro”. Desse modo, a reserva pode ser definida como o excesso do valor atual dos benefícios futuros a serem pagos pelo segurador e o valor dos prêmios puros futuros a serem pagos pelo segurado.
A definição de reserva que acabamos de apresentar é chamada de “prospectiva” visto que toma por base os benefícios e os prêmios futuros, e as fórmulas derivadas dessa definição são conhecidas como “fórmulas de reservas prospectivas”.
Para um seguro ordinário de vida de 1 contratado na idade x, o símbolo 
� é usado para denotar a reserva do final do ano t de seguro. Como mostramos anteriormente, a fórmula prospectiva é:
��� EMBED Equation.3 �
Para um seguro de vida inteira com pagamento limitado a n prêmios anuais, a reserva do final do ano t de seguro é obtida a partir das seguintes fórmulas:
��� EMBED Equation.3 � para t<n,
��� EMBED Equation.3 � para t ( n.
Um outro exemplo de fórmula prospectiva é o de um capital diferido por n anos, pagável com n prêmios anuais:
��� EMBED Equation.3 �
Para um seguro temporário por n anos, pagável com n prêmios anuais, temos que:
� 
�
Para um seguro dotal misto, pagável com n prêmios anuais, temos que:
� 
�
�
Importante: Quando os seguros são devidos imediatamenteapós o falecimento do segurado, é usual colocar uma barra sobre o símbolo da reserva da mesma forma que sobre as comutações por morte e sobre os prêmios. Assim para um seguro ordinário de vida, pagável imediatamente após o falecimento, a prêmio anual antecipado, a Reserva do fim do ano t de seguro é dada por:
�
Vamos considerar o seguro relativo a uma renda (anuidade) diferida por n anos de valor igual a 1 com prêmios anuais pagáveis durante n anos. Neste caso, a reserva no final do ano t de seguro é dada por:
� para t < n.
onde: 
�
� para t ( n.
NOTA: Foi considerado nas fórmulas de reservas que t é um nº inteiro de anos. Neste caso, a função tV relativa ao fim do ano da apólice é chamada de “reserva terminal”.
5. Reservas pelo método retrospectivo:
Para ilustrar este método, consideremos novamente um seguro ordinário de vida do valor unitário contratado por um seguro de idade x. Ao final de t anos, o valor atual dos prêmios pagos pelo segurado é 
�, e o valor atual dos riscos já corridos pelo segurado é 
�. A diferença entre essas duas quantidades,
�
representa o quanto a mais em termos puros foi pago pelo segurado em relação ao risco que ele já correu. Dessa forma, a reserva, segundo este método, será igual à diferença entre o valor atual dos prêmios pagos pelo segurado e o valor atual dos riscos já corridos pelo segurado.
A definição de reserva que acabamos de apresentar é chamada de “retrospectiva” visto que toma por base os prêmios e os benefícios passados, e as fórmulas derivadas dessa definição são conhecidas como “fórmulas de reservas retrospectivas”.
Excetuando-se alguns casos específicos, como por exemplo um plano de seguro onde ao longo do período de contribuição existem 2 níveis ou mais de carregamentos para as despesas administrativas, as reservas calculadas pelos métodos prospectivo e retrospectivo nos conduzem a um mesmo resultado.
Para um seguro ordinário de vida de 1 contratado na idade x, a fórmula retrospectiva da reserva do final do ano t de seguro é:
�
ou fazendo, 
��� EMBED Equation.3 �
�
Exercício: Demonstrar que as fórmulas retrospectivas e prospectivas de um seguro ordinário de vida de 1 contratado na idade x conduzem a um mesmo resultado: 
�
�
�
Para um seguro de vida inteira com pagamento limitado a n prêmios anuais, a reserva do final do ano t de seguro é obtida a partir das seguintes fórmulas:
�
�
Exercício: Demonstrar que 
�
Um outro exemplo de fórmula retrospectiva é o de um capital diferido por n anos, pagável com n prêmios anuais:
�
Para um seguro temporário por n anos, pagável com n prêmios anuais, temos que:
�
Para um seguro dotal misto, pagável com n prêmios anuais, temos que:
�
Importante: Quando os seguros são devidos imediatamente após o falecimento do segurado, é usual colocar uma barra sobre o símbolo da reserva da mesma forma que sobre as comutações por morte e sobre os prêmios. Assim para um seguro ordinário de vida pagável imediatamente após o falecimento, a prêmio anual antecipado, a Reserva do fim do ano t do seguro é dada por:
�
Vamos considerar o seguro relativo a uma renda (anuidade) diferida por n anos de valor igual a 1 com prêmios anuais pagáveis durante n anos. Neste caso, a reserva no final do ano t de seguro é dada por:
�, onde 
�
�; para t < n.
�, para t ( n.
Exercício proposto: Demonstrar que 
�
Nota: Foi considerado nas fórmulas de reservas que t é um nº inteiro de anos. Neste caso, a função tV relativa ao fim do ano da apólice é chamada de “reserva terminal”.
6. Reservas pelo método de recorrência:
Um atuário francês - Georges Fouret - idealizou um procedimento que permite calcular a reserva de um ano em função da reserva do ano anterior.
Tem este método - como todos os de recorrência - o inconveniente de acumular os erros inevitáveis a esta classe de cálculos. No entanto, este método é útil para comprovar reservas calculadas por outros métodos, principalmente nas formas de seguro em que o cálculo do prêmio único é demasiadamente trabalhoso.
O raciocínio para se chegar a fórmula de Fouret é o seguinte:
No início do enésimo ano, o segurador tem em seu poder, para cada segurado, a reserva V(m-1). Cobra então o prêmio anual antecipado P e passa a ter por segurado o total de V(m-1) + P e para o grupo de todos os lx+m-1 segurados que, teoricamente, permanecem vivos do grupo inicial lx o total geral de lx+m-1 (V(m-1) + P), o qual ao final do ano, considerando-se os juros, será de lx+m-1 (V(m-1) + P) (1+i).
Com esta soma total deve pagar os seguros das dx+m-1 mortes que ocorrem no ano, por hipótese em média no meio do ano, e constituir a reserva final V(m) para cada um dos lx+m segurados então sobreviventes. Em conjunto temos: (1+i)1/2. dx+m-1 . V(m).
Temos, portanto, que:
�
lx+m-1 (V(m-1) + P) (1+i) = (1+i)1/2 . dx+m-1 + V(m) . lx+m
�
ou, multiplicando o numerador e o denominador por vx+m:
�
ou, dividindo o numerador e o denominador por lx+m-1:
�
sendo que para m = 1 temos V(m-1) = Vo = 0
7. Reservas de apólices a prêmios fracionados:
O símbolo 
� é usado para denotar a reserva no final do ano t de seguro numa apólice a prêmios fracionados em períodos inferiores a 1 ano, P(m).
Vamos considerar como exemplo, um seguro ordinário de vida de 1 contratado na idade x a prêmios fracionados em períodos iguais a 1/m do ano.
A reserva prospectiva desse seguro seria dada por:
�
A reserva retrospectiva desse seguro seria dada por:
�
visto que: 
�
Exercício: Demonstrar que: 
�
�
�
As fórmulas de reservas prospectivas e retrospectivas para os demais seguros por morte ou sobrevivência a prêmios fracionados em períodos inferiores a 1 ano, seguem raciocínio análogo.
 APOSTILA Nº 6 DE MATEMÁTICA ATUARIAL 
 
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