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Figura 10.2 - Planímetro Digital. 
 
 
A área será dada por: 
 
Área = k. (Lf - Li) (10.1) 
onde: 
 
k é a constante do aparelho para um dado comprimento do braço graduado; 
Lf é a leitura final; 
Li é a leitura inicial. 
 
O valor de K pode ser determinado planimetrando-se uma área conhecida (S) diversas 
vezes (n). 
 
k = (n . S)/ (Lf - Li) (10.2) 
 
De acordo com CINTRA(1996) o pólo deve ser posicionado fora da área que esta 
sendo avaliada, caso contrário, deve-se adicionar à área o chamado "círculo zero", fornecido 
pelo fabricante. 
 
10.4 - PROCESSOS ANALÍTICOS 
 
Neste método a área é avaliada utilizando fórmulas matemáticas que permitem, a 
partir das coordenadas dos pontos que definem a feição, realizar os cálculos desejados. 
 
O cálculo da área de poligonais, por exemplo, pode ser realizado a partir do cálculo da 
área de trapézios formados pelos vértices da poligonal (fórmula de Gauss). Através da figura 
10.3 é possível perceber que a área da poligonal definida pelos pontos 1, 2, 3 e 4 pode ser 
determinada pela diferença entre as áreas 1 e 2. 
TOPOGRAFIA 
 
 Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 
 
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Figura 10.3 - Cálculo de áreas. 
 
A área 1 pode ser calculada a partir das áreas dos trapézios formados pelos pontos 2', 
2, 1, 1´ e 1', 1, 4, 4'. Na figura 10.4 é apresentada a fórmula de cálculo da área de um trapézio 
qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.4 - Cálculo da área de um trapézio. 
 
Para facilitar a compreensão, será calculada a área do trapézio formado pelos pontos 
2', 2, 1, 1' (figura 10.5). 
1 
2 
3 
4 
x 
y 
área 
poligonal 
1 
2 
3 
4 
x 
y 
área 1 
4´ 
1´ 
2´ 
1 
2 
3 
4 
x 
y 
área 2
4´ 
3´ 
2´ 
a 
b 
h 
h = altura 
a = base menor 
b = base maior 
 
hbaÁrea \u22c5+=
2
 
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Figura 10.5 - Trapézio 2´2 1 1´. 
 
Conforme pode ser visto na figura 10.5, a área do trapézio será dada por: 
 
))((
2
1
2
)()( 12121212 yyxx
xxyyA \u2212+=+\u2212= (10.3) 
 
Desta forma a área 1 (figura 10.3) será calculada por: 
 
))((
2
1))((
2
1
414112121 yyxxyyxxÁrea \u2212++\u2212+= (10.4) 
 
Da mesma forma, a área 2 será calculada por: 
 
))((
2
1))((
2
1
434332322 yyxxyyxxÁrea \u2212++\u2212+= (10.5) 
 
A área da poligonal (Ap) será dada por: 
 
12 AreaAreaAp \u2212= (10.6) 
 
Desenvolvendo tem-se: 
 
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u239f\u23a0
\u239e\u2212++\u2212+\u2212\u239c\u239c\u239d
\u239b \u239f\u23a0
\u239e\u2212++\u2212+= ))((
2
1))((
2
1))((
2
1))((
2
1
4114122143433232 yyxxyyxxyyxxyyxxAp 
(10.7) 
 
( )))(())(())(())((
2
1
4114122143433232 yyxxyyxxyyxxyyxxAp \u2212+\u2212\u2212+\u2212\u2212++\u2212+= 
(10.8) 
 
Reescrevendo a equação 10.8, eliminando-se o sinal negativo obtém-se: 
 
))(())(())(())((2 1414212143433232 yyxxyyxxyyxxyyxxAp \u2212++\u2212++\u2212++\u2212+= (10.9) 
))(())(())(())((2 1414434332322121 yyxxyyxxyyxxyyxxAp \u2212++\u2212++\u2212++\u2212+= (10.10) 
 
Genericamente a equação 10.10 pode ser reescrita por: 
1 
2 
3 
4 
x 
y 
1´ 
2´ 
y2 
y1 
x2 
x1 
y2 - y1 
1 
2 
1´ 
2´ b 
a 
h 
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))((2 11
1
++= \u2212+\u3a3= iiii
n
i
yyxxA (10.11) 
 
Sendo n igual ao número de pontos da poligonal. Deve-se observar que quando i = n, o 
valor de i+1 deve ser considerado como sendo 1, ou seja, o primeiro ponto novamente. Outra 
fórmula pode ser obtida a partir da resolução da equação (10.11). 
 
+\u2212+\u2212= 22122111 ....2 yxyxyxyxA +\u2212+\u2212 33233222 .... yxyxyxyx
+\u2212+\u2212 44344333 .... yxyxyxyx 11411444 .... yxyxyxyx \u2212+\u2212 (10.12) 
 
Simplificando os termos semelhantes e reescrevendo a equação obtém-se: 
 
1434432332122141 ........2 yxyxyxyxyxyxyxyxA \u2212+\u2212+\u2212+\u2212= (10.13) 
 
)()()()(2 134423312241 yyxyyxyyxyyxA \u2212+\u2212+\u2212+\u2212= (10.14) 
 
A equação 10.14 pode ser representada genericamente por: 
 
)(2 11 +\u2212 \u2212\u3a3= iii yyxA (10.15) 
 
ou também de outra forma, conforme equação (10.16) cuja dedução fica para o leitor: 
 
)(2 11 \u2212+ \u2212\u3a3= iii xxyA (10.16) 
 
EXERCÍCIO 10.1 - Dadas as coordenadas dos pontos de uma poligonal, calcular a área da 
mesma. 
Ponto X (m) Y (m) 
0 0,00 0,00 
1 40,00 40,00 
2 99,99 49,98 
3 90,03 -9,96 
4 50,02 10,02 
 
)(2 11 +\u2212 \u2212\u3a3= iii yyxA ou 
)(2 11 \u2212+ \u2212\u3a3= iii xxyA 
 
Efetuando-se os cálculos utilizando-se a equação (10.15): 
 
 x0(y4 - y1) = 0 (10,02 - 0) = 0 
 x1(y0 - y2) = 40,00 (0 - 49,98) = -1999,2 
 x2(y1 - y3) = 99,99 (40,0 - (-9,96)) = 4995,5004 
 x3(y2 - y4) = 90,03 (49,98 -10,02) = 3597,5988 
 x4(y3 - y0) = 50,02 (-9,96 - 0) = -498,1992 
 2A = 6095,7 
 
 A = 3047,85m2 
 
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Conferindo, empregando-se a equação (10.16): 
 
 y0(x1 - x4) = 0 (40 - 50,02) = 0 
 y1(x2 - x0) = 40,00 (99,99 - 0) = 3999,6 
 y2(x3 - x1) = 49,98 (90,03 - 40,00) = 2500,4994 
 y3(x4 - x2) = -9,96 (50,02 - 99,99) = 497,7012 
 y4(x0 - x3) = 10,02 (0 - 90,03) = -902,1006 
 2A = 6095,7 
 A = 3047,85m2 
 
Outra equação também pode ser empregada (CINTRA, 1996): 
 
\u2211 \u22c5\u2212\u2211 \u22c5= ++ )()(2 11 iiii yxxyA (10.17) 
 
O cálculo da área utilizando-se a equação (10.17) pode ser realizado facilmente 
montando-se uma tabela com as coordenadas dos pontos, com o cuidado de repetir a 
coordenada do primeiro ponto no final da tabela, e multiplicando-se de acordo com o ilustrado 
pela figura 10.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.6 - Forma de multiplicação dos valores. 
 
EXERCÍCIO 10.2 - A partir dos dados fornecidos no exercício 1, calcular a área da poligonal 
empregando-se a equação (10.17). 
 
 
X (m) Y (m) 
x0 y0 
x1 y1 
x2 y2 
x3 y3 
x4 y4 
x0 y0 
 
 
 
 
 
 
 
2 (x2, y2) 
área 
poligonal 
3 (x3, y3) 
4 (x4, y4) 
1 (x1, y1) 
 x1 y1 
y1.x2 x2 y2 x1.y2
y2.x3 x3 y3 x2.y3
y3.x4 x4 y4 x3.y4
y4.x1 x1 y1 x4.y1
\u3a31 \u3a32
 
Área = 0,5(\u3a31- \u3a32) 
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 X (m) Y (m) 
 0,00 0,00 
0,00 = y0.x1 40,00 40,00 x0.y1 = 0,00 
3999,6 = y1.x2 99,99 49,98 x1.y2 = 1999,2 
4499,6994 = y2.x3 90,03 -9,96 x2.y3 = -995,9004 
-498,1992 = y3.x4 50,02 10,02 x3.y4 = 902,1006 
0,00 = y4.x1 0,00 0,00 x4.y1 = 0,00 
\u3a31 = 8001,1002 m2 \u3a32 = 1905,4002 m2 
 
 
 
Área = 0,5 . (\u3a31 - \u3a32) 
Área = 0,5 . (8001,1002 - 1905,4002) 
Área = 3047,85 m2 
 
 
 
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O memorial