01 UNIDADE - MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Visão geral 
 
Apresentação da disciplina: 
A disciplina de Matemática Financeira 
tem a finalidade de proporcionar aos 
alunos a oportunidade de compreender 
e identificar a matemática em sua vida 
cotidiana, entre outros aspectos. 
 
 
Objetivos: 
 Oportunizar atividades, onde o aluno 
desenvolva habilidades específicas 
trabalhadas de acordo com o conteúdo 
ministrado. 
 Fornecer elementos para que os alunos 
estejam aptos a analisar, construir, 
resolver e relacionar os conceitos aos 
problemas cotidianos. 
 
Conteúdo Programático: 
Unidade I: 
 Conjuntos numéricos 
 Potenciação 
 Razões e Proporções 
 Análise de Investimentos 
 Juros Simples 
 Montantes Simples 
 Descontos Simples 
Unidade II: 
 Taxas Nominais 
 Taxas Efetivas 
 Taxas Equivalentes 
 Juros Compostos 
 Montante Composto 
 Amortização 
 
Metodologia: 
Os conteúdos programáticos ofertados 
nessa disciplina serão desenvolvidos por 
meio das Teleaulas de forma expositiva 
e interativa (chat – tira dúvidas em 
tempo real), Aula Atividade 
por Chat para aprofundamento e 
reflexão e Web aulas que estarão 
disponíveis no Ambiente Colaborar, 
compostas de conteúdos de 
aprofundamento, reflexão e atividades 
de aplicação dos conteúdos e avaliação. 
Serão também realizadas atividades de 
acompanhamento tutorial, participação 
em Fórum, atividades práticas e estudos 
independentes (autoestudo) além do 
Material didático da disciplina. 
 
 
 
Avaliação Prevista: 
O sistema de avaliação da disciplina 
compreende em assistir a teleaula, 
participação no fórum, produções 
textuais interdisciplinares (Portfólio), 
realização de duas avaliações virtuais e 
 
avaliação presencial embasada no 
material didático, teleaulas, web aula e 
material complementar. 
CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
WEB AULA 1 
Unidade 1 – Matemática Financeira 
Olá, caros alunos! 
Somos as professoras Merris Mozer e Adriane Loper. 
Vamos trabalhar a disciplina de Matemática Financeira. 
Para iniciarmos a disciplina, traremos uma introdução à matemática, 
Juros Simples, Desconto Simples e Montante Simples. 
A ideia aqui é recapitular conceitos que certamente vocês já 
conhecem e nos aprofundarmos com Juros Compostos e Sistemas de 
Amortização. 
Para muitos exemplos e/ou exercícios utilizaremos uma calculadora 
simples, porém, para juros compostos, precisaremos da calculadora 
HP12C. 
Caso você não tenha a calculadora, utilize o emulador da HP12C 
encontrado no site: <http://www.epx.com.br/ctb/hp12c.php>. 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Sendo estas a composição do conjunto numérico, trazemos as 
composições: 
NÚMEROS NATURAIS (N) 
O Conjunto dos Números Naturais é composto de todos os números 
inteiros positivos, incluindo o zero. Sempre são representados pela 
letra maiúscula N. 
Como exemplo de dos conjuntos naturais, temos: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} incluindo o zero. 
Quando quisermos excluir o zero, colocamos um asterisco (*) após a 
letra representativa N: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …} 
NÚMEROS INTEIROS (Z) 
O Conjunto dos Números Inteiros é composto de todos os números 
que pertencem ao conjunto dos Naturais, acrescidos dos números 
negativos. Sempre são representados pela letra Z: 
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} 
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: 
Inteiros não negativos (Z+) 
São todos os números inteiros positivos. Sendo assim, este conjunto 
é igual ao conjunto dos números naturais. 
São representados por Z+: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} 
Inteiros não positivos (Z-) 
São todos os números inteiros negativos. São representados por Z-: 
Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
Inteiros não negativos e não-nulos (Z*+) 
É o conjunto Z+ retirando o zero (e não esqueça de colocar o 
asterisco)representados por Z*+: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} 
Z*+ = N* 
Inteiros não positivos e não nulos (Z*-) 
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. São 
representados por Z*-. 
Z*- = {… -4, -3, -2, -1} 
NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
O Conjunto dos Números Racionais é composto de todos os números 
inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os 
números decimais infinitosperiódicos (que repete uma sequência de 
algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são 
também denominados de dízimas periódicas. 
Os racionais são representados pela letra Q. 
NÚMEROS IRRACIONAIS (I) 
O Conjunto dos Números Irracionais é composto dos números 
decimais infinitos não-periódicos. Eles não podem ser representados 
por meio de uma fração. Sempre são representados pela letra I. Por 
exemplo, de número irracional é o número PI (3,14159265 …). 
NÚMEROS REAIS (R) 
O Conjunto dos Números Reais é composto por todos os conjuntos 
citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os 
irracionais). 
Sempre são representados pela letra R. 
VAMOS ESTUDAR POTÊNCIA!!! 
Caros alunos, a potenciação, cujo conceito será 
amplamente aplicado na matemática financeira e na contabilidade, 
representa a multiplicação de fatores iguais, ou seja, o número 
multiplicado por ele mesmo. Na composição da potenciação temos o 
número (a) e o expoente (b) ab, significando o expoente quantas 
vezes o número será multiplicado. 
 
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS 
As potências utilizam a propriedade distributiva para a 
multiplicação e para a divisão. 
Exemplo: 
a) ( 7 x 2 ) 3 = 73 x 23 = 343 x 8 = 2744 
b) ( 3 x 2 ) 2 = 32 x 22 = 9 x 4 = 36 
RAZÕES E PROPORÇÕES 
Razão 
É o resultado da comparação entre duas grandezas. A razão do 
número a para o número b(diferente de zero) é o quociente 
de a por b: 
a ou a:b (lemos a para b) ou 3 ou 3:5 (três para cinco) 
b 5 
Os números a e b são termos da razão; a é chamado antecedente 
e b é chamado consequente da razão. 
Exemplos: 
a) A razão de 20 para 5 é: 20/5 = 4 
b) A razão de 3 para 12 é: 3 = 1 
 12 4 
c) A razão entre 5 e 1 é: 
 2 5 = 5 * 2 = 10 
 1 1 
 2 
Proporção 
A igualdade entre duas razões se denomina proporção. 
Ex: 16 = 20 os extremos são o 16 e o 5 e os meios o 20 e o 4. 
 4 5 
Propriedade Fundamental 
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto 
dos extremos”. 
Assim, neste exemplo 16 = 20 
 4 5 
Lido “Dezesseis está para quatro assim como Vinte está para cinco”, 
20 * 4 = 16 * 5, por este motivo é uma proporção. 
Exemplo: 
a) Calcule o valor de x na proporção: x = 15 
 6 5 
Solução: 
5 * x = 15 * 6 → 5x = 90 → x = 90 / 5 → x = 18. 
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
Pode-se definir Investimento como sendo uma 
aplicação hoje para a obtenção de uma série de benefícios futuros. O 
objetivo será trazer retorno adequado aos donos do capital. Serão 
envolvidos cenários econômicos e políticos de longo prazo. 
O cálculo do Valor Presente Líquido – VPL [se refere ao] valor do dinheiro no 
tempo. Portanto, todas as entradas e saídas de caixa são tratadas no tempo 
presente. O VPL de um investimento é igual ao valor presente do fluxo de caixa 
líquido do projeto em análise, descontado pelo custo médio ponderado de capital. 
A Taxa Interna de Retorno – TIR é a taxa “i” que se iguala as entradas de caixa 
ao valor a ser investido em um projeto. Em outras palavras,é a taxa que iguala o 
VPL de um projeto a zero (LUNELLI, 2013, grifo do autor). 
JUROS SIMPLES 
O dinheiro que pensamos depositar no banco chamamos de Capital, 
que nada mais é que o Valor Presente da negociação. Juro é o prêmio 
que se paga por um capital emprestado. Ou seja, Juros é uma 
determinada compensação financeira que se recebe ou se paga 
quando emprestamos, ou recebemos determinados valores por um 
tempo pré-estabelecido (CRESPO 2009). 
A capitalização dos juros pode ser de duas maneiras, a de Juros 
Simples e a deJuros Compostos. 
JUROS SIMPLES: é aquele calculado unicamente sobre o capital 
inicial. 
JUROS COMPOSTOS: é aquele que será calculado a cada intervalo 
de tempo que será a cada intervalo acrescido a partir do saldo no 
início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo 
de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros 
também (APOSTILA..., 2009). 
Os juros podem ser calculados pela seguinte fórmula: 
 
Sendo: 
J = juro 
C = capital 
i = taxa 
t = tempo ou n=tempo 
Quanto ao tempo, nesta fórmula ele é medido em anos. Quando a 
informação for baseada em meses, a fórmula acima será alterada no 
denominador de 100 para 1200. Para dias, a fórmula acima será 
alterada no denominador de 100 para 36000. 
No livro da disciplina utiliza-se a fórmula J = C.i.n , neste caso, a 
taxa deverá sempre estar na forma centesimal. 
Exemplo: 
Neste primeiro exemplo observe que temos um tempo em ano, mês e 
dias e vamos transformar tudo em dias. 
Calcule os juros produzidos por R$ 70.000,00 quando aplicados à 
taxa de 6% ao ano durante 4 anos. 
J = ? 
C = 70.000 
I = 6% a.a. = 006 
t = 4a 
Observe que o tempo foi dado em anos. 
Pela fórmula, teremos: 
J = C.i.t 
J = 70.000 x 0,06 x 4 
J = R$ 16.800,00 
Exemplo: 
Neste exemplo vamos trabalhar com alteração na fórmula, pois o 
exercício dará a taxa de juros em anos e o tempo em meses, assim 
sendo, vamos alterar o denominador da fórmula de 100 para 1200, 
conforme mencionado no escopo da explicação. 
 
Calcular o juro simples de um capital de R$ 8.000,00 aplicado à taxa 
de juros de 5% a.a. pelo prazo de 9 meses. 
J = ? 
C = 8.000 
I = 5% a.a. 
t = 9 meses 
Pela fórmula, teremos: 
J = C.i.t / 1200 
J = 8.000 x 5 x 9 meses / 1200 
J = 40.000 x 9 meses / 1200 
J = 360.000 / 1200 
J = R$ 300,00 
Exemplo: 
Neste exemplo vamos trabalhar com alteração na fórmula para dias, 
pois o exercício dará a taxa de juros em anos e o tempo em dias, 
assim sendo, vamos alterar o denominador da fórmula de 100 para 
36000, conforme mencionado no escopo da explicação. 
 
Vamos calcular o juro simples de um capital de R$ 
5.000,00 aplicado à taxa de juros de 7% a.a. pelo prazo de 100 dias. 
J = ? 
C = 5.000 
I = 7% a.a. 
t = 100 dias 
Pela fórmula teremos: 
J = C.i.t / 36.000 
J = 5.000 x 7 x 100 dias / 36.000 
J = 35.000 x 100 dias / 36.000 
J = 3.500.000 / 36.000 
J = R$ 97,22 
APROFUNDANDO CONHECIMENTO!!! 
Você notou que quando nos referenciamos a taxa de juros sempre é 
mencionado a qual período corresponde, por exemplo: 3% a.a, 2% 
a.t. ou 1% a.m. 
E você sabe o que cada especificação desta representa? 
a.a. → ao ano (1 ano => 360 dias) 
a.s. → ao semestre (1 semestre => 180 dias) 
a.t. → ao trimestre (1 trimestre => 90 dias) 
a.m. → ao mês (1 mês => 30 dias) 
Mas ainda pode-se representar o número 1% na sua forma decimal, 
observe: 
1% a.t = 0,01 a.t., ou seja, 1 dividido por 100. 
5% a.t = 0,05 a.t., ou seja, 5 dividido por 100. 
10% a.t = 0,10 a.t., ou seja, 10 dividido por 100. 
Notem que pela fórmula J = podemos achar o Capital aplicado, 
o tempo ou ainda a taxa, não somente os juros. Para tanto, você 
aluno deverá prestar muita atenção no enunciado do problema. 
Exemplo 
Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de 240 
dias, à taxa de 12% a.a., Qual o valor do juro a receber? 
J = C.i.t / 36000 
J = 3.000. 12. 240 dias / 36000 → J = R$ 240,00 
Exemplo 
Qual o tempo necessário para que R$ 600.000,00, a 5 % a.a, 
rendam R$ 90.000,00 de juros simples 
J = C.i.t / 100 
t = J / Ci 
t = 90.000/600.000 . 0,05 = => t = 3 anos 
MONTANTE SIMPLES 
Montante ou valor nominal é o capital inicial aplicado 
(valor atual) e somado com o valor dos juros produzidos no período 
de aplicação. 
Se temos R$2.000,00 aplicados e, após 6 meses, tenhamos R$ 
100,00 de juros, o montante agora será de R$ 2.100,00. 
Montante = Capital Principal + Juros 
Montante = Capital Principal + (Juros = C.i.t / 100). Lembre-
se que J = C.i.t / 100 
Então: 
Montante = Capital Principal + (C.i.t / 100) 
Exemplo: 
Que montante receberá um aplicador que tinha investido R$ 
28.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês? 
Solução: 
M = ? C= 28.000,00 i = 3 t = 15 
M = 28.000 + (28.000 x 3 x 15 / 100) = 
M = 28.000 + (28.000 x 3 x 15 / 100) = 
M = 28.000 + 12.600 = 40.600 
 
Fonte: Mozer (2013). 
Sugestão: Refaça os exercícios sobre juros simples utilizando 
a fórmula utilizada no livro da disciplina, lembrando que para 
esta tarefa sua taxa deverá estar na forma centesimal. 
J = C.i.n 
Ex.: taxa de 3% a.m → forma centesimal 3/100 → 0,03 
DESCONTO SIMPLES 
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto 
é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
Imagine que, na data de hoje, você achou uma liquidação imperdível 
e efetuou uma determinada compra de roupas, mas como você não 
dispunha deste dinheiro todo no momento, você pediu uma fatura 
com vencimento para daqui a 30 dias no valor de R$ 250,00. Mas dez 
dias após a compra você acaba por receber um dinheiro que não 
estava esperando. Então decide saldar a dívida da compra de roupas 
e se dirige à loja. Chegando lá, o Senhor José, que é o responsável 
pelo caixa, verifica sua fatura que terá vencimento somente daqui a 
20 dias e comenta que com a liquidação da dívida você obterá um 
desconto de 5% sobre o valor de R$ 250,00, sendo ele então R$ 
12,50. 
Logo, a diferença entre o Valor Nominal da dívida de R$ 250,00 e o 
valor do desconto R$ 12,50 será considerado o valor Antecipado da 
fatura de R$ 237,50. 
Concluímos que o Desconto é a operação inversa ao Montante. 
Montante é o valor do Capital Principal mais o valor dos juros, 
gerando um valor futuro, e o desconto caracteriza-se em diminuir um 
valor de uma quantia futura (Valor Nominal). 
 
Fonte: Mozer (2013). 
Quando a operação é com Desconto Simples, deve-se saber que 
existem dois tipos de descontos: 
Desconto Racional (ou também chamado “por dentro”) e Desconto 
Comercial (ou chamado de “por fora”) → utilizado no comércio de 
modo geral e operações financeiras. 
Definimos: 
N = Valor Nominal do título → É o valor de fato do título que aparece 
no documento (promissória, cheque, etc...). 
A = Valor Atual comercial → Valor da liquidação, ou seja, valor no ato 
da liquidação. 
Desconto → Caracteriza-se pela diferença (-) entre o Valor Nominal 
do título e o Valor atual do título (Valor liquidado). 
d = Desconto comercial → Para efetuar este de desconto cálculo 
utiliza-se o valor Nominal e o valor Atual do título, é o desconto. 
i = a taxa de desconto 
t = tempo 
Fórmula para o Cálculo do Desconto por Fora: 
 
D = Desconto por dentro → É basicamente o inverso do Desconto 
por fora, pois neste calcula-se o desconto sobre o valor atual e soma-
se a ele (valor atual) o valor obtido (desconto), desta forma, 
determina-se o Valor Nominal. 
 
Exemplo: 
Qual é o desconto por fora de um título de R$ 10.500,00descontado 5 mesesantes do vencimento a uma taxa de 30% 
ao ano? 
Solução: 
d = N.i.t / 1200 
N = 10.500,00 i = 30% ao ano t = 5 meses antes 
d = 10.500 x 30 x 5 / 1200 => d = R$ 1.312,50 
Exemplo 
Determine o valor do desconto por dentro de um título de R$ 
2.000,00, com vencimento para 3 meses, sabendo que a taxa é de 
2,5 % ao mês. 
d = N.i.t / 1200+ i.t 
N= 2000,00 i =2,5 a.m t= 3 meses 
d= 2000.2,5.3/ 100+2.5.3 d = 139,53 
 
CRESPO, A. A. Matemática financeira fácil. São Paulo: Saraiva, 
2009. 
LUNELLI, Reinaldo L. Análise de investimentos. Disponível em: 
<http://www.portaldecontabilidade.com.br/tematicas/analiseinvestim
entos.htm>. Acesso em: agosto de 2013. 
APOSTILA de matemática financeira. 15 fev. 2009. Disponível em: 
<http://www.administradores.com.br/artigos/administracao-e-
negocios/apostila-de-matematica-financeira/40664/>. Acesso em: 
agosto de 2013. 
SUGESTÃO DE LEITURA 
AYRES JUNIOR, F. Matemática financeira. São Paulo: McGraw-Hill, 
1981. 
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise de 
investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
NICOLA, J; TERRA, E. 1.001 dúvidas de português. 10. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2000. p. 126. 
EXPLICAÇÕES e exercícios em matemática. Disponível 
em:<http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 15 ago. 2013.