Apostila de Termodinâmica
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Apostila de Termodinâmica


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t) = mx¨
Consideremos alguns casos especiais nos quais a integrac¸a\u2dco da equac¸a\u2dco do movimento possa
ser feita por me´todos elementares.
A situac¸a\u2dco mais simples sera´ aquela na qual a forc¸a for constante. Neste caso, a acelerac¸a\u2dco
sera´ constante
dv
dt
=
F
m
= constante = a
e a soluc¸a\u2dco sera´ facilmente obtida por integrac¸a\u2dco direta em relac¸a\u2dco ao tempo.
v = at+ v0 (2.9)
x =
1
2
at2 + v0t+ x0 (2.10)
onde v0 e´ a velocidade inicial e x0 a posic¸a\u2dco inicial. Eliminando o tempo nas Equac¸o\u2dces (2.9)
e (2.10), obtemos
2a(x\u2212 x0) = v2 \u2212 v20 (2.11)
O leitor reconhecera´ nas equac¸o\u2dces acima as equac¸o\u2dces do movimento uniformemente acel-
erado. Existem numerosas aplicac¸o\u2dces fundamentais. Por exemplo, a acelerac¸a\u2dco de um corpo
em queda livre pro´ximo a` superf´\u131cie da Terra, desprezando a resiste\u2c6ncia do ar, e´ aproximada-
mente constante. Representaremos a acelerac¸a\u2dco de um corpo em queda livre por ~g. (Em
44 CAPI´TULO 2. MECA\u2c6NICA NEWTONIANA
mo´dulo, g = 9, 8m/s2). A forc¸a da gravidade (peso), cujo sentido e´ para baixo, e´ conse-
quentemente igual a m~g. A forc¸a gravitacional esta´ sempre presente independentemente do
movimento do corpo, onde outras forc¸as podem estar atuando.
Exemplo
Considere uma part´\u131cula que escorrega para baixo num plano liso inclinado de um a\u2c6ngulo
\u3b8 em relac¸a\u2dco a` horizontal como ilustrado na Figura 2.1(a). Colocamos o eixo x na direc¸a\u2dco
paralela ao plano inclinado e o orientamos positivamente para baixo, como indicado.
sen \u3b8 sen \u3b8\u3b8mg cos
\u3b8mg cosµ
\u3b8mg cos
(a) (b)
mg 
\u3b8
x
mg 
\u3b8
x
mg mg 
N N
Figura 2.1: Uma part´\u131cula deslizando para baixo em um plano inclinado (a) liso; (b) com
atrito.
A componente da forc¸a gravitacional na direc¸a\u2dco x vale mg sen \u3b8. E´ uma constante e por isso
o movimento e´ descrito pelas Equac¸o\u2dces (2.9), (2.10) e (2.11) onde
a =
F
m
= g sen \u3b8
Vamos supor que, ao inve´s de liso, o plano fosse rugoso, isto e´, que exercesse uma forc¸a de
atrito ~f na part´\u131cula. Enta\u2dco, como ilustrado na Figura 2.1(b), a forc¸a resultante na direc¸a\u2dco
x seria igual a mg sen \u3b8 \u2212 f . No caso de um corpo deslizando sobre outro observamos que o
mo´dulo da forc¸a de atrito e´ proporcional ao mo´dulo da forc¸a normal N , isto e´,
f = µN
onde a constante de proporcionalidade µ e´ o coeficiente de atrito cine´tico. No exemplo em
questa\u2dco a forc¸a normal N , como pode ser visto na figura, e´ igual a mg cos \u3b8, portanto
f = µmg cos \u3b8
Consequentemente, a forc¸a resultante na direc¸a\u2dco x seria igual a
mg sen \u3b8 \u2212 µmg cos \u3b8
Novamente a forc¸a seria constante e as Equac¸o\u2dces (2.9), (2.10) e (2.11) poderiam ser aplicadas
com
a =
F
m
= g(sen \u3b8 \u2212 µ cos \u3b8)
2.7. O CONCEITO DE ENERGIAS CINE´TICA E POTENCIAL 45
A velocidade da part´\u131cula crescera´ se a expressa\u2dco entre pare\u2c6nteses for positiva, isto e´ se
\u3b8 > arctg µ. O a\u2c6ngulo arctg µ, usualmente representado por \ufffd, e´ chamado a\u2c6ngulo de atrito.
Se \u3b8 = \ufffd, enta\u2dco a = 0, e a part´\u131cula deslizara´ para baixo com velocidade constante. Se \u3b8 < \ufffd,
enta\u2dco a sera´ negativo e a part´\u131cula eventualmente ira´ parar. Devemos notar que no caso de
movimento para cima a forc¸a de atrito tera´ seu sentido invertido em relac¸a\u2dco ao caso anterior;
isto e´, tera´ o sentido de x positivo. A acelerac¸a\u2dco (realmente desacelerac¸a\u2dco) sera´ enta\u2dco
a = g(sen \u3b8 + µ cos \u3b8)
2.7 O Conceito de Energias Cine´tica e Potencial
Ocorre geralmente que a forc¸a que atua sobre uma part´\u131cula depende de sua posic¸a\u2dco em
relac¸a\u2dco a outros corpos. Isto e´ verdade no caso de, por exemplo, forc¸as eletrosta´ticas ou
gravitacionais e tensa\u2dco ou compressa\u2dco ela´sticas. Se a forc¸a independesse da velocidade e do
tempo, a equac¸a\u2dco diferencial para movimentos retil´\u131neos seria simplesmente
F (x) = mx¨
Usualmente e´ poss´\u131vel resolver esse tipo de equac¸a\u2dco diferencial por va´rios me´todos. Uma
maneira u´til e significativa e´ escrever a acelerac¸a\u2dco na forma abaixo
x¨ =
dx\u2d9
dt
=
dx
dt
dx\u2d9
dx
= v
dv
dx
e a equac¸a\u2dco diferencial do movimento pode ser escrita
F (x) = mv
dv
dx
=
m
2
d(v2)
dx
=
dT
dx
(2.12)
A quantidade T = 1
2
mv2 e´ chamada energia cine´tica da part´\u131cula. Podemos expressar a
Equac¸a\u2dco (2.12) na forma integral\u222b
F (x)dx =
\u222b
dT =
1
2
mx\u2d92 + constante
A integral
\u222b
F (x)dx e´ o trabalho realizado sobre a part´\u131cula pela forc¸a F (x). Vamos definir
a func¸a\u2dco V (x) tal que
\u2212 dV
dx
= F (x) (2.13)
A func¸a\u2dco V (x) e´ chamada energia potencial. Ela e´ definida a menos de uma constante
arbitra´ria. Em termos de V (x) o trabalho e´\u222b
F (x)dx = \u2212
\u222b dV
dx
dx = \u2212V (x) + constante
consequentemente podemos escrever
T + V =
1
2
mv2 + V (x) = constante = E (2.14)
46 CAPI´TULO 2. MECA\u2c6NICA NEWTONIANA
chamamos a constante E de energia total. Dito de outra maneira: Para o movimento uni-
dimensional, se a forc¸a exercida sobre a part´\u131cula for uma func¸a\u2dco da posic¸a\u2dco apenas, enta\u2dco
a soma da energia potencial e cine´tica permanecera´ constante durante todo o movimento.
Neste caso, a forc¸a sera´ dita conservativa. (No pro´ximo Cap´\u131tulo encontraremos uma dis-
cussa\u2dco mais completa sobre forc¸a conservativa). Forc¸as na\u2dco conservativas, ou seja, aquelas
para as quais na\u2dco existir uma func¸a\u2dco energia potencial, sa\u2dco usualmente de natureza dissipa-
tiva, tal como o atrito.
regiao permitida~
pontos de
retorno
x
V(x)
E
Figura 2.2: Gra´fico da func¸a\u2dco energia potencial mostrando a regia\u2dco permitida e os pontos
de retorno do movimento para um dado valor da energia total E.
O movimento da part´\u131cula pode ser obtido explicitando v na equac¸a\u2dco de conservac¸a\u2dco de
energia (2.14).
v =
dx
dt
= ±
\u221a
2
m
[E \u2212 V (x)] (2.15)
que pode ser escrita na forma de uma integral
\u222b ±dx\u221a
2
m
[E \u2212 V (x)]
= t (2.16)
dando t em func¸a\u2dco de x.
Vemos, na Equac¸a\u2dco (2.15), que a velocidade so´ sera´ real para valores de x tais que
V (x) seja menor ou igual a` energia total E. Fisicamente, isso significa que a part´\u131cula esta´
confinada a`s regio\u2dces para as quais V (x) \u2264 E. Ale´m disso, a velocidade se anula nos pontos
onde V (x) = E. Isto e´, a part´\u131cula deve parar e inverter seu movimento nestes pontos. Eles
sa\u2dco chamados pontos de retorno do movimento. A Figura 2.2 ilustra essa discussa\u2dco.
Exemplo
2.8. FORC¸A EM FUNC¸A\u2dcO DO TEMPO \u2014 CONCEITO DE IMPULSO 47
O movimento de um corpo em queda livre discutido anteriormente como exemplo de
forc¸a constante e´ um caso especial de movimento conservativo. Orientando o eixo x positivo
para cima, a forc¸a gravitacional sera´ \u2212mg e a func¸a\u2dco energia potencial V = mgx + C. C
e´ uma constante arbitra´ria cujo valor depende meramente da escolha do n´\u131vel de refere\u2c6ncia
para V . Para C = 0, a energia total sera´
E =
1
2
mx\u2d92 +mgx
Vamos supor, por exemplo, que um corpo seja lanc¸ado para cima com velocidade inicial v0.
Fazendo x = 0 no ponto de lanc¸amento
E =
1
2
mv20 =
1
2
mx\u2d92 +mgx
O ponto de retorno e´ aquele no qual a altura atingida pelo corpo e´ ma´xima. No´s o obtemos
fazendo x\u2d9 = 0
1
2
mv20 = mgxmax
ou
h = xmax =
v20
2g
Integrando a equac¸a\u2dco de energia obtemos para este movimento
\u222b x
0
dx\u221a
v20 \u2212 2gx
= t
v0
g
\u2212 1
g
\u221a
v20 \u2212 2gx = t
O leitor deve verificar que esta expressa\u2dco se reduz a` mesma relac¸a\u2dco entre x e t dada pela
Equac¸a\u2dco (2.10) quando se coloca a = \u2212g.
2.8 Forc¸a em Func¸a\u2dco do Tempo \u2014 Conceito de Impul-
so
Se for poss´\u131vel expressar a forc¸a que atua sobre as part´\u131culas em termos de uma func¸a\u2dco
expl´\u131cita do tempo enta\u2dco a equac¸a\u2dco do movimento sera´
F (t) = m
dv
dt
Esta equac¸a\u2dco pode ser integrada diretamente dando o momentum linear (e portanto a ve-
locidade) em func¸a\u2dco do tempo \u222b
F (t)dt = mv(t) + C (2.17)
48 CAPI´TULO 2. MECA\u2c6NICA NEWTONIANA
onde C e´ uma constante