Apostila de Termodinâmica
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Apostila de Termodinâmica


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de integrac¸a\u2dco. A integral
\u222b
F (t)dt, chamada impulso, e´ igual ao
momentum linear comunicado a` part´\u131cula pela forc¸a F (t). (O uso do conceito de impulso
sera´ retomado no Cap´\u131tulo 4).
A posic¸a\u2dco da part´\u131cula em func¸a\u2dco do tempo pode ser obtida por uma segunda integrac¸a\u2dco
como se segue
x =
\u222b
v(t)dt =
\u222b [\u222b F (t\u2032)dt\u2032
m
]
dt (2.18)
Devemos notar que a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco podera´ ser escrita como uma simples integral dupla
apenas nos casos em que a forc¸a for uma func¸a\u2dco expl´\u131cita do tempo. Para todos os outros
casos devemos usar os va´rios me´todos para se resolver equac¸a\u2dco diferencial de segunda ordem
a fim de obtermos a posic¸a\u2dco x em termos do tempo t.
Exemplo
Um bloco esta´ inicialmente em repouso numa superf´\u131cie horizontal lisa. No instante t = 0
aplica-se uma forc¸a horizontal uniformemente crescente: F = ct. Encontre a velocidade e o
deslocamento em func¸a\u2dco do tempo.
A equac¸a\u2dco diferencial do movimento e´
ct = m
dv
dt
Enta\u2dco
v =
1
m
\u222b t
0
ctdt =
ct2
2m
e
x =
\u222b t
0
ct2
2m
dt =
ct3
6m
onde a posic¸a\u2dco inicial do corpo e´ na origem (x = 0).
2.9 Forc¸a Dependente da Velocidade
Frequentemente ocorre que a forc¸a que atua numa part´\u131cula e´ func¸a\u2dco da velocidade da
part´\u131cula. E´ o caso de, por exemplo, resiste\u2c6ncia viscosa exercida em um corpo que se move
atrave´s de um fluido. No caso de resiste\u2c6ncia exercida por um fluido, observamos que para
baixas velocidades a forc¸a e´ aproximadamente proporcional a` velocidade, enquanto que para
altas velocidades a proporcionalidade ao quadrado e´ mais conveniente. Se na\u2dco houver outras
forc¸as atuando, a equac¸a\u2dco do movimento podera´ ser escrita
F (v) = m
dv
dt
Integrando uma u´nica vez obtemos t em func¸a\u2dco de v
t =
\u222b mdv
F (v)
= t(v) (2.19)
2.9. FORC¸A DEPENDENTE DA VELOCIDADE 49
Podemos omitir a constante de integrac¸a\u2dco porque seu valor depende somente da escolha da
origem do tempo. Supondo que v possa ser explicitado na equac¸a\u2dco acima, isto e´,
v = v(t)
enta\u2dco uma segunda integrac¸a\u2dco nos dara´ a posic¸a\u2dco x em func¸a\u2dco de t
x =
\u222b
v(t)dt = x(t) (2.20)
Exemplo
Vamos supor que lanc¸amos um corpo com velocidade inicial v0 num plano horizontal
liso, mas que existe uma resiste\u2c6ncia do ar proporcional a v; isto e´, F (v) = \u2212cv, onde c e´
uma constante de proporcionalidade. (O eixo x esta´ ao longo da direc¸a\u2dco do movimento). A
equac¸a\u2dco diferencial do movimento e´
\u2212cv = mdv
dt
Integrando, teremos
t =
\u222b v
v0
\u2212mdv
cv
= \u2212m
c
ln
(
v
v0
)
Multiplicando ambos os membros por \u2212 c
m
e tomando o exponencial obteremos facilmente v
em func¸a\u2dco de t. O resultado e´
v = v0e
\u2212 ct
m
A velocidade decresce exponencialmente com o tempo. Uma segunda integrac¸a\u2dco nos dara´
x =
\u222b t
0
v0e
\u2212 ct
mdt
=
mv0
c
(
1\u2212 e\u2212 ctm
)
Vemos, da equac¸a\u2dco acima, que o corpo nunca ultrapassara´ a dista\u2c6ncia limite mv0/c.
50 CAPI´TULO 2. MECA\u2c6NICA NEWTONIANA
2.10 Movimento Vertical num Meio Resistivo
Velocidade Terminal
Um objeto caindo verticalmente no ar ou atrave´s de qualquer fluido esta´ sujeito a` resiste\u2c6ncia
viscosa. Se a resiste\u2c6ncia for proporcional a` primeira pote\u2c6ncia de v (caso linear) poderemos
expressar esta forc¸a como \u2212cv independentemente do sinal de v, uma vez que a forc¸a de
resiste\u2c6ncia e´ sempre oposta ao sentido do movimento. A constante de proporcionalidade c
depende do tamanho e forma do objeto e da viscosidade do fluido. Consideremos o sentido
para cima positivo. A equac¸a\u2dco diferencial do movimento sera´
\u2212mg \u2212 cv = mdv
dt
Considerando g constante, teremos o caso de forc¸a dependente da velocidade, e poderemos
escrever
t =
\u222b mdv
F (v)
=
\u222b v
v0
mdv
\u2212mg \u2212 cv = \u2212
m
c
ln
mg + cv
mg + cv0
Facilmente poderemos explicitar v
v = \u2212mg
c
+
(
mg
c
+ v0
)
e\u2212
ct
m (2.21)
Depois de um tempo suficientemente grande (t \ufffd m/c) o termo exponencial sera´ desprez´\u131-
vel, e a velocidade se aproximara´ do valor limite \u2212mg
c
. A velocidade limite de um corpo em
queda e´ chamada de velocidade terminal; e´ aquela velocidade na qual a forc¸a de resiste\u2c6ncia
seja exatamente igual e oposta ao peso do corpo tal que a forc¸a resultante seja nula. O
mo´dulo da velocidade terminal de uma gota de chuva, por exemplo, e´ de 3 a 6 metros por
segundo, dependendo do seu tamanho.
A Equac¸a\u2dco (2.21) expressa v em func¸a\u2dco de t, enta\u2dco uma segunda integrac¸a\u2dco dara´ x em
func¸a\u2dco de t:
x\u2212 x0 =
\u222b t
0
v(t)dt = \u2212mgt
c
+
(
m2g
c2
+
mv0
c
)(
1\u2212 e\u2212 ctm
)
(2.22)
Vamos designar a velocidade terminal mg
c
por vt e m/c por \u3c4 (que chamaremos de tempo
caracter´\u131stico). A Equac¸a\u2dco (2.21) pode enta\u2dco ser escrita da forma mais significativa
v = \u2212vt + (vt + v0)e\u2212 t\u3c4 (2.23)
Enta\u2dco, um objeto que cai a partir do repouso (v0 = 0) atingira´ a velocidade de (1 \u2212 e\u22121)
vezes a velocidade terminal em um intervalo de tempo \u3c4 , (1\u2212 e\u22122)vt no intervalo 2\u3c4 , e assim
por diante. Depois de um intervalo de 10\u3c4 a velocidade sera´ praticamente igual a velocidade
terminal, a saber 0, 99995vt.
Se a resiste\u2c6ncia viscosa for proporcional a v2 (caso quadra´tico), a equac¸a\u2dco diferencial do
movimento sera´, lembrando que consideramos o sentido para cima positivo,
\u2212mg ± cv2 = mdv
dt
2.11. VARIAC¸A\u2dcO DA GRAVIDADE COM A ALTURA 51
O sinal negativo para o termo de resiste\u2c6ncia se refere a` subida (v positivo), e o sinal positivo
a` descida. O duplo sinal e´ necessa´rio no caso da forc¸a que envolve pote\u2c6ncia par de v. Como
no caso anterior, a equac¸a\u2dco diferencial do movimento pode ser integrada dando t em func¸a\u2dco
de v:
t =
\u222b mdv
\u2212mg \u2212 cv2 = \u2212\u3c4arctg
v
vt
+ t0 (subida)
t =
\u222b mdv
\u2212mg + cv2 = \u2212\u3c4arctgh
v
vt
+ t\u20320 (descida)
onde \u221a
m
cg
= \u3c4 (tempo caracter´\u131stico)
e \u221a
mg
c
= vt (velocidade terminal)
Explicitando v,
v = vt tg
(
t0 \u2212 t
\u3c4
)
(subida) (2.24)
v = \u2212vt tgh
(
t\u2212 t\u20320
\u3c4
)
(descida) (2.25)
Se o corpo for abandonado em repouso em t = 0 enta\u2dco t\u20320 = 0. Da definic¸a\u2dco de tangente
hiperbo´lica,
v = \u2212vt tgh t
\u3c4
= \u2212vt
(
et/\u3c4 \u2212 e\u2212t/\u3c4
et/\u3c4 + e\u2212t/\u3c4
)
Novamente, depois de um intervalo de tempo de alguns tempos caracter´\u131sticos, praticamente
obtemos a velocidade terminal, por exemplo, para t = 5\u3c4 , a velocidade e´ 0, 99991vt. A Figura
2.3 mostra os gra´ficos da velocidade em func¸a\u2dco do tempo de queda para leis de resiste\u2c6ncia dos
tipos linear e quadra´tica. E´ interessante notar que em ambos os casos, o tempo caracter´\u131stico
e´ igual a vt/g. Por exemplo, se a velocidade terminal de um paraquedas e´ de 1,2 m/s, o tempo
caracter´\u131stico sera´ de
1, 2 m/s
9, 8 m/s2
= 0, 12 s
Podemos integrar as Equac¸o\u2dces (2.24) e (2.25) para obtermos expresso\u2dces expl´\u131citas da
posic¸a\u2dco em func¸a\u2dco do tempo.
2.11 Variac¸a\u2dco da Gravidade com a Altura
Na Sec¸a\u2dco precedente consideramos g constante. Realmente, a atrac¸a\u2dco gravitacional da Terra
sobre um corpo situado acima de sua superf´\u131cie varia com o inverso do quadrado da dista\u2c6ncia.
(Lei de Newton da gravitac¸a\u2dco). Enta\u2dco a forc¸a gravitacional num corpo de massa m e´
F = \u2212GMm
r2
52 CAPI´TULO 2. MECA\u2c6NICA NEWTONIANA
0 \u3c4 2\u3c4 3\u3c4 
tempo
0
 
ve
lo
ci
da
de
v
t
velocidade terminal
resistencia linear
resistencia quadratica
Figura 2.3: Gra´fico da velocidade em func¸a\u2dco do tempo de queda para um corpo sujeito a
resiste\u2c6ncia do ar dos tipos linear e quadra´tica.
onde G e´ a constante universal da gravitac¸a\u2dco, M a massa da Terra, e r a dista\u2c6ncia do centro
da Terra ao corpo. Pode-se ver por inspec¸a\u2dco que este tipo de forc¸a e´ obtida de uma func¸a\u2dco
energia potencial que varia com o inverso da dista\u2c6ncia
V (r) = \u2212GMm
r
onde
F = \u2212\u2202V
\u2202r
Se desprezarmos a resiste\u2c6ncia do ar, a equac¸a\u2dco diferencial para movimento vertical e´
mr¨ = \u2212GMm
r2
(2.26)
Escrevendo r¨ = r\u2d9