Apostila de Termodinâmica
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Apostila de Termodinâmica


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= \u2212~\u2207V (3.12)
Introduzimos aqui o operador vetorial
~\u2207 =~\u131 \u2202
\u2202x
+~\uf6be
\u2202
\u2202y
+ ~k
\u2202
\u2202z
(3.13)
~\u2207 e´ chamado de operador del. A expressa\u2dco ~\u2207V e´ tambe´m chamada de O gradiente de
V e algumas vezes e´ escrita grad V . Matematicamente, o gradiente de uma func¸a\u2dco e´ um
vetor que representa sua derivada espacial. Fisicamente, o negativo do gradiente da func¸a\u2dco
energia potencial nos da´ a direc¸a\u2dco, o sentido e o mo´dulo da forc¸a que atua numa part´\u131cula
localizada num campo criado por outras part´\u131culas. O sinal negativo significa que a part´\u131cula
e´ obrigada a mover-se na direc¸a\u2dco em que a energia potencial decresce. A Figura 3.2 e´ uma
ilustrac¸a\u2dco do gradiente. Nessa figura a func¸a\u2dco potencial e´ representada na forma de curvas
de n´\u131vel representando energia potencial constante. A forc¸a em qualquer ponto e´ sempre
normal a` superf´\u131cie equipotencial que passa pelo ponto em questa\u2dco.
V = constante
F
Figura 3.2: Um campo de forc¸a representado por linhas de contorno de energia potencial.
3.7 Condic¸o\u2dces para a Existe\u2c6ncia de uma Func¸a\u2dco Po-
tencial
No Cap´\u131tulo 2 vimos que em se tratando de movimento unidimensional, a forc¸a sera´ conser-
vativa sempre que ela for func¸a\u2dco apenas da posic¸a\u2dco. Estamos interessados agora em verificar
se existe uma afirmac¸a\u2dco equivalente para o caso geral de movimentos bi e tridimensionais.
Isto e´, se a forc¸a que atua em uma part´\u131cula for uma func¸a\u2dco apenas das coordenadas de
posic¸a\u2dco, existira´ sempre uma func¸a\u2dco V que satisfac¸a a Equac¸a\u2dco (3.10) acima? A resposta
para esta pergunta e´ na\u2dco; somente existira´ a func¸a\u2dco potencial se as componentes da forc¸a
satisfizerem certos crite´rios.
80 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO GERAL DE UMA PARTI´CULA
Vamos supor que exista a func¸a\u2dco potencial, isto e´, que as equac¸o\u2dces (3.10) sejam va´lidas.
Temos enta\u2dco
\u2202Fx
\u2202y
= \u2212 \u2202
2V
\u2202y\u2202x
\u2202Fy
\u2202x
= \u2212 \u2202
2V
\u2202x\u2202y
Como a ordem de diferenciac¸a\u2dco pode ser invertida, as duas expresso\u2dces sa\u2dco iguais e,
\u2202Fx
\u2202y
=
\u2202Fy
\u2202x
\u2202Fx
\u2202z
=
\u2202Fz
\u2202x
\u2202Fy
\u2202z
=
\u2202Fz
\u2202y
(3.14)
Estas sa\u2dco condic¸o\u2dces necessa´rias para que a func¸a\u2dco potencial exista; elas expressam a condic¸a\u2dco
de que
~F . d~r = Fxdx+ Fydy + Fzdz
seja uma diferencial exata. E´ poss´\u131vel mostrar tambe´m que elas sa\u2dco condic¸o\u2dces suficientes,
isto e´, se as Equac¸o\u2dces (3.14) forem va´lidas em todos os pontos, enta\u2dco as componentes da
forc¸a sera\u2dco realmente deriva´veis de uma func¸a\u2dco potencial V (x, y, z), e a soma da energia
cine´tica com a energia potencial sera´ constante1.
Os crite´rios para que um campo de forc¸a seja conservativo sera\u2dco convenientemente ap-
resentados em termos do operador del. Nesta aplicac¸a\u2dco introduzimos o produto vetorial do
operador del:
~\u2207× ~F =~\u131
(
\u2202Fz
\u2202y
\u2212 \u2202Fy
\u2202z
)
+~\uf6be
(
\u2202Fx
\u2202z
\u2212 \u2202Fz
\u2202x
)
+ ~k
(
\u2202Fy
\u2202x
\u2212 \u2202Fx
\u2202y
)
(3.15)
O produto vetorial definido acima e´ chamado de rotacional de ~F. De acordo com as Equac¸o\u2dces
(3.14), vemos que as componentes do rotacional se anulam se a forc¸a ~F for conservativa.
Enta\u2dco a condic¸a\u2dco para uma forc¸a ser conservativa pode ser dada numa forma compacta
~\u2207× ~F = ~0 (3.16)
Matematicamente, esta condic¸a\u2dco exige que a expressa\u2dco ~F . d~r seja uma diferencial exata,
ou em outras palavras, que a integral
\u222b ~F . d~r seja independente do caminho de integrac¸a\u2dco.
Fisicamente, a anulac¸a\u2dco do rotacional da forc¸a ~F significa que o trabalho feito por ~F sobre
a part´\u131cula em movimento e´ independente da trajeto´ria que liga um ponto ao outro.
Ha´ uma terceira expressa\u2dco envolvendo o operador del, ou seja o produto escalar ~\u2207 . ~F.
Esse e´ chamado a diverge\u2c6ncia de ~F. No caso de campo de forc¸a, a diverge\u2c6ncia da´ uma
medida da densidade de fontes de campo em um certo ponto. A diverge\u2c6ncia e´ de particular
importa\u2c6ncia na teoria de eletricidade e magnetismo.
Expresso\u2dces para o gradiente, rotacional e diverge\u2c6ncia em coordenadas cil´\u131ndricas e esfe´ricas
sa\u2dco apresentadas abaixo:
Coordenadas Cil´\u131ndricas
1Veja qualquer livro texto de ca´lculo avanc¸ado, por exemplo, A. E. Taylor, Advanced Calculus, Ginn,
Boston, 1955. Uma discussa\u2dco interessante dos crite´rios de conservac¸a\u2dco quando este campo conte´m singular-
idades foi feita por Feng na Amer. J. Phys. 37, 616 (1969).
3.7. CONDIC¸O\u2dcES PARA A EXISTE\u2c6NCIA DE UMA FUNC¸A\u2dcO POTENCIAL 81
Gradiente
~\u2207V = \u2202V
\u2202r
~eR +
1
R
\u2202V
\u2202\u3c6
~e\u3c6 +
\u2202V
\u2202z
~k
Rotacional
~\u2207× ~F =
(
1
R
\u2202Fz
\u2202\u3c6
\u2212 \u2202F\u3c6
\u2202z
)
~eR +
(
\u2202FR
\u2202z
\u2212 \u2202Fz
\u2202R
)
~e\u3c6 +
(
1
R
\u2202(RF\u3c6)
\u2202R
\u2212 1
R
\u2202FR
\u2202\u3c6
)
~k
Diverge\u2c6ncia
~\u2207 . ~F = 1
R
\u2202(RFR)
\u2202R
+
1
R
\u2202F\u3c6
\u2202\u3c6
+
\u2202Fz
\u2202z
Coordenadas Esfe´ricas
Gradiente
~\u2207V = \u2202V
\u2202r
~er +
1
r
\u2202V
\u2202\u3b8
~e\u3b8 +
1
r sen \u3b8
\u2202V
\u2202\u3c6
~e\u3c6
Rotacional
~\u2207× ~F = 1
r sen \u3b8
(
\u2202(F\u3c6 sen \u3b8)
\u2202\u3b8
\u2212 \u2202F\u3b8
\u2202\u3c6
)
~er +
1
r
(
1
sen \u3b8
\u2202Fr
\u2202\u3c6
\u2212 \u2202(rF\u3c6)
\u2202r
)
~e\u3b8 +
+
1
r
(
\u2202(rF\u3b8)
\u2202r
\u2212 \u2202Fr
\u2202\u3b8
)
~e\u3c6
Diverge\u2c6ncia
~\u2207 . ~F = 1
r2
\u2202(r2Fr)
\u2202r
+
1
r sen \u3b8
\u2202(sen \u3b8F\u3b8)
\u2202\u3b8
+
1
r sen \u3b8
\u2202F\u3c6
\u2202\u3c6
Exemplos
1. Encontre o campo de forc¸a da func¸a\u2dco potencial V = x2 + xy + xz. Aplicando o
operador del.
~F = \u2212~\u2207V = \u2212~\u131 (2x+ y + z)\u2212~\uf6bex\u2212 ~kx
2. O campo de forc¸a ~F =~\u131xy +~\uf6bexz + ~k yz e´ conservativo? O rotacional de ~F e´
~\u2207× ~F =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~\u131 ~\uf6be ~k
\u2202
\u2202x
\u2202
\u2202y
\u2202
\u2202z
xy xz yz
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 =~\u131 (z \u2212 x) +~\uf6be 0 + ~k (z \u2212 x)
A expressa\u2dco final na\u2dco e´ nula, logo o campo na\u2dco e´ conservativo.
3. Para que valores das constantes a, b e c a forc¸a ~F =~\u131 (ax+ by2) +~\uf6be cxy e´ conservativa?
Tomando o rotacional de ~F temos
~\u2207× ~F =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~\u131 ~\uf6be ~k
\u2202
\u2202x
\u2202
\u2202y
\u2202
\u2202z
ax+ by2 cxy 0
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = ~k (c\u2212 2b)y
82 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO GERAL DE UMA PARTI´CULA
O que mostra que a forc¸a sera´ conservativa se c = 2b. O resultado e´ independente do valor
de a.
4. Mostre que a lei de forc¸a inverso do quadrado em tre\u2c6s dimenso\u2dces ~F = \u2212K
r2
~er e´ conser-
vativa calculando o rotacional. Use coordenadas esfe´ricas.
O rotacional e´ dado na pa´gina anterior.
~\u2207× ~F = 1
r2 sen \u3b8
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~er ~e\u3b8r ~e\u3c6r sen \u3b8
\u2202
\u2202r
\u2202
\u2202\u3b8
\u2202
\u2202\u3c6
Fr rF\u3b8 rF\u3c6 sen \u3b8
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
Temos Fr = \u2212Kr2 , F\u3b8 = 0, F\u3c6 =). O rotacional se reduz enta\u2dco a
~\u2207× ~F = ~e\u3b8
r sen \u3b8
\u2202
\u2202\u3c6
(
\u2212K
r2
)
\u2212 ~e\u3c6
r
\u2202
\u2202\u3b8
(
\u2212K
r2
)
= 0
que, evidentemente, se anula porque ambas as derivadas parciais sa\u2dco nulas. Enta\u2dco a forc¸a
em questa\u2dco e´ conservativa.
3.8 Forc¸as do Tipo Separa´vel
Muitas vezes, escolhendo adequadamente o sistema de coordenadas as componentes de um
campo de forc¸a dependem apenas das coordenadas respectivas, isto e´
~F =~\u131Fx(x) +~\uf6beFy(y) + ~kFz(z) (3.17)
Forc¸as deste tipo sa\u2dco chamadas de separa´veis. Verificamos que o rotacional de tais forc¸as
e´ nulo e enta\u2dco, o campo e´ conservativo independentemente das formas particulares das
componentes de forc¸a desde que cada uma seja func¸a\u2dco apenas da coordenada envolvida.
A integrac¸a\u2dco das equac¸o\u2dces diferenciais do movimento e´ enta\u2dco muito simples, porque cada
equac¸a\u2dco componente e´ do tipo mx¨ = F (x). Nesse caso as equac¸o\u2dces podem ser resolvidas
pelos me´todos descritos no cap´\u131tulo anterior de movimento retil´\u131neo.
Se as componentes da forc¸a envolverem o tempo e a derivada das coordenadas com relac¸a\u2dco
ao tempo, enta\u2dco a forc¸a na\u2dco e´ mais necessariamente conservativa. Apesar disso, se a forc¸a for
separa´vel, enta\u2dco as componentes da equac¸a\u2dco do movimento sera\u2dco da forma mx¨ = F (x, x\u2d9, t) e
podem ser resolvidas pelos me´todos usados no cap´\u131tulo anterior. Alguns exemplos de forc¸as
separa´veis, conservativas e na\u2dco conservativas, sera\u2dco discutidos nas sec¸o\u2dces seguintes.
3.9 Movimento de um Proje´til em um Campo Gravi-
tacional Uniforme
Um dos mais famosos problemas cla´ssicos de dina\u2c6mica e´ o de movimento de um proje´til.