Apostila de Termodinâmica
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Apostila de Termodinâmica


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que esta forc¸a ~F e´ devida ao campo
ele´trico ~E que tem origem nestas outras cargas. Escrevemos
~F = q~E
onde q e´ a carga ele´trica da part´\u131cula em questa\u2dco. A equac¸a\u2dco de movimento da part´\u131cula e´
enta\u2dco
m
d2~r
dt2
= q~E (3.30)
ou, em componentes
mx¨ = qEx
my¨ = qEy
mz¨ = qEz
As componentes do campo sa\u2dco, em geral, func¸o\u2dces das coordenadas de posic¸a\u2dco x, y e z. No
caso de campos que variam com o tempo (isto e´, se as cargas que produzem ~E estiverem em
movimento) as componentes, evidentemente, tambe´m envolvera\u2dco t.
3.11. MOVIMENTO DE PARTI´CULAS CARREGADAS 91
Vamos considerar um caso simples, ou seja aquele de um campo ele´trico uniforme. Escol-
hemos um dos eixos, digamos o eixo z, na direc¸a\u2dco do campo. Enta\u2dco Ex = Ey = 0, e E = Ez.
As equac¸o\u2dces diferenciais do movimento de uma part´\u131cula carregada neste campo sa\u2dco
x¨ = 0 y¨ = 0 z¨ =
qE
m
= constante
Estas equac¸o\u2dces sa\u2dco identicas a`s equac¸o\u2dces para um proje´til em um campo gravitacional uni-
forme. A trajeto´ria, portanto, e´ uma para´bola.
Os livros textos de Eletromagnetismo mostram que
~\u2207× ~E = 0
se ~E for devido a cargas esta´ticas. Isto significa que o movimento em tal campo e´ conservativo,
e que existe uma func¸a\u2dco potencial \u3c6 onde ~E = \u2212~\u2207\u3c6. A energia potencial de uma part´\u131cula
de carga q neste campo e´ q\u3c6, e a energia total e´ constante e igual a 1
2
mv2 + q\u3c6.
Na presenc¸a de um campo magne´tico esta´tico (~B) a forc¸a atuante em uma carga mo´vel
e´ convenientemente expressa pelo produto vetorial
~F = q(~v × ~B) (3.31)
onde ~v e´ a velocidade e q e´ a carga. A equac¸a\u2dco diferencial do movimento de uma part´\u131cula
movendo-se em um campo puramente magne´tico e´ enta\u2dco
m
d2~r
dt2
= q(~v × ~B) (3.32)
Desta equac¸a\u2dco concluimos que a acelerac¸a\u2dco e´ sempre perpendicular a` direc¸a\u2dco do movimen-
to. Isto significa que a componente tangencial da acelerac¸a\u2dco (v\u2d9) e´ nula, e logo, a part´\u131cula
move-se com o mo´dulo da velocidade constante. Este fato e´ verdadeiro mesmo quando ~B e´
uma func¸a\u2dco dependente da posic¸a\u2dco ~r, desde que essa func¸a\u2dco na\u2dco varie com o tempo.
Exemplo
Vamos examinar o movimento de uma part´\u131cula carregada em um campo magne´tico
constante uniforme. Vamos escolher o eixo z na direc¸a\u2dco do campo, isto e´,
~B = ~kB
A equac¸a\u2dco diferencial do movimento e´
m
d2~r
dt2
= q(~v × ~B) = qB
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~\u131 ~\uf6be ~k
x\u2d9 y\u2d9 z\u2d9
0 0 1
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
m(~\u131 x¨+~\uf6be y¨ + ~k k¨) = qB(~\u131 y\u2d9 \u2212~\uf6be x\u2d9)
92 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO GERAL DE UMA PARTI´CULA
Igualando as componentes temos,
mx¨ = qBy\u2d9
my¨ = \u2212qBx\u2d9 (3.33)
z¨ = 0
Aqui, pela primeira vez, encontramos um conjunto de equac¸o\u2dces diferenciais que na\u2dco sa\u2dco do
tipo separa´veis. A soluc¸a\u2dco e´ relativamente simples, todavia, porque podemos integrar uma
u´nica vez no tempo e obter
mx\u2d9 = qBy + c1
my\u2d9 = \u2212qBx+ c2
z\u2d9 = constante = z\u2d90
ou
x\u2d9 = \u3c9y + C1 y\u2d9 = \u2212\u3c9x+ C2 z\u2d9 = z\u2d90 (3.34)
onde usamos a abreviac¸a\u2dco \u3c9 = qB/m. Os C\u2019s sa\u2dco constantes de integrac¸a\u2dco, e C1 = c1/m,
C2 = c2/m. Usando a expressa\u2dco de y\u2d9 da segunda das Equac¸o\u2dces (3.34), na primeira das
Equac¸o\u2dces (3.33), obtemos uma equac¸a\u2dco separada para x,
x¨+ \u3c92x = \u3c92a (3.35)
onde a = C2/\u3c9. A soluc¸a\u2dco e´
x = a+ A cos(\u3c9t+ \u3b80) (3.36)
onde A e \u3b80 sa\u2dco constantes de integrac¸a\u2dco. Diferenciando esta equac¸a\u2dco com relac¸a\u2dco ao tempo,
temos
x\u2d9 = \u2212A\u3c9 sen(\u3c9t+ \u3b80) (3.37)
Esta expressa\u2dco pode ser substituida no lado esquerdo da primeira das Equac¸o\u2dces (3.34) e a
equac¸a\u2dco resultante resolvida para y. O resultado e´
y = b\u2212 A sen(\u3c9t+ \u3b80) (3.38)
onde b = C1/\u3c9. Para encontrarmos a forma da trajeto´ria do movimento, eliminamos t entre
as Equac¸o\u2dces (3.36) e (3.38) para obter
(x\u2212 a)2 + (y \u2212 b)2 = A2 (3.39)
A projec¸a\u2dco da trajeto´ria do movimento no plano xy e´ um c´\u131rculo de raio A centrado
no ponto (a, b). Como da terceira equac¸a\u2dco (3.34) a velocidade na direc¸a\u2dco z e´ constante,
concluimos que a trajeto´ria e´ uma helico´ide. O eixo da he´lice coincide com a direc¸a\u2dco do campo
magne´tico, como pode ser visto na Figura 3.7. Derivando a Equac¸a\u2dco (3.38) encontramos
y\u2d9 = \u2212A\u3c9 cos(\u3c9t+ \u3b80) (3.40)
Eliminando o tempo das Equac¸o\u2dces (3.37) e (3.40) obtemos
x\u2d92 + y\u2d92 = A2\u3c92 = A2
(
qB
m
)2
(3.41)
3.12. MOVIMENTO VINCULADO DE UMA PARTI´CULA 93
z
x
y
B
Figura 3.7: Trajeto´ria helicoidal de uma part´\u131cula carregada movendo-se em um campo
magne´tico.
chamando v1 =
\u221a
x\u2d92 + y\u2d92, vemos que o raio A da he´lice fica
A =
v1
\u3c9
=
mv1
qB
(3.42)
Se a velocidade na\u2dco tiver componente na direc¸a\u2dco z, a trajeto´ria sera´ um c´\u131rculo de raio
A. Fica evidente que A e´ diretamente proporcional ao mo´dulo da velocidade v1, e que a
freque\u2c6ncia angular \u3c9 do movimento na trajeto´ria circular e´ independente da velocidade. \u3c9
e´ conhecida como a freque\u2c6ncia do c´\u131clotron. O c´\u131clotron, inventado por Ernest Laurence,
depende para sua operac¸a\u2dco do fato que \u3c9 e´ independente da velocidade.
3.12 Movimento Vinculado de uma Part´\u131cula
Quando uma part´\u131cula mo´vel estiver geometricamente presa no sentido de que devera´ per-
manecer em uma superf´\u131cie ou curva definida, diremos que o movimento e´ vinculado. Um
pedac¸o de gelo deslizando em uma superf´\u131cie curva, ou uma bolinha furada deslizando presa
em um arame, sa\u2dco exemplos de movimento vinculado. O v´\u131nculo pode ser completo, como
na bolinha ou pode ser parcial como no primeiro exemplo. V\u131´nculos podem ser fixos, ou
podem ser mo´veis. Neste cap´\u131tulo estudaremos apenas v´\u131nculos fixos.
A Equac¸a\u2dco de Energia para V\u131´nculos Lisos
A forc¸a resultante em uma part´\u131cula que se move sob a ac¸a\u2dco de um v´\u131nculo pode ser
expressa como a soma vetorial da forc¸a externa ~F e da forc¸a de v´\u131nculo ~R, onde ~R e´ a reac¸a\u2dco
do agente vinculador sobre a part´\u131cula. A equac¸a\u2dco de movimento pode ser escrita como
m
d~v
dt
= ~F + ~R (3.43)
94 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO GERAL DE UMA PARTI´CULA
Multiplicando escalarmente a equac¸a\u2dco acima por ~v, temos
m
d~v
dt
. ~v = ~F . ~v + ~R . ~v (3.44)
No caso de v´\u131nculo liso \u2013 por exemplo, uma superf´\u131cie sem atrito \u2013 a reac¸a\u2dco ~R e´ normal a`
superf´\u131cie ou curva enquanto a velocidade ~v e´ tangente a` superf´\u131cie. Logo, ~R e´ perpendicular
a ~v e o produto escalar ~R . ~v se anula. A Equac¸a\u2dco (3.44) se reduz portanto a:
d
dt
(
1
2
m~v . ~v
)
= ~F . ~v
Consequentemente, se ~F for conservativa, poderemos integrar como na Sec¸a\u2dco 3.5, e obteremos
a mesma relac¸a\u2dco de energia que a Equac¸a\u2dco (3.9), isto e´
1
2
mv2 + V (x, y, z) = constante = E
Enta\u2dco apesar de permanecer na superf´\u131cie ou na curva, a part´\u131cula move-se de modo a manter
a energia total constante. E´ claro que espera´vamos que isto acontecesse para v´\u131nculos sem
atrito.
Exemplo
Coloca-se uma part´\u131cula no to\u2c6po de uma esfera lisa de raio a. Se a part´\u131cula for ligeira-
mente perturbada, em que ponto ela abandonara´ a esfera?
As forc¸as atuantes na part´\u131cula sa\u2dco a forc¸a da gravidade, para baixo, e a reac¸a\u2dco ~R da
superf´\u131cie esfe´rica. A equac¸a\u2dco de movimento e´
m
d~v
dt
= m~g + ~R
Vamos escolher eixos coordenados como os mostrados na Figura 3.8. A energia potencial e´
enta\u2dco mgz, e a equac¸a\u2dco da energia e´
1
2
mv2 +mgz = E
Usando as condic¸o\u2dces iniciais (v = 0 para z = a) encontramos E = mga, logo, quando a
part´\u131cula desliza, sua velocidade e´ dada por
v2 = 2g(a\u2212 z)
Tomando a componente radial da equac¸a\u2dco do movimento, podemos escrever a equac¸a\u2dco de
forc¸a assim
\u2212mv
2
a
= \u2212mg cos \u3b8 +R = \u2212mgz
a
+R
Enta\u2dco
R = mg
z
a
\u2212 mv
2
a
= mg
z
a
\u2212 m
a
2g(a\u2212 z) = mg
a
(3z \u2212 2a)
3.12. MOVIMENTO VINCULADO DE UMA PARTI´CULA 95
R
m g
y
z
a
\u3b8
Figura 3.8: Forc¸as atuantes em uma part´\u131cula que desliza em uma esfera lisa.
Logo R se anula quando z = 2
3
a e neste ponto a part´\u131cula abandona a esfera. Isto poderia
tambe´m