Apostila de Termodinâmica
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Apostila de Termodinâmica


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de ine´rcia do mesmo disco, relativo a um eixo paralelo ao seu plano, tangente
a` borda.
Raio de Girac¸a\u2dco
5.5. O PE\u2c6NDULO FI´SICO 143
Com diversos propo´sitos, e´ conveniente se expressar o momento de ine´rcia de um corpo
r´\u131gido em termos da dista\u2c6ncia K denominada raio de girac¸a\u2dco, onde k e´ definido pela equac¸a\u2dco
I = mk2 ou k =
\u221a
I
m
(5.43)
Por exemplo, o raio de girac¸a\u2dco de uma barra fina, relativo a um eixo perpendicular que passa
por uma extremidade (veja a Equac¸a\u2dco 7.30) e´
k =
\u221a
1
3
ma2
m
=
a\u221a
3
Os momentos de ine´rcia de va´rios objetos podem ser tabelados simplesmente atrave´s dos
quadrados de seus raios de girac¸a\u2dco.
5.5 O Pe\u2c6ndulo F´\u131sico
Um corpo r´\u131gido que esta´ livre para oscilar, sob ac¸a\u2dco de seu pro´prio peso, em relac¸a\u2dco a um
eixo horizontal fixo e´ denominado pe\u2c6ndulo f´\u131sico ou pe\u2c6ndulo composto. Um pe\u2c6ndulo
f´\u131sico e´ mostrado na Figura 5.10 onde O representa a localizac¸a\u2dco do eixo de rotac¸a\u2dco, e cm e´
o centro de massa. A dista\u2c6ncia entre O e cm e´ l como pode ser visto.
Representando o a\u2c6ngulo entre a linha Ocm e a vertical OA por \u3b8, o momento da forc¸a
gravitacional (atuante no cm) relativo ao eixo de rotac¸a\u2dco tem mo´dulo
mgl sen \u3b8
A equac¸a\u2dco fundamental de movimento
N = I\u3c9\u2d9
pode enta\u2dco tomar a forma
\u2212mgl sen \u3b8 = I\u3b8¨
ou
\u3b8¨ +
mgl
I
sen \u3b8 = 0 (5.44)
A equac¸a\u2dco acima e´ formalmente ide\u2c6ntica a` equac¸a\u2dco do movimento de um pe\u2c6ndulo simples.
Para pequenas oscilac¸o\u2dces, como no caso do pe\u2c6ndulo simples, podemos substituir sen \u3b8 por \u3b8
\u3b8¨ +
mgl
I
\u3b8 = 0 (5.45)
A soluc¸a\u2dco e´
\u3b8 = \u3b80 cos(2pift+ \ufffd) (5.46)
onde \u3b80 e´ a amplitude e \ufffd e´ o a\u2c6ngulo de fase. A freque\u2c6ncia da oscilac¸a\u2dco f e´ dada por
f =
1
2pi
\u221a
mgl
I
(5.47)
144 CAPI´TULO 5. MECA\u2c6NICA DOS CORPOS RI´GIDOS
\u3b8
eixo
O
cm
O\u2019mg
A
Figura 5.10: O pe\u2c6ndulo f´\u131sico.
O per´\u131odo T e´ portanto
T = 2pi
\u221a
I
mgl
(5.48)
(Para evitar confusa\u2dco, na\u2dco usaremos um s´\u131mbolo espec´\u131fico para representar a freque\u2c6ncia
angular cujo valor e´ dado pelo produto 2pif). A expressa\u2dco do per´\u131odo em termos do raio de
girac¸a\u2dco k e´
T = 2pi
\u221a
k2
gl
(5.49)
Desta forma, vemos que o per´\u131odo de um pe\u2c6ndulo composto e´ igual ao de um pe\u2c6ndulo
simples de comprimento k2/l. Como exemplo, podemos analisar o caso de uma barra fina e
uniforme de comprimento a oscilando em torno de um de seus extremos (k2 = a2/3). Seu
per´\u131odo e´
T = 2pi
\u221a
2a
3g
Centro de Oscilac¸a\u2dco
Usando o teorema dos eixos paralelos, podemos expressar o raio de girac¸a\u2dco k em termos
do raio de girac¸a\u2dco relativo ao centro de massa kcm
I = Icm +ml
2
ou
mk2 = mk2cm +ml
2
Cancelando as massas
k2 = k2cm + l
2 (5.50)
A Equac¸a\u2dco (5.50) pode enta\u2dco ser escrita
T = 2pi
\u221a
k2cm + l
2
gl
(5.51)
5.6. TEOREMA GERAL RELATIVO AO MOMENTUM ANGULAR 145
Suponha que o eixo de rotac¸a\u2dco de um pe\u2c6ndulo f´\u131sico seja transferido para a posic¸a\u2dco O\u2032
a` dista\u2c6ncia l\u2032 do centro de massa, como mostra a Figura 5.10. O per´\u131odo da oscilac¸a\u2dco T \u2032
relativo ao novo eixo e´ dado por
T \u2032 = 2pi
\u221a
k2cm + l
\u20322
gl\u2032
(5.52)
Segue-se que os per´\u131odos de oscilac¸a\u2dco em torno de O e em torno de O\u2032 sera\u2dco iguais se
k2cm + l
2
gl
=
k2cm + l
\u20322
gl\u2032
que se reduz a
ll\u2032 = k2cm (5.53)
O ponto O\u2032 e´ denominado centro de oscilac¸a\u2dco do ponto O. E´ claro que O tambe´m e´ centro
de oscilac¸a\u2dco do ponto O\u2032. Desta maneira, em torno de uma extremidade de uma barra temos
k2cm = a
2/12 e i l = a/2. Usando a Equac¸a\u2dco (5.53) encontramos l\u2032 = a/6 e portanto a
barra tera´ o mesmo per´\u131odo quando o eixo for transferido da extremidade para a posic¸a\u2dco O\u2032
situada a` dista\u2c6ncia a/6 do seu centro.
5.6 Teorema Geral Relativo ao Momentum Angular
Com o objetivo de se estudar o caso mais geral do movimento de um corpo r´\u131gido, no qual
o eixo de rotac¸a\u2dco na\u2dco e´ fixo, precisamos desenvolver um teorema fundamental relativo ao
momentum angular. Como vimos na Sec¸a\u2dco 4.2, a taxa de variac¸a\u2dco temporal do momentum
angular de qualquer sistema e´ igual ao torque aplicado
d~L
dt
= ~N (5.54)
ou explicitamente
d
dt
\u2211
i
(~ri ×mi~vi) =
\u2211
i
(~ri × ~Fi) (5.55)
Nas equac¸o\u2dces acima, todas as quantidades se referem a um sistema inercial de coordenadas.
Agora vamos introduzir o centro de massa para expressar o vetor posic¸a\u2dco de cada part´\u131cula
~ri em termos da posic¸a\u2dco do centro de massa ~rcm e do vetor posic¸a\u2dco da part´\u131cula i em relac¸a\u2dco
ao centro de massa ~ri (como na Sec¸a\u2dco 4.3)
~ri =~rcm +~ri
e
~vi = ~vcm + ~vi
A Equac¸a\u2dco (5.55) fica
d
dt
\u2211
i
[
(~rcm +~ri)×mi(~vcm + ~vi)
]
=
\u2211
i
(~rcm +~ri)× ~Fi (5.56)
146 CAPI´TULO 5. MECA\u2c6NICA DOS CORPOS RI´GIDOS
Desenvolvendo esta expressa\u2dco e usando o fato de que tanto
\u2211
mi~ri quanto
\u2211
mi~vi sa\u2dco nulas,
podemos reduzir a Equac¸a\u2dco (5.56) a
~rcm ×
\u2211
mi~acm +
d
dt
\u2211
~ri ×mi~vi =~rcm ×
\u2211
~Fi +
\u2211
~ri × ~Fi (5.57)
onde ~acm = ~\u2d9vcm.
Na Sec¸a\u2dco 4.1 mostramos que a translac¸a\u2dco do centro de massa de qualquer sistema de
part´\u131culas obedece a` equac¸a\u2dco \u2211
i
~Fi =
\u2211
i
mi~ai = m~acm (5.58)
Consequentemente o primeiro termo a` esquerda da Equac¸a\u2dco (5.57) cancela-se com o primeiro
termo a` direita. O resultado final e´
d
dt
\u2211
i
~ri ×mi~vi =
\u2211
i
~ri × ~Fi (5.59)
A soma a` esquerda na equac¸a\u2dco acima e´ exatamente o momentum angular do sistema
e a soma a` direita e´ o momento total das forc¸as externas relativo ao centro de massa.
Representando estas quantidades por ~L e ~N, respectivamente, temos
d~L
dt
= ~N (5.60)
Este resultado estabelece que a taxa de variac¸a\u2dco temporal do momentum angular relativo
ao centro de massa de qualquer sistema e´ igual ao momento total das forc¸as externas relativo
ao centro de massa. Isto e´ verdadeiro mesmo que o centro de massa esteja se acelerando. Se
tomarmos qualquer outro ponto ale´m do centro de massa como ponto de refere\u2c6ncia, enta\u2dco
tal ponto precisa estar em repouso em um sistema de refere\u2c6ncia inercial (exceto para certos
casos especiais para os quais na\u2dco vamos nos reter em discussa\u2dco).
Um exemplo do uso deste teorema e´ dado na Sec¸a\u2dco 5.8.
5.7 Movimento Laminar de um Corpo R\u131´gido
Se o movimento do corpo ocorre de modo que todas as suas part´\u131culas se deslocam parale-
lamente a um determinado plano fixo, enta\u2dco este movimento e´ denominado laminar. No
movimento laminar, o eixo de rotac¸a\u2dco pode mudar de posic¸a\u2dco mas na\u2dco muda de direc¸a\u2dco. A
rotac¸a\u2dco em torno de um eixo fixo e´ um caso especial de movimento laminar. Outro exemplo
e´ o de cilindro que rola sobre um determinado plano.
Se um corpo possui um deslocamento laminar, tal deslocamento pode ser especificado
como se segue.
Escolhemos um ponto de refere\u2c6ncia no corpo, por exemplo, o centro de massa; o ponto
em questa\u2dco se desloca de \u2206~r, ao mesmo tempo o corpo gira em relac¸a\u2dco ao ponto de refere\u2c6ncia
de um a\u2c6ngulo \u2206\u3c6. E´ claro que qualquer deslocamento laminar pode ser especificado desta
maneira. Consequentemente, o movimento laminar pode ser especificado conhecendo-se a
5.8. CORPO ROLANDO EM UM PLANO INCLINADO 147
velocidade translacional de um ponto de refere\u2c6ncia adequado, juntamente com a velocidade
angular.
A equac¸a\u2dco fundamental que governa a translac¸a\u2dco de um corpo r´\u131gido e´
~F = m~¨rcm = m~\u2d9vcm = m~acm (5.61)
onde ~F representa a soma de todas as forc¸as externas que agem sobre o corpo, m e´ a massa
e ~acm a acelerac¸a\u2dco do centro de massa.
A aplicac¸a\u2dco da Equac¸a\u2dco (5.25) ao caso de um movimento laminar de um corpo r´\u131gido nos
fornece
L = Icm\u3c9 (5.62)
para o mo´dulo do momentum angular relativo a um eixo C que passa atrave´s do centro de
massa, onde \u3c9 e´ a velocidade angular da rotac¸a\u2dco em torno desse eixo.
A equac¸a\u2dco fundamental que governa a rotac¸a\u2dco do corpo, Equac¸a\u2dco (5.60), fica