Apostila de Termodinâmica
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Apostila de Termodinâmica


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de que a troca de termos de duas linhas
ou de duas colunas muda o sinal mas na\u2dco muda o valor absoluto do determinante, podemos
obter a seguinte expressa\u2dco bastante u´til:
~A . (~B× ~C) = (~A× ~B) . ~C (1.22)
A expressa\u2dco
~A× (~B× ~C)
e´ chamada Triplo Produto Vetorial. Deixamos o leitor provar que a seguinte equac¸a\u2dco e´ va´lida
para o triplo produto vetorial
~A× (~B× ~C) = (~A . ~C)~B\u2212 (~A . ~B)~C (1.23)
1.15 Mudanc¸a de Sistema de Coordenadas. A Matriz
Transformac¸a\u2dco
Consideremos o vetor ~A representado pela tr´\u131ade~\u131 ~\uf6be ~k,
~A =~\u131Ax +~\uf6beAy + ~kAz
relativamente a uma nova tr´\u131ade ~\u131\u2032 ~\uf6be\u2032 ~k\u2032 tendo orientac¸a\u2dco diferente daquela de~\u131~\uf6be ~k, o mesmo
vetor ~A e´ representado por
~A = ~\u131\u2032Ax\u2032 + ~\uf6be\u2032Ay\u2032 + ~k\u2032Az\u2032
Mas o produto escalar ~A . ~\u131\u2032 e´ exatamente Ax\u2032 , isto e´, a projec¸a\u2dco de ~A no vetor unita´rio ~\u131\u2032.
Enta\u2dco podemos escrever
Ax\u2032 = ~A . ~\u131\u2032 = (~\u131 . ~\u131\u2032)Ax + (~\uf6be . ~\u131\u2032)Ay + (~k . ~\u131\u2032)Az
Ay\u2032 = ~A . ~\uf6be\u2032 = (~\u131 . ~\uf6be\u2032)Ax + (~\uf6be . ~\uf6be\u2032)Ay + (~k . ~\uf6be\u2032)Az (1.24)
Az\u2032 = ~A .
~k\u2032 = (~\u131 . ~k\u2032)Ax + (~\uf6be . ~k
\u2032)Ay + (~k . ~k
\u2032)Az
Os produtos escalares (~\u131 . ~\u131\u2032), (~\u131 . ~\uf6be\u2032), e os demais, sa\u2dco chamados de coeficientes de transfor-
mac¸a\u2dco. Eles sa\u2dco iguais aos cossenos diretores dos eixos do sistema de coordenadas com linha
relativamente ao sistema sem linha. Podemos expressar as componentes sem linha da mesma
forma como,
Ax = ~A . ~\u131 = (~\u131\u2032 . ~\u131)Ax\u2032 + (~\uf6be\u2032 . ~\u131)Ay\u2032 + (~k
\u2032 . ~\u131)Az\u2032
Ay = ~A . ~\uf6be = (~\u131\u2032 . ~\uf6be)Ax\u2032 + (~\uf6be\u2032 . ~\uf6be)Ay\u2032 + (~k
\u2032 . ~\uf6be)Az\u2032 (1.25)
Az = ~A . ~k = (~\u131\u2032 . ~k)Ax\u2032 + (~\uf6be\u2032 . ~k)Ay\u2032 + (~k
\u2032 . ~k)Az\u2032
Todos os coeficientes de transformac¸a\u2dco na Equac¸a\u2dco (1.25) tambe´m aparecem na Equac¸a\u2dco
(1.24), porque ~\u131 . ~\u131\u2032 = ~\u131\u2032 . ~\u131, etc., mas aqueles nas linhas (equac¸o\u2dces) das Equac¸o\u2dces (1.25)
1.15. MUDANC¸A DE SISTEMA DE COORDENADAS 17
aparecem nas colunas de termos nas Equac¸o\u2dces (1.24) e ao contra´rio. As regras de trans-
formac¸a\u2dco expressas nestes dois conjuntos de equac¸o\u2dces sa\u2dco propriedades gerais de vetores. Na
verdade, elas constituem uma maneira alternativa de se definir vetores1.
As equac¸o\u2dces de transformac¸a\u2dco sa\u2dco convenientemente expressa em notac¸a\u2dco Matricial.
Enta\u2dco a Equac¸a\u2dco (1.24) e´ escrita
\uf8eb\uf8ec\uf8ed Ax\u2032Ay\u2032
Az\u2032
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
~\u131 . ~\u131\u2032 ~\uf6be . ~\u131\u2032 ~k . ~\u131\u2032
~\u131 . ~\uf6be\u2032 ~\uf6be . ~\uf6be\u2032 ~k . ~\uf6be\u2032
~\u131 . ~k\u2032 ~\uf6be . ~k\u2032 ~k . ~k\u2032
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8eb\uf8ec\uf8ed AxAy
Az
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 (1.26)
A matriz 3 × 3 na equac¸a\u2dco acima e´ chamada a matriz transformac¸a\u2dco. Uma vantagem da
notac¸a\u2dco matricial e´ que transformac¸o\u2dces sucessivas sa\u2dco prontamente executadas por meio de
multiplicac¸a\u2dco de matrizes.
O leitor observara´ que a aplicac¸a\u2dco de uma dada matriz transformac¸a\u2dco em um certo vetor
~A e´ tambe´m equivalente formalmente a girar aquele vetor dentro do sistema de coordenadas
(fixo) sem linha, as componentes do vetor girado sendo aquelas dadas pela Equac¸a\u2dco (1.26).
Enta\u2dco rotac¸o\u2dces finitas podem ser representadas por matrizes. (Observe que o sentido de
rotac¸a\u2dco do vetor neste contexto e´ o oposto do sentido de rotac¸a\u2dco do sistema de coordenadas
no contexto anterior.
Exemplos
1. Escreva o vetor ~A = 3~\u131 + 2~\uf6be + ~k em termos da tr´\u131ade ~\u131\u2032~\uf6be\u2032~k\u2032 onde os eixos x\u2032y\u2032 esta\u2dco
girados de 45\u25e6 em torno do eixo z. z e z\u2032 sa\u2dco eixos coincidentes, como mostra a Figura 1.10.
Baseando-nos na figura, temos para os coeficientes de transformac¸a\u2dco
~\u131 . ~\u131\u2032 = 1/
\u221a
2 ~\uf6be . ~\u131\u2032 = 1/
\u221a
2 ~k . ~\u131\u2032 = 0
~\u131 . ~\uf6be\u2032 = \u22121/\u221a2 ~\uf6be . ~\uf6be\u2032 = 1/\u221a2 ~k . ~\uf6be\u2032 = 0
~\u131 . ~k\u2032 = 0 ~\uf6be . ~k\u2032 = 0 ~k . ~k\u2032 = 1
Destas relac¸o\u2dces tiramos
Ax\u2032 =
3\u221a
2
+
2\u221a
2
=
5\u221a
2
Ay\u2032 = \u2212 3\u221a
2
+
2\u221a
2
= \u2212 1\u221a
2
Az\u2032 = 1
Enta\u2dco, no sistema linha, o vetor ~A e´ dado por
~A =
5\u221a
2
~\u131\u2032 \u2212 1\u221a
2
~\uf6be\u2032 + k\u2032
2. Encontre a matriz transformac¸a\u2dco para uma rotac¸a\u2dco do sistema de coordenadas linha de
um a\u2c6ngulo \u3c6 em torno do eixo z.
1Veja, por exemplo, L.P. Smith, Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, N.J., 1953.
18 CAPI´TULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS
45
45
O
z,z\u2019
o
o
x
x\u2019
y
y\u2019
Figura 1.10: O eixo linha O\u2032x\u2032y\u2032z\u2032 esta\u2dco girados de 45\u25e6 em torno do eixo z.
(O exemplo anterior e´ um caso especial deste). Temos
~\u131 . ~\u131\u2032 =~\uf6be . ~\uf6be\u2032 = cos\u3c6
~\uf6be . ~\u131\u2032 = \u2212~\u131 . ~\uf6be\u2032 = sen\u3c6
~k . ~k\u2032 = 1
e todos os outros produtos sa\u2dco nulos. Enta\u2dco a matriz transformac¸a\u2dco e´\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
cos\u3c6 sen\u3c6 0
\u2212 sen\u3c6 cos\u3c6 0
0 0 1
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
E´ evidente a partir do exemplo acima que a matriz transformac¸a\u2dco para a rotac¸a\u2dco em torno
de um eixo coordenado diferente, digamos em torno do eixo y de um a\u2c6ngulo \u3b8, sera´ dado
pela matriz \u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
cos \u3b8 0 \u2212 sen \u3b8
0 1 0
sen \u3b8 0 cos \u3b8
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
Consequentemente a matriz para a combinac¸a\u2dco de duas rotac¸o\u2dces, a primeira sendo em torno
do eixo z (a\u2c6ngulo \u3c6) e a segunda sendo em torno do novo eixo y\u2032 (a\u2c6ngulo \u3b8) e´ dada pelo
produto matricial\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
cos \u3b8 0 \u2212 sen \u3b8
0 1 0
sen \u3b8 0 cos \u3b8
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
cos\u3c6 sen\u3c6 0
\u2212 sen\u3c6 cos\u3c6 0
0 0 1
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
cos \u3b8 cos\u3c6 cos \u3b8 sen\u3c6 \u2212 sen \u3b8
\u2212 sen\u3c6 cos\u3c6 0
sen \u3b8 cos\u3c6 sen \u3b8 sen\u3c6 cos \u3b8
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
A multiplicac¸a\u2dco matricial e´, em geral, na\u2dco comutativa. Enta\u2dco podemos esperar que se
a ordem das rotac¸o\u2dces forem trocadas, e dessa maneira a ordem da multiplicac¸a\u2dco matricial
na esquerda, o resultado final sera´ diferente. Isto e´ verdade e o leitor podera´ verificar. Isto
esta´ de acordo com uma observac¸a\u2dco feita anteriormente, ou seja, de que rotac¸o\u2dces finitas na\u2dco
obedecem a lei de adic¸a\u2dco vetorial e dessa maneira na\u2dco sa\u2dco vetores apesar de uma rotac¸a\u2dco
1.16. DERIVADA DE UM VETOR 19
u´nica ter uma direc¸a\u2dco e sentido (o eixo) e um mo´dulo (o a\u2c6ngulo da rotac¸a\u2dco). Todavia,
mostraremos mais tarde que rotac¸o\u2dces infinitesimais obedecem a lei da adic¸a\u2dco vetorial, e
podem ser representadas por vetores.
1.16 Derivada de um Vetor
Consideremos um vetor ~A cujas componentes sa\u2dco func¸o\u2dces de uma u´nica varia´vel u. O vetor
pode representar posic¸a\u2dco, velocidade, e assim por diante. O para\u2c6metro u e´ normalmente o
tempo t, mas pode ser qualquer quantidade que determina as componentes de ~A:
~A =~\u131Ax(u) +~\uf6beAy(u) + ~kAz(u)
A derivada de ~A com respeito a u e´ definida, de uma maneira bastante ana´loga a` derivada
ordina´ria de uma func¸a\u2dco escalar, pelo limite
d~A
du
= lim
\u2206u\u21920
\u2206~A
\u2206u
= lim
\u2206u\u21920
(
~\u131
\u2206Ax
\u2206u
+~\uf6be
\u2206Ay
\u2206u
+ ~k
\u2206Az
\u2206u
)
onde \u2206Ax = Ax(u+ \u2206u)\u2212 Ax(u), e assim por diante. Logo
d~A
du
=~\u131
dAx
du
+~\uf6be
dAy
du
+ ~k
dAz
du
(1.27)
A derivada de um vetor, desse modo, e´ um vetor cujas componentes sa\u2dco derivadas ordina´rias.
Segue-se das equac¸o\u2dces acima que a derivada de uma soma de dois vetores e´ igual a` soma
das derivadas, ou seja
d
du
(~A + ~B) =
d~A
du
+
d~B
du
(1.28)
Regras para diferenciar produtos vetoriais sera\u2dco tratadas mais tarde na Sec¸a\u2dco 1.22.
1.17 Vetor Posic¸a\u2dco de uma Part´\u131cula
Em um dado sistema de refere\u2c6ncia a posic¸a\u2dco de uma part´\u131cula pode ser especificada por um
u´nico vetor, ou seja, o deslocamento da part´\u131cula em relac¸a\u2dco a` origem do sistema de coorde-
nadas. Este vetor e´ chamado de vetor posic¸a\u2dco da part´\u131cula. Em coordenadas retangulares,
Figura 1.11, o vetor posic¸a\u2dco e´ simplesmente
~r =~\u131x+~\uf6be y + ~k z
As componentes do vetor posic¸a\u2dco de uma part´\u131cula em movimento sa\u2dco func¸o\u2dces do tempo, ou
seja
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
20 CAPI´TULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS
x
r
ix jy
kz
y
z
O
Figura 1.11: O vetor posic¸a\u2dco.
1.18 O Vetor Velocidade
Na Equac¸a\u2dco (1.27) demos a definic¸a\u2dco formal da derivada de qualquer vetor em relac¸a\u2dco a
algum para\u2c6metro. Em particular, se o vetor for o vetor posic¸a\u2dco ~r de uma part´\u131cula em
movimento e o para\u2c6metro for o tempo t, a derivada de ~r relativamente a t sera´ chamada de
velocidade, que representaremos por ~v. Logo
~v =
d~r
dt
=~\u131 x\u2d9+~\uf6be y\u2d9 + ~k z\u2d9 (1.29)
Onde os pontos indicam diferenciac¸a\u2dco em relac¸a\u2dco a t.