Apostila de Termodinâmica
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Apostila de Termodinâmica


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\u2206u)\u2212 n(u)~A(u)
\u2206u
d(~A . ~B)
du
= lim
\u2206u\u21920
~A(u+ \u2206u) . ~B(u+ \u2206u)\u2212 ~A(u) . ~B(u)
\u2206u
26 CAPI´TULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS
d(~A× ~B)
du
= lim
\u2206u\u21920
~A(u+ \u2206u)× ~B(u+ \u2206u)\u2212 ~A(u) . ~B(u)
\u2206u
Adicionando-se e subtraindo-se expresso\u2dces como n(u + \u2206u)~A(u) aos numeradores, obtemos
as seguintes regras:
d(n~A)
du
=
dn
du
~A + n
d~A
du
(1.34)
d(~A . ~B)
du
=
d~A
du
. ~B + ~A .
d~B
du
(1.35)
d(~A× ~B)
du
=
d~A
du
× ~B + ~A× d
~B
du
(1.36)
Observemos que e´ necessa´rio preservar a ordem dos termos na derivada do produto ve-
torial. As etapas sa\u2dco deixadas como exerc´\u131cio para o leitor.
1.23 Componentes Normal e Tangencial da Acelerac¸a\u2dco
Mostrou-se na Sec¸a\u2dco 1.13 que qualquer vetor pode ser expresso como o produto de seu mo´dulo
por um vetor unita´rio de direc¸a\u2dco ide\u2c6ntica a este. Dessa maneira, o vetor velocidade de uma
part´\u131cula em movimento pode ser escrito como o produto do mo´dulo dessa velocidade v por
um vetor unita´rio que da´ a direc¸a\u2dco do movimento da part´\u131cula. Logo
~v = v~\u3c4 (1.37)
O vetor ~\u3c4 e´ chamado de vetor unita´rio tangente. A proporc¸a\u2dco que a part´\u131cula se move o
mo´dulo da velocidade pode mudar e a direc¸a\u2dco de ~\u3c4 pode mudar. Vamos usar a regra para
diferenciac¸a\u2dco de produto de um escalar por um vetor para obter a acelerac¸a\u2dco. O resultado e´
~a =
d~v
dt
=
d(v~\u3c4)
dt
= v\u2d9~\u3c4 + v
d~\u3c4
dt
(1.38)
O vetor unita´rio ~\u3c4 , sendo de mo´dulo constante, tem uma derivada d~\u3c4/dt que necessariamen-
te deve expressar a mudanc¸a na direc¸a\u2dco de ~\u3c4 com o tempo. Isto esta´ ilustrado na Figura
1.17(a). A part´\u131cula esta´ inicialmente em um ponto P qualquer de sua trajeto´ria.
Em um intervalo de tempo \u2206t a part´\u131cula move-se para outro ponto P \u2032 distante \u2206s
medido ao longo da trajeto´ria. Vamos chamar os vetores unita´rios tangentes em P e P \u2032 de ~\u3c4
e ~\u3c4 \u2032, respectivamente, como mostrado. As direc¸o\u2dces destes dois vetores diferem de um certo
a\u2c6ngulo \u2206\u3c6 como mostrado na Figura 1.17(b).
E´ fa´cil ver que para pequenos valores de \u2206\u3c6, a diferenc¸a \u2206~\u3c4 se aproxima de \u2206\u3c6 em
grandeza. Tambe´m, a direc¸a\u2dco de \u2206~\u3c4 torna-se perpendicular a` direc¸a\u2dco ~\u3c4 no limite quando
\u2206\u3c6 e \u2206s se aproximam de zero. Segue-se que a derivada d~\u3c4/d\u3c6 tem mo´dulo unita´rio e e´
perpendicular a ~\u3c4 . Deveremos enta\u2dco chama´-lo de vetor unita´rio normal e representa´-lo por
~n
d~\u3c4
d\u3c6
= ~n (1.39)
1.23. COMPONENTES NORMAL E TANGENCIAL DA ACELERAC¸A\u2dcO 27
\u3c4\u2019
\u3c4\u2019
\u2206S
\u2206\u3c6
(a) (b)
n
n\u2019
\u2206\u3c6
\u3c4
\u3c4
\u2206\u3c4
P
C
\u3c1
P\u2019
Figura 1.17: Vetores unita´rios tangente e normal.
A seguir, para encontrar a derivada de ~\u3c4 em relac¸a\u2dco ao tempo d~\u3c4/dt, usamos a regra da
cadeia como segue
d~\u3c4
dt
=
d~\u3c4
d\u3c6
d\u3c6
dt
= ~n
d\u3c6
ds
ds
dt
= ~n
v
\u3c1
onde
\u3c1 =
ds
d\u3c6
e´ o raio de curvatura da trajeto´ria da part´\u131cula no ponto P . O valor acima para d~\u3c4/dt e´
agora levado na Equac¸a\u2dco (1.38) para nos dar o resultado final
~a = v\u2d9~\u3c4 +
v2
\u3c1
~n (1.40)
Enta\u2dco a acelerac¸a\u2dco de uma part´\u131cula em movimento tem uma componente de mo´dulo
a\u3c4 = v\u2d9 = s¨
na direc¸a\u2dco do movimento. Esta e´ a acelerac¸a\u2dco tangencial. A outra componente de mo´dulo
an =
v2
\u3c1
e´ a componente normal. Esta componente esta´ sempre apontando diretamente para o cen-
tro de curvatura no lado co\u2c6ncavo da trajeto´ria. Por isso a componente normal e´ tambe´m
chamada de acelerac¸a\u2dco centr´\u131peta.
28 CAPI´TULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS
an
a\u3c4
O O
PP
a
a
(a) (b)
Figura 1.18: Vetores acelerac¸a\u2dco para uma part´\u131cula se movendo numa trajeto´ria circular.
(a) velocidade constante; (b) velocidade aumentando.
Das considerac¸o\u2dces acima vemos que a derivada relativa ao tempo do mo´dulo da velocidade
e´ apenas a componente tangencial da acelerac¸a\u2dco. O mo´dulo da acelerac¸a\u2dco total e´ dado por
|~a| =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223d~vdt
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 =
\u221a
v\u2d92 +
v4
\u3c12
(1.41)
Por exemplo, se uma part´\u131cula move-se num c´\u131rculo com velocidade constante v, o vetor
acelerac¸a\u2dco tem mo´dulo v
2
R0
onde R0 e´ o raio do c´\u131rculo. O vetor acelerac¸a\u2dco aponta sempre
para o centro do c´\u131rculo nesse caso. Todavia, se o mo´dulo da velocidade na\u2dco e´ constante
mas aumenta numa taxa v\u2d9, enta\u2dco a acelerac¸a\u2dco tem uma componente para a frente desta
quantidade e e´ desviada do centro do c´\u131rculo para o lado do movimento, como ilustrado na
Figura 1.18. Se a part´\u131cula esta´ parando, enta\u2dco o vetor acelerac¸a\u2dco e´ desviado na direc¸a\u2dco
oposta.
1.24 Velocidade e Acelerac¸a\u2dco em Coordenadas Polares
Planas
Muitas vezes e´ conveniente usar coordenadas polares (r, \u3b8) para expressar a posic¸a\u2dco de uma
part´\u131cula que se move em um plano. Vetorialmente, a posic¸a\u2dco da part´\u131cula pode ser escrita
como o produto da dista\u2c6ncia radial r por um vetor unita´rio radial ~er:
~r = r~er (1.42)
Quando a part´\u131cula se move, ambos r e ~er variam, pois ambos sa\u2dco func¸o\u2dces do tempo. Dessa
maneira, se derivarmos em relac¸a\u2dco ao tempo, teremos
~v =
d~r
dt
= r\u2d9~er + r
d~er
dt
(1.43)
Para calcular a derivada d~er/dt vamos considerar o diagrama vetorial na Figura 1.19. Um
estudo da figura mostra que quando a direc¸a\u2dco de ~r varia de uma quantidade \u2206\u3b8, a mudanc¸a
1.24. VELOCIDADE E ACELERAC¸A\u2dcO EM COORDENADAS POLARES PLANAS 29
correspondente \u2206~er no vetor radial unita´rio sera´ obtido da seguinte maneira: o mo´dulo
|\u2206~er| e´ aproximadamente igual a \u2206\u3b8, e a direc¸a\u2dco de \u2206~er e´ quase perpendicular a ~er. Vamos
introduzir outro vetor unita´rio ~e\u3b8 cuja direc¸a\u2dco e´ perpendicular a ~er. Enta\u2dco temos
\u2206~er = ~e\u3b8\u2206\u3b8
Dividindo-se por \u2206t e tomando-se o limite, obtemos
d~er
dt
= ~e\u3b8
d\u3b8
dt
(1.44)
para a derivada em relac¸a\u2dco ao tempo do vetor radial unita´rio. Da mesma forma, podemos
argumentar que a mudanc¸a no vetor ~e\u3b8 e´ dado pela aproximac¸a\u2dco
\u2206~e\u3b8 = \u2212~er\u2206\u3b8
Aqui o sinal negativo e´ colocado para indicar que a direc¸a\u2dco da variac¸a\u2dco \u2206~e\u3b8 e´ oposto a`
direc¸a\u2dco de ~er, como pode ser visto na figura. Consequentemente, a derivada temporal de ~e\u3b8
e´ dada por
d~e\u3b8
dt
= \u2212~er d\u3b8
dt
(1.45)
e\u3b8
e\u3b8
er er
er\u2206
e\u3b8\u2206
O x
y
\u3b8
\u2206\u3b8\u2206\u3b8
r
j
i
Figura 1.19: Vetores unita´rios para coordenadas polar plana.
Usando a Equac¸a\u2dco (1.44) para a derivada do vetor radial unita´rio, podemos finalmente
escrever a equac¸a\u2dco para a velocidade como
~v = r\u2d9~er + r\u3b8\u2d9~e\u3b8 (1.46)
Enta\u2dco r\u2d9 e´ o valor da componente radial do vetor velocidade, e r\u3b8\u2d9 e´ o valor da componente
transversal.
Para determinar o vetor acelerac¸a\u2dco, tomamos a derivada em relac¸a\u2dco ao tempo do vetor
velocidade. Teremos
~a =
d~v
dt
= r¨~er + r\u2d9
d~er
dt
+ (r\u2d9\u3b8\u2d9 + r\u3b8¨)~e\u3b8 + r\u3b8\u2d9
d~e\u3b8
dt
30 CAPI´TULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Os valores de d~er/dt e d~e\u3b8/dt sa\u2dco dados pelas Equac¸o\u2dces (1.44) e (1.45) e nos leva a` seguinte
equac¸a\u2dco para o vetor acelerac¸a\u2dco em coordenadas polares planas:
~a = (r¨ \u2212 r\u3b8\u2d92)~er + (r\u3b8¨ + 2r\u2d9\u3b8\u2d9)~e\u3b8 (1.47)
Enta\u2dco o valor da componente radial do vetor acelerac¸a\u2dco e´
ar = r¨ \u2212 r\u3b8\u2d92 (1.48)
e a componente transversal e´
a\u3b8 = r\u3b8¨ + 2r\u2d9\u3b8\u2d9 =
1
r
d
dt
(r2\u3b8\u2d9) (1.49)
O resultado acima mostra, por exemplo, que se uma part´\u131cula se move num c´\u131rculo de raio
constante b, enta\u2dco r\u2d9 = 0, e dessa maneira a componente radial da acelerac¸a\u2dco tem valor b\u3b8\u2d92 e
aponta diretamente para o centro da trajeto´ria circular. O valor da componente transversal
neste caso e´ b\u3b8¨. Por outro lado, se a part´\u131cula se move ao longo de uma linha radial fixa,
isto e´, se \u3b8 e´ constante, enta\u2dco a componente radial se reduz a r¨ e a componente transversal
se anula. Se r e \u3b8 ambos variam, enta\u2dco a expressa\u2dco geral (1.47) da´ a acelerac¸a\u2dco.
Exemplo
Uma part´\u131cula move-se em uma trajeto´ria espiral dada pelas coordenadas polares
r = bt2 \u3b8 = ct
onde b e c sa\u2dco constantes. Encontre a velocidade e acelerac¸a\u2dco como func¸a\u2dco de t. Da Equac¸a\u2dco
(1.46), encontramos