Limite e Continuidade

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Centro Universitário Barriga Verde- UNIBAVE
Disciplina: Cálculo I
Professor: Anderson Volpato Alves
		LIMITE 
I – OBJETIVO
Nesta lição trabalharemos com o conceito de limite, tanto de maneira intuitiva quanto de maneira convencional. Analisaremos propriedades e teoremas referentes a limites de funções. E finalmente, definiremos a continuidade das funções usando limites.
II – NOÇÃO INTUITIVA
No conjunto dos números reais, podemos escolher um conjunto de números segundo qualquer regra pré-estabelecida.
Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas:
1, 2, 3, 4, 5, ...
1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...
1, 0, -1, -2, -3, ...
1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ...
Podemos dizer que:
Na (1) os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um limite, eles tendem ao infinito. Denota-se: x(+(.
Na (2) os números se aproximam cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Denota-se: x(1.
Na(3) os termos tornam-se cada vez menores sem atingir um limite, eles tendem ao infinito negativo. Denota-se: x(-(.
Na (4) os termos oscilam sem tender para um limite.
Podemos aplicar esta idéia de limite para os diversos casos de limite de uma função.
Exemplo 1.
Seja y=1 -1/x
	x
	y
	
	-5
	6/5
	
	-4
	5/4
	
	-3
	4/3
	
	-2
	3/2
	
	-1
	2
	
	0
	Não
	
	1
	0
	
	2
	1/2
	
	3
	2/3
	
	4
	3/4
	
	5
	4/5
	
Observando o gráfico da função, observamos que ela tende para 1 quando x tende para o infinito:
y(1 quando x(±(
Denota-se 
Exemplo 2.
A função y = x² +3x -2 tende para +( quando x ( ±(.
Denota-se 
De fato, intuitivamente, basta analisar o gráfico:
Exemplo 3.
Observando o gráfico da função 
:
Podemos dizer que 
, mas não só isto: observando o gráfico podemos dizer que y(+( quando x(1 através de valores maiores do que 1 e que y(-( quando x(1 através de valores menores do que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites laterais denotados por:
 (limite à direita)
 (limite à esquerda)
 Obs.: Se os limites à direita e à esquerda são números diferentes, então, dizemos que o 
não existe.
Neste exemplo não existe o limite 
.
III – PROPRIEDADES DOS LIMITES
Com base no que vimos, foram deduzidas proposições e propriedades que nos auxiliam na procura de limites:
Unicidade: Se 
 e se 
, então b=c.
Se a,m e n são números reais, então 
.
Se f(x)=x, então 
Se f(x)=n, então 
Se 
 e 
 existem, e c é um número real qualquer, então: 
3.1. 
3.2. 
3.3. 
3.4. 
, desde que 
3.5. 
, para qualquer inteiro positivo n
3.6. 
, se 
 e n inteiro ou se 
 e n é um inteiro positivo ímpar
3.7. 
, se 
3.8. 
3.9. 
3.10. 
Observação: Funções Polinomiais:
Se 
, então
(basta calcular a função num ponto)
IV – LIMITES LATERAIS
Se 
, dizemos que f(x) tende a L quando x tende para a pela direita.
Se 
, dizemos que f(x) tende a L quando x tende para a pela esquerda.
Se f é definida em um intervalo aberto contendo a, então 
 se e somente se 
 e 
.
V – CÁLCULO DE LIMITES
Costuma-se dizer que as expressões:
são indeterminadas. Algumas vezes, para não cairmos em expressões indeterminadas temos que utilizar os artifícios algébricos. São os casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num determinado ponto e o limite do numerador também é zero neste mesmo ponto.
VI – LIMITES NO INFINITO
Considere 
.
Como se comporta f(x) quando x assume valores muito grandes:
positivos
	X
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	...
	500
	...
	1000
	f(x)
	0
	1/2
	2/3
	3/4
	4/5
	5/6
	...
	499/500
	...
	999/1000
negativos
	X
	-1
	-2
	-3
	-4
	-5
	-6
	...
	-500
	...
	-1000
	f(x)
	2
	3/2
	4/3
	5/4
	6/5
	7/6
	...
	501/500
	...
	1001/1000
Intuitivamente, vimos que podemos tornar o valor de f(x) tão próximo de 1 quanto desejamos, tomando para x valores suficientemente elevados. Da mesma forma, fazendo x decrescer ilimitadamente vimos que f(x) se aproxima desse mesmo valor 1. Portanto:
 e 
Gráfico:
A partir deste intuito, temos os teoremas:
(a) 
, k é um número real.
(b) 
(c) 
Em limites temos os seguintes resultados:
(a) 
(b)
(c) 
(d) 
; 
(e) 
(f)
 e 
	
 e n ímpar maior que 2.
(g)
VII – LIMITES INFINITOS
Considere 
e x próximo de zero.
	X
	±1/2
	±1/3
	±1/5
	±1/10
	±1/100
	±1/1000
	...
	f(x)
	4
	9
	25
	100
	10000
	1000000
	...
Observe que quando x se aproxima de zero tanto pela esquerda quanto pela direita, então f(x) toma valores cada vez maiores.
Gráfico:
Se 
teríamos o gráfico:
Com isto temos os teoremas:
Teorema 1: 
Teorema 2: se 
 e 
 com c ≠0, então:
Se c>0 e h(x) tende a zero por valores positivos, então 
Se c>0 e h(x) tende a zero por valores negativos, então 
Se c<0 e h(x) tende a zero por valores positivos, então 
Se c<0 e h(x) tende a zero por valores negativos, então 
VIII – LIMITES FUNDAMENTAIS
Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminação do tipo 0/0, 
 e 
:
(a) 
(b) 
(c) 
X – EXERCÍCIO PARA TREINAR
Considere a função 
 com gráfico:
Intuitivamente encontre:
(a) 
=
(b) 
=
(c) 
=
2. Esboce o gráfico de f(x) e ache os limites: 
, 
, 
,se existir:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
3. Utilizando a propriedade de limites calcule:
(a) 
(b) 
(c) 
4.Dado f(x)=|x|
(a) calcule 
(b) calcule 
(c) Esboce o gráfico
5. Dada 
. Determinar, se existirem:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) Esboce o gráfico
6. Calcule os limites:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
7. Calcule os limites:
(a) 
(b) 
8. Calcule os limites:
(a) 
(b) 
9. Calcule os limites:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
10. Faça o gráfico e análise a continuidade das funções:
(a)
, considerando o ponto 0.
(b)
 , considerando o ponto -2.
(c)
 , considerando o ponto 0.
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LISTA 03
Seja f(x) a função definida pelo gráfico
Intuitivamente, encontre se existir:
(a) 
=
(b) 
=
(c) 
=
(d) 
=
(e) 
=
(f) 
=
2. Seja f(x) a função definida pelo gráfico
Intuitivamente, encontre se existir:
(a) 
=
(b) 
=
(c) 
=
(d) 
=
3. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
(a) 
=
(b) 
=
(c) 
=
(d) 
=
(e) 
=
(f) 
=
4. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
(a) 
=
(b) 
=
(c) 
=
(d) 
=
(e) 
=
5. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
(a) 
=
(b) 
=
(c) 
=
(d) 
=
(e) 
=
6. Usando as propriedades de limite, calcule limites:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
(i) 
(j) 
(k) 
(l) 
(m) 
(n) 
(o) 
7. Seja 
, Calcule:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
Esboçar o gráfico de f(x).
8. Seja 
. Calcule 
. Esboce o gráfico de h(x).
9. Seja 
, Calcule:
(a) 
(b) 
(c) 
Esboçar o gráfico de f(x).
10. Seja 
, Calcule:
(a) 
(b) 
(c) 
Esboçar o gráfico de f(x).
11. Calcule os limites:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
(i) 
(j) 
(k) 
(l) 
(m) 
(n) 
(o) 
(p) 
12. Calcule os limites:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
(i) 
(j) 
(k) 
13. Calcule os limites:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
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