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Lista 5 – Cálculo Diferencial e Integral IV 
Resumo das Equações Lineares de Segunda Ordem: 
1-Equações diferenciais de segunda ordem, homogêneas a coeficientes constantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) Escrever o polinômio característico associado 
b) Achar as raízes de . 
c) Temos agora três possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
2-Método da Redução de Ordem: 
 
Solução: 
a) Procurar uma solução da EDO tal que 
b) Com isto achar as derivadas de para substituir na equação, saber: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Substituir estes valores na EDO, a equação encontrada será em termos de uma equação diferencial 
linear de primeira ordem; 
d) Então, devido ao item anterior, faça a substituição e resolva a equação em ; 
e) Do item anterior, encontre por simples integração, terá duas constantes; 
f) Uma vez que substitua os valores e encontre que será a solução geral da equação; 
3-Método dos Coeficientes a Determinar: 
 
Solução: 
a) Antes de tudo, resolver a equação homogênea associada 
b) Uma vez encontrado o espaço solução da homogênea associada, devemos comparar estas soluções com a 
função o que nos leva a duas opções: 
 
 Nem a função , ou nenhuma de suas partes está contida em , então devemos procurar, via 
inspeção uma solução particular para a equação linear, através do que podemos chamar de “chute 
consciente”. 
 Exemplo: A equação tem como , se você resolver a homogênea associada 
encontrará que que não se parece em nada com . Como a derivação é uma operação 
que só consegue baixar o grau dos polinômios, então o grau máximo de um polinômio que possa servir como 
solução vai ser o grau máximo do polinômio em que é 1. Então procure uma solução da forma ; 
 Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada 
vemos que que não se parece com . Uma vez que a derivação da função seno nos leva 
na função cosseno e a derivação da função cosseno nos leva na função seno, então a solução que procuraremos 
será da forma ; 
 A função , ou alguma de suas partes está contida em , então devemos procurar, via inspeção 
uma solução particular para a equação linear, através do que podemos chamar de “chute consciente”, só 
que desta vez devemos multiplicar o nosso “palpite” por x nos termos que apareceram em . 
Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada 
vemos que , agora observe que aparece de fato em , então pelo mesmo 
argumento utilizado no exemplo anterior, a solução procurada será da forma . 
Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada vemos 
que , mas observe que 1 está contido em . Então, ao invés de fazermos como 
no primeiro exemplo, procuraremos uma solução da forma . Observando que se procurássemos 
uma solução da forma teríamos que c seria um parâmetro livre das equações obtidas. 
4-Método da Variação dos Parâmetros: O método da variação dos parâmetros é um método poderoso, e 
extensível a toda ordem de equações lineares, para dele utilizarmos basta conhecermos as soluções da equação 
homogênea associada da EDO. 
 
 
a) Resolver a equação homogênea associada ; 
b) Extrair daí duas soluções fundamentais ; 
c) A solução da EDO será ; 
d) Sabendo que satisfazem o seguinte sistema de equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) O que pela Regra de Cramer nos leva ao seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Desta forma nos é acessível encontrar e por simples integração; 
g) Ao final basta fazermos que será a solução da homogênea somada a uma 
solução particular da EDO. 
Exercício – Desafio: Resolver sabendo que é solução, utilizando o seguinte roteiro: 
I) Utilize redução de ordem para encontrar todas as soluções da homogênea associada; 
II) Use variação de parâmetros para encontrar a solução da EDO;

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