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Lista 5 – Cálculo Diferencial e Integral IV Resumo das Equações Lineares de Segunda Ordem: 1-Equações diferenciais de segunda ordem, homogêneas a coeficientes constantes: Solução: a) Escrever o polinômio característico associado b) Achar as raízes de . c) Temos agora três possibilidades: 2-Método da Redução de Ordem: Solução: a) Procurar uma solução da EDO tal que b) Com isto achar as derivadas de para substituir na equação, saber: c) Substituir estes valores na EDO, a equação encontrada será em termos de uma equação diferencial linear de primeira ordem; d) Então, devido ao item anterior, faça a substituição e resolva a equação em ; e) Do item anterior, encontre por simples integração, terá duas constantes; f) Uma vez que substitua os valores e encontre que será a solução geral da equação; 3-Método dos Coeficientes a Determinar: Solução: a) Antes de tudo, resolver a equação homogênea associada b) Uma vez encontrado o espaço solução da homogênea associada, devemos comparar estas soluções com a função o que nos leva a duas opções: Nem a função , ou nenhuma de suas partes está contida em , então devemos procurar, via inspeção uma solução particular para a equação linear, através do que podemos chamar de “chute consciente”. Exemplo: A equação tem como , se você resolver a homogênea associada encontrará que que não se parece em nada com . Como a derivação é uma operação que só consegue baixar o grau dos polinômios, então o grau máximo de um polinômio que possa servir como solução vai ser o grau máximo do polinômio em que é 1. Então procure uma solução da forma ; Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada vemos que que não se parece com . Uma vez que a derivação da função seno nos leva na função cosseno e a derivação da função cosseno nos leva na função seno, então a solução que procuraremos será da forma ; A função , ou alguma de suas partes está contida em , então devemos procurar, via inspeção uma solução particular para a equação linear, através do que podemos chamar de “chute consciente”, só que desta vez devemos multiplicar o nosso “palpite” por x nos termos que apareceram em . Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada vemos que , agora observe que aparece de fato em , então pelo mesmo argumento utilizado no exemplo anterior, a solução procurada será da forma . Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada vemos que , mas observe que 1 está contido em . Então, ao invés de fazermos como no primeiro exemplo, procuraremos uma solução da forma . Observando que se procurássemos uma solução da forma teríamos que c seria um parâmetro livre das equações obtidas. 4-Método da Variação dos Parâmetros: O método da variação dos parâmetros é um método poderoso, e extensível a toda ordem de equações lineares, para dele utilizarmos basta conhecermos as soluções da equação homogênea associada da EDO. a) Resolver a equação homogênea associada ; b) Extrair daí duas soluções fundamentais ; c) A solução da EDO será ; d) Sabendo que satisfazem o seguinte sistema de equações: e) O que pela Regra de Cramer nos leva ao seguinte: f) Desta forma nos é acessível encontrar e por simples integração; g) Ao final basta fazermos que será a solução da homogênea somada a uma solução particular da EDO. Exercício – Desafio: Resolver sabendo que é solução, utilizando o seguinte roteiro: I) Utilize redução de ordem para encontrar todas as soluções da homogênea associada; II) Use variação de parâmetros para encontrar a solução da EDO;
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