Bioestatistica em Biomedicina

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HISTÓRIA 
FINITA 
INFINITA 
RECENSEAMENTO 
SONDAGEM 
METODOLOGIA DA PESQUISA CIENTÍFICA 
INTRODUÇÃO 
POPULAÇÃO 
OU 
UNIVERSO ESTATÍSTICO 
AMOSTRA 
CLASSIFICAÇÃO 
ESTATÍSTICA 
Profº. Marcelo Leão 
BIOESTATÍSTICA 
• CONCEITO 
 
• Bioestatística 
• É um conjunto de técnicas ou processos que permite observar, descrever 
 numericamente e analisar fatos numéricos nas ciências da vida, ou seja, é a 
 Estatística Médica. 
• A Estatística pode ser uma ciência, mas nós a trataremos como um instrumento 
 auxiliar a todas as ciências, pois não possui um objetivo próprio, por isso pode 
 ser usada por qualquer pessoa que saiba manipular números: médico, 
 enfermeiro, fisioterapeuta, psicólogos,etc. 
 
• Aplicações 
• - Nascimentos, óbitos e perdas fetais; 
• - Doenças; 
• - Serviços; 
• Disciplina: Bioestatística Carga Horária: 54 h/a 
• Ementa: Introdução à Estatística. Estatística na área da saúde. Descrição, 
Exploração e Comparação de Dados. Probabilidade. Distribuições de 
Probabilidade. Tipos de erros. A distribuição normal de Probabilidade. Inferência 
Estatística. Estatística e projetos científicos. 
• Bibliografia Básica: 
• VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística, 3ª ed. Rio de Janeiro, Ed. Campus, 1980. 
• COSTA NETO, P. O. Estatística. 2ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. 
• JEKEL J. FIELMORI J.G. KATZ D.L. Epidemiologia, Bioestatística e Medicina 
preventiva. 2ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2005. 
• CALLEGARI-JACQUES, SM. Bioestatística: princípios e aplicações. 2003 
• Bibliografia Complementar: 
• MORETTIM, P. A & BUSSAB, W. Estatística Básica. 4ª ed. São Paulo: Atual, 1985 
• FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A; TOLEDO, G. L. Estatística Aplicada. São Paulo: 
Atlas, 1995. 
• CUTLER, Paul. Como Solucionar Problemas em Clínica Médica: dos Dados ao 
Diagnóstico. 3ª ed. Guanabara Koogan, 1999. 
• TOLEDO, Geraldo Luciano. Estatística Básica. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
 Coleta de Dados 
É a parte operacional, ela é utilizada de varias 
maneiras, porém a mais utilizada é através de 
questionários e entrevistas. Em ambos os casos 
as perguntas devem ser claras, curtas e 
objetivas e com linguagem de fácil 
compreensão. 
Formas de coletas de dados. 
Coleta Direta. 
Continua: quando os dados são obtidos 
ininterruptamente, automaticamente e na 
vigência de um determinado período, ou seja, 
um ano. Ex relatório diário da produção. 
Periódica: Quando realizada em períodos 
curtos, determinados, de tempo em tempos; 
Ex: a manutenção periódica de uma máquina. 
Ocasional: Quando os dados forem colhidos 
esporadicamente, Ex: A coleta no caso da 
dengue. 
Coleta Indireta 
Indireta: É quando é inferida a partir dos 
elementos conseguidos pela coleta direta ou 
através do conhecimento de outros fenômenos. 
Ou seja é feita por dedução e conjunturas . 
Apuração dos Dados 
Consiste em resumir os dados, através de sua 
contagem e agrupamento é o trabalho de 
tabulação dos dados que chegam ao analista, de 
forma desorganizada. 
 PARÂMETROS X ESTATÍSTICA 
 
 
 Normas para apresentação dos dados 
 
Apresentação Tabular : consiste em dispor os dados em linhas e colunas 
distribuídas de modo ordenado. 
 
Elemento de uma Tabela 
 
Titulo : Um titulo deve responder as seguintes perguntas: 
 O que ? ( assunto a ser representado) ( Fato ) 
 Onde ? ( O lugar onde ocorreu o evento ) ( Local ) 
 Quando ? ( a época do evento) ( Tempo ) 
 
Corpo: É a parte da tabela composta por linhas e colunas. 
Fonte : Refere-se a entidade que organizou ou forneceu os dados expostos. 
 
 
 
 
 SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
 
TIPOS DE ESTATÍSTICA 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA: É a coleta de dados numéricos, a organização , 
classificação desses dados, e a sua apresentação através de gráficos e tabelas, 
permitindo descrever resumidamente os fenômenos. 
 
Estatística Indutiva : É a coleta de dados através de uma amostra para obter 
e generalizar conclusões, ou seja inferir propriedades para o todo ( população) com 
base na (amostra ). 
 
Variável : É uma característica comum que pode assumir valores ou modalidades 
diferentes, de individuo para individuo. 
 
 Tipos de Variável 
 
Variável Discreta : São variáveis que resulta seus valores através de 
números inteiros não negativos. 
Ex: Número de filho dos alunos do curso de psicologia. 
 
Variáveis Continuas : São variáveis que assumir teoricamente qualquer 
valor em um certo intervalo, ou seja é uma variável continua. 
EX : O peso dos alunos de psicologia. 50,4 ; 62,3 ; 80,1; 73,7. 
 CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS 
 
Variáveis Quantitativas : São quando os valores são representado por números. 
ex :Nº de filhos, idade, renda familiar etc. 
 
Variáveis Qualitativas : São quando são apresentadas por varias qualidades ou 
atributos. 
Ex : Sexo, Religião , formação escolar. 
 
 Níveis de Mensuração 
 
Nível nominal: É o ato de nomear , rotular ou classificar um objeto, pessoa ou 
alguma característica, por meio de números ou símbolos . 
 
Ex : Religião de cada estudante para compor determinada amostra. 
 
 Católico 1 
 Judeu 2 
 Protestante 3 
 
 
Nível Ordinal : É a variável que pode assumir várias categorias ou atributos mantém 
uma relação de ordem do menor para o maior. 
Ex : Nível de instrução do chefe da família. 
 Analfabeto 1 
 Fund menor 2 
 Fund Maior 3 
 Ens Médio 4 
 
Nível intervalar : São variáveis que assumem varias categorias que mantém uma 
relação de ordem além de intervalos iguais de medição. 
EX : Altura dos alunos de psicologia em (cm ). 
 
 ( ) 1,50 a 1,59 ( ) 1,60 a 1,69 ( ) 1,70 a 1,79 ( ) 1,80 a 1,89 
 
 Método Estatístico 
 
Definição do problema : Além de definir o problema a ser objeto de estudo, o 
analista deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo, uma 
vez que parte das informação que necessita pode muitas vezes,já estar disponível. 
 
 
 
Planejamento : Ele deverá ter o máximo de informes com um mínimo de custo e 
tempo ou seja : 
 
1º Que dados deverão ser obtidos 
 
2º Como se deve obtê-los 
 
3º Em que setor geográfico deverá ser feita a pesquisa 
 
4º Qual o grau de precisão exigido 
 
5º censo ou amostragem 
 
6º Cronograma da atividade 
 
7º custo envolvido 
Apresentação dos Dados 
Apresentação Tabular 
Construção de uma Distribuição de 
Freqüência 
Dados brutos : São as informações 
que não estão numericamente 
organizadas, logo não se encontrão 
prontas para análise. 
Rol ou Lista : É uma lista em que 
os valores estão em ordem 
crescente ou decrescente. 
Amplitude Total ou Range ( R ) : È a diferença 
entre o maior e o menor valor da amostra. 
Logo : R = Xmáx - Xmin 
Número de classe (K ) : 
Determina o número de classe ou 
intervalo quais a amostra deverá 
se dividida; logo: K = 1+ 3,22.log n 
Tamanho do intervalo de classe ( h 
) : O tamanho é dado por : h = R / K 
Freqüência absoluta (fi ): É o número de 
vezes que o elemento ocorre na amostra.Obs : O somatório das freqüências 
absolutas é igual ao número de elementos 
da amostra, ou seja, somatório fi = n . 
Freqüência relativa ( fr ) : É o quociente entre 
as freqüências absolutas de cada classe e o 
numero total de observações. logo , fr = fi /n. 
Freqüência acumulada(fac) 
: é o acumulo das 
freqüências absolutas. 
Apresentação Gráfica 
Gráficos com dados numéricos 
 
 
Disposição Ramo e Folha : É uma contagem de freqüência utilizando os últimos 
algarismo . 
Histograma : É um gráfico formado por um conjunto de retângulos justapostos de 
forma que a área de cada retângulo seja proporcional á freqüência da classe que ele 
representa. 
Polígono de Freqüência : É formado deixando-se ponto médio de cada classe 
representa-lhe os dados e depois conectá-los a seqüencia de pontos médios em seus 
respectivos percentuais de classe. 
Polígono de Freqüência Acumulada : Tem por finalidade a representação da freqüência 
acumulada. 
Gráficos de Dados Categorizados 
Gráficos de barras ou colunas : Têm por finalidade comparar grandezas por 
meio de retângulos de igual largura e alturas proporcionais às suas respectivas 
grandezas. 
Gráfico de setor , pizza ,circular ou ciclograma : São usados para representar 
valores absoluto ou ponderados em porcentagem; a área total do gráfico 
equivale a ( 360° = 100 % ) . 
 Gráfico Pictograma : Tem por objetivo despertar a atenção do público em 
geral muito desses gráficos apresentam grande dose de originalidade e de 
habilidade na apresentação de dados. 
Medida de Tendência Central 
Def : São medidas que dão o valor do ponto em torno do qual os dados se 
distribuem ou seja é um resumo de informações. EX : 
 
Média Aritmética Simples: é a média que é igual ao quociente entre a soma dos 
valores do conjunto e o número total dos valores. Obs : este tipo de média é utilizado 
quando os valores não estão tabulados ou sejam quando aparecem representados 
individualmente. Logo : X = Σxi / n 
Ex: Um engenheiro verifica a produção diária de uma tipo peça que dez operários 
produzem : 8,9,5,6,3,5,7,8,8,4. então a média será: 
Média Aritmética Ponderada: É a média cujo os valores do conjunto tem peso 
diferentes ou seja é o quociente entre o produto dos valores da variável pelos 
respectivos pesos e sua soma. Logo : X = Σxi.fi / n 
 
Moda P/valores Simples : É o valor mais freqüente quando comparado sua freqüência 
com a dos valores de um conjunto ordenado. Existe três tipos de moda: 
Unimodal : Quando a amostra possuir uma única moda. Ex : 
Bimodal : Quando a amostra possuir duas modas. Ex : 
Plurimodal : Quando a amostra possuir mais de duas modas. Ex: 
Moda P/ valores Agrupados : Para dados agrupados utilizamos a fórmula de czuber 
1º passo : identificar a classe amodal. 
2º passo : Aplicar a fórmula de czuber : X = limf + (Δ1 /Δ1 +Δ2) .h 
OBS: delta 1 = fabs – fant , delta 2 = fabs – fpost , linf = limite inferior da classe 
amodal. 
Mediana : É o valor que divide uma série ordenada pelo menos a metade ou 
cinqüenta por cento dos elementos amostrais sejam iguais ou maiores do que ela. 
Calculo da mediana P/ valores simples : 
Quando o numero de observações é impar : Emd = (n+1 / 2 ). Ex : 
Quando o numero de observações é par : 1º passo : Emd = n / 2 , Emd = ( n / 2 
) +1 , 2º passo : localizar os valores na amostra e calcular a média. Ex : 
 
 Mediana P/ valores agrupados : 
1º passo : localizar a mediana calculando elemento mediano. Emd = n / 2. 
2º passo : Calcular a mediana utilizando a fórmula. X = linf + (( n/2) – fant). H / 
fmd. 
OBS : linf = limite inferior da classe da mediana; n / 2 = elemento mediano 
 fant = freqüência acumulada anterior da classe da mediana. 
 fmd = freqüência absoluta da classe da mediana; h = intervalo de classe 
Medida de Dispersão 
• Def : São medidas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão, dos 
valores em torno da média. Ser para medir representatividade da média. EX : 
Representação gráfica 
 
• Amplitude Total : è a diferença entre o maior e o menor valor da série. Logo: R = 
Xmáx – Xmin. 
• Σ I Xi – X I. f 
• Desvio Médio : é a medição dos dados em relação a média. Logo : DM = n 
• Obs : Os desvios foram considerados em módulo, evitando assim que a soma fosse 
nula. 
 
• Variância : È o somatório do quadrado de cada desvio multiplicado pela freqüência 
absoluta dividido pelo nº de elementos. Logo : σ2 = Σ I Xi – X I2. f e 
• S2 = Σ I Xi – X I2. f N 
• n - 1 
• Onde σ2 : é a variância populacional e lê-se sigma, e S2 : é a variância amostral. 
• 
• Desvio Padrão : é a raiz quadrada da variância . Logo : σ = σ2 e S = S2 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de correlação 
• Diagrama de Dispersão : é o estudo do comportamento conjunto de duas variáveis 
quantitativas ( x, y ). 
 
• Tipo de relação entre duas variáveis 
 
• Correlação positiva: é quando uma variável cresce e a outra em média também 
cresce. 
• Correlação Negativa : é quando uma variável cresce e a outra em média diminui. 
• Correlação Perfeita Positiva : São quando as duas variáveis crescem juntas ,e o 
digrama de dispersão mostra pontos sobre a reta. 
• Correlação Perfeita Negativa : é quando uma variável cresce e a outra decresce, 
mais os pontos , no diagrama de dispersão, ficam sobre a reta. 
• Correlação Não Linear : São quando os pontos não estão sobre a reta nem entorno 
dela. 
• Correlação Nula : é quando as duas variáveis não estão relacionadas, ou seja 
quando os pontos estão muito dispersos. 
Coeficiente de correlação 
 Tipos de relação entre duas variáveis 
 Correlação Positiva Correlação perfeita Positiva 
 
 
 
 
 
 Correlação Negativa Correlação perfeita Negativa 
 
 
 
 
 
 Correlação Não linear Correlação Nula 
 
Coeficiente de correlação 
• Def: é a medição do grau de correlação linear entre duas variáveis; Esse coeficiente 
varia entre -1 e +1. 
• Quanto mais próximo de -1 estiver o valor do coeficiente de correlação, maior 
será a correlação negativa entre as variáveis. 
• Quanto mais próximo de +1 estiver o valor do coeficiente de correlação , maior 
será a correlação positiva entre as variáveis. 
• O coeficiente de correlação é indicado por r e calculado por meio da fórmula : 
 
• Σ X Y - 1/n Σ X Σ Y 
• R = 
• [ Σ X2 - 1/n ( Σ X)2 ] [ Σ Y2 - 1/n ( Σ Y)2 ] 
 
• Ex : 
Regressão Linear 
• Assim como num estudo de correlação, a análise de regressão também parte de um 
conjunto de observações pareadas (x1, y1), (x2, y2) ,.......(xn, yn), relativas às 
variáveis X e Y. Contudo, os pontos não estão exatamente sobre uma reta, 
provavelmente por causa da existência de fatores não controláveis no processo. 
 
• Método dos Mínimos Quadrados 
• Para construção , precisamos obter estimativas para a partir de um conjunto de 
observações ( x1, y1), (x2, y2),.....,(xn,yn). Ou seja , queremos encontrar a reta que 
passe o mais próximo possível dos pontos observados. 
• A chamada equação da reta de regressão é dada por Y = a + bx , onde a e bsão 
• Σ Yi – b Σ Xi n. Σ ( Xi.Yi ) – ( Σxi ) ( ΣYi ) 
• a = n e b = n.ΣXi2 - ( Σ Xi )2 
• A diferença entre os valores observados e os preditos é chamado de resíduos: ei = 
yi – y^. O resíduo relativo é considerado erro aleatório. 
• Y ------------------------- ei 
Yi ------------------------- y = a + bx 
 
• Ex : No quadro ( Exercício ) 
 
 
• X 
Introdução à Teoria das Probabilidades 
• Espaço Amostral : é o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento; E 
é denotado pela letra grega ômega Ω. 
• Ex : Lançamento de um dado e observação da face voltada para cima: Ω.= [ 
1,2,3,4,5,6 ] . 
• Ex : A observação do diâmetro, em mm, de um eixo produzido em uma metalúrgica 
Ω.= [ d, tal que d > 0 ] . 
• Evento : é qualquer subconjunto do espaço amostral : A é um evento → A estar 
contido em Ω. 
• Ex : Seja o experimento do lançamento de um dado. Temos : Ω.= [ 1,2,3,4,5,6 ] . São 
exemplos de eventos: 
• A = Número par do dado = [ 2,4,6 ] . 
• B = número maior que 2 do dado = [ 3,4,5,6 ] 
• C = Número 6 = [6 ] . 
• OBS : Dizemos que um evento ocorre quando um dos resultados que o compõem 
ocorre. 
• Definição Clássica de probabilidade : 
• Se um experimento aleatório tem n resultados igualmente prováveis, e nA desses 
resultados pertencem a acerto evento A, então a probabilidade de ocorrência do 
evento A será: P(A) = nA/ n 
Probabilidade Condicional e Independência 
• Def : É a probabilidade de ocorrência de A condicionada à ocorrência prévia de B. 
Essa probabilidade é representada por p(A / B ) ( Lê-se probabilidade de A dado B). 
 
• Ex : Os dados, a seguir representam o sumário de um dia de observação em um 
posto de qualidade, em que se avalia o peso dos pacotes de leite produzido num 
laticínio. 
Condição do peso Tipo do 
leite 
B (B) C ( C) UHT (U) Total 
Dentro das 
Especificações (D) 
500 4500 1500 6500 
Fora das 
especificações (F) 
 30 270 50 350 
Total 530 4770 1550 6850 
• Retira-se , ao acaso , um pacote de leite da população de 6850 unidades .Seja D e F 
os eventos que representam se o pacote retirado está dentro ou fora das 
especificações, respectivamente. Da mesma forma , B C e U são eventos que 
representam o tipo do leite. Pergunta-se: 
• a) Qual é a probabilidade de o pacote de leite estar fora das especificações? 
• P( F) = 350 / 6850 = 0,051 
 
• B) Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado estar fora das especificações, 
sabendo-se que é do tipo UHT ? 
• P( F/ U) = 50 / 1550 = 0,032 
 
• Se o numerador de p( F/U) forem divididos pelo número total de unidades, temos: 
 P (F/U) = 50/1550 = ( 50/6850) / (1550/6850) = P(F∩U) / P(B) que é a relação 
usada na definição formal de probabilidade condicional. 
Regra do Produto 
• Def : a regra é obtida ao isolar a probabilidade da interseção. Ou seja : 
 
• P(A / B) = P ( A ∩ B ) / P(B) = P (A ∩ B ) = P(B). P(A / B) , que fornece uma fórmula 
de calcular a probabilidade de ambos os eventos ( A e B) ocorrerem. O evento 
condicionado é B, mas o inverso também é possível, pois 
• P(B / A) = P ( B ∩ A ) / P(A) = P (B ∩ A ) = P(A) . P(B / A) 
 
• Para três eventos, A, B e C, a regra do produto pode ser escrita como 
• P(A ∩ B ∩ C ) = P(A) . P ( B/A ) . P ( C/ A ∩ B) 
• OBS : É importante que seja observada a seq6uência lógica dos eventos para 
montar as expressões precedentes. 
• Ex :Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retiramos ao acaso, 2 
cartões, um após o outro, sem reposição, e observamos as cores dos dois cartões. 
• a) Qual a probabilidade de que ambos sejam amarelos ? 
• b) Como alocar probabilidades a todos os elementos do espaço amostral? 
• c) Qual é a probabilidade de ocorrer exatamente 1 cartão amarelo? 
• d) Considere a retirada de 3 cartões . Qual é a probabilidade de que os dois 
primeiros sejam vermelhos e o terceiro seja amarelo? 
Eventos Independentes 
• Def : Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos 
eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. 
• È uma amostragem feita com reposição.verifique que os cálculos tornam –se mais 
simples, pois a configuração da urna não se altera na segunda extração. 
• EX : Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retiram se ao acaso, 2 
cartões da caixa, um após o outro, sendo que o primeiro cartão é reposto antes da 
retirada do segundo ( amostragem com reposição ) , e observa-se a cor dos dois 
cartões. 
• Relação de Eventos Independentes 
 
• A e B são independentes : P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B) 
 
• Ampliação de Eventos Independentes 
 
• E1, E2......En são independente : P( E1 ∩ E2∩......∩En) = P( E1) . P( E2) .....P ( En) 
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
• Def : É uma medida de peso de cada um dos eventos Ei, na contribuição para 
formar o evento F. 
• Usando a regra do produto, temos a seguinte equação, conhecida como o teorema 
da probabilidade total : 
• P ( F) = Σ P( Ei) . P( F/ Ei ) 
• OBS: Naturalmente, algumas P( F/ Ei) poderão assumir valor zero por não haver 
interseção entre F e Ei. 
• Ex: Os eventos Ei representam as procedências das peças (fornecedores 1, 2, 3 e 4 
) , e o evento F representa peça não uniforme. Repare que os eventos Ei ( 
fornecedores) são mutuamente exclusivos, pois a peça somente pode ser originária 
de um dos fornecedores; e que o evento F tem interseção com cada um deles ( uma 
vez que todos os fornecedores produzem peças não conformes). 
• Suponha a mesma probabilidade para todos os fornecedores, isto é, 
• P( E1) = P(E2) = P(E3) = P(E4) = 0,25 e as probabilidades de não-conformidade 
para cada fornecedor sejam: P1 = P(F/E1) = 0,1 ; P2 = P(F/E2) = 0,1 ; P3 = P(F/E3) 
= 0,2 
• P4 = P(F/E4) = 0,4 então : 
• P(F) = (0,25) (0,1) + (0,25) (0,1) + (0,25) (0,2) + (0,25) (0,4) = 0,20. 
TEOREMA DE BAYES 
• Permite obter a probabilidade de que um dos eventos Ei ocorra, sabendo-se que o 
evento F ocorreu. Supõem as mesmas condições ( eventos Ei mutuamente 
exclusivos e exaustivos e um evento F qualquer). 
• Logo usado a regra do produto , escrevemos o Teorema de Bayes como : 
• 
• P(Ei/F) = P(Ei) . P(F/Ei) / P(F) 
 
• Ex : ( continuação do ex: anterior) Sabendo-se que a peça é não conforme, qual é 
a probabilidade de que ela tenha vindo do fornecedor 4? 
 
• P ( E4/F) = P(E4) . P(F/E4) / P(F) = ( 0,25) ( 0,40) / 0,20 = 0,50 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIADES PARA VARIÁVEIS DISCRETAS. 
• Distribuição Binomial : é uma distribuição de probabilidade adequada aos 
experimentos que apresentam apenas dois resultados ( sucesso ou fracasso).Este 
modelo fundamentam-se nas seguintes hipóteses: 
• H1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas 
• H2. cada prova admite dois resultados – sucesso ou fracasso. 
• H3. a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso 1- p = q. 
• Define-se a variável Y como o número de sucesso das n provas. Logo , Y pode 
tornar os valores 0,1,2,3,.........,n. 
• n 
• Então a expressão geral da distribuição Binomial é: P ( Y = y ) = Y P y .q n-y 
 
• Porem sua média é: μ(x) = n.P 
• suavariância é: σ2(x) = n.P.q 
• E seu desvio é: σ(x) = √ λt 
 
• Ex: 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
• Em muitos casos, conhece-se o número de sucessos, se torna difícil e ás vezes, 
sem sentido, determinar o número de fracassos ou o número total de provas. Por 
exemplo: Automóveis que passam numa esquina. Pode-se num determinado 
intervalo de tempo anotar o número de carros que passaram porém, o número de 
carros que deixaram de passar pela esquina não poderá ser determinado. 
• Analisando e o exemplo acima, verifica-se que há uma variável t e quando t→∞ a 
probabilidade tende a aumentar. 
• Para encontrar a expressão que dá a probabilidade de x sucesso num intervalo t, 
algumas hipóteses precisam ser admitidas: 
• H1. P( X = 1, Δt) = λ Δt 
• H2. P( X >1 , Δt) = 0 
• H3. P( X = 0, Δt ) = 1 - λ Δt 
• H4. As ocorrências de sucessos em intervalos são independentes 
• Para encontra a expressão que dá P(x,t) , ou seja a probabilidade de x sucessos no 
intervalo t, pode-se calcular o limite de uma distribuição binomial . 
• Portanto: P(x, t) = (( λt )X / X! ) . е -λt 
• Média : λt 
• Variância : λt 
• Desvio padrão: √ λt 
Distribuições Contínuas de Probabilidade 
• Def : É a mais importantes distribuição de probabilidade, sendo aplicada em 
inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística. 
• É também conhecida como distribuição de Gauss,Laplace ou Laplace- Gauss. 
 
• Distribuição Normal Padrão 
• É conhecida como distribuição normal padronizada ou reduzida. 
• Seja Z uma variável aleatória tal que: Zi = Xi - µ / σ , em que X é uma variável 
normal de média µ e variância σ2 . 
 
• Uso da Tabela de Distribuição Normal padrão 
• Há vários tipos de tabelas que oferecem as áreas ( probabilidades) sob a curva 
normal padrão. O tipo mais freqüente é a tabela de faixa central. 
• A tabela de faixa central dá a área sob a curva normal padrão entre z = 0 e qualquer 
valor positivo de Z. a simetria em torno de z = 0 permite obter a área entre quais 
quer valores de z ( positivo ou negativos). 
 
• Gráfico 
 
• Ex : 
Estimador ou Estatística 
• Dada uma amostra aleatória, estimador ou estatística é qualquer 
variável aleatória função dos elementos amostrais. Ou seja: 
• ^Θ = f ( X1, X2,..........,Xn) é um estimador de Θ . 
• Observe que a definição é extremamente elástica, permitindo que 
qualquer combinação das variáveis amostrais ( X1, X2,.....Xn) seja 
um estimador. 
• Obs: As medidas de posição , dispersão e assimetria são exemplo 
de estimadores. 
• Estimativa 
• O valor numérico de um estimador é conhecido como uma 
estimativa. Assim, x = 17,8 é uma estimativa da média populacional 
µ. 
Inferência ou indução estatística 
• Trata-se do processo de obter informações sobre uma população a partir 
de resultados observados na amostra. 
• De modo geral tem-se uma população com grande número de elementos, 
e deseja-se, a partir de uma amostra dessa população, conhecer “ o mais 
próximo possível” alguma características da população. 
• Seja X uma das variáveis da população que se deseja estudar. Seja θ uma 
característica ( medida) de X que se quer conhecer. Esse “conhecimento” 
de θ se dá pela construção de um estimador ^θ que revelará o valor mais 
aproximado θ a partir dos elementos amostrais. Assim: 
• Pop (N) Amostra (n) 
 
 
 
 
• inferência ou indução estatística 
• 
Intervalo de Confiança 
• Trata-se de uma técnica para se fazer inferência estatística.Ou seja , a partir de um 
intervalo de confiança, construído com os elementos amostrais, pode-se inferir sobre 
um populacional. 
• A construção de intervalos de confiança fundamenta-se nas distribuições amostrais. 
Sua lógica é a seguinte: 
• Seja θ um parâmetro populacional. 
• Seja θ^ um estimador de θ. 
• Conhecida a distribuição de probabilidade de θ^ , é possível construir um intervalo: 
• θ^ ≤ θ ≤ θ 
• que contém θ, e se exigir que a probabilidade do intervalo seja de ( 1 – α ) = nivel de 
confiança. 
• Geralmente ( 1 – α ) 100 = 90%; 95%; 99%........ 
• Esta técnica diferencia-se da estimação “por ponto “ , onde se calcula um único valor 
( estimativa) para o parâmetro populacional. No caso do intervalo de confiança 
busca-se um seguimento, ou intervalo θ^1; θ^2 que contem o parâmetro 
desconhecido. 
 
 
Intervalo de confiança para a Média Populacional 
• Como se sabe o estimador de µ é X . Também é conhecida a distribuição 
de probabilidade de X. 
• X = N ( µ; σ2 ) para as populações infinitas. 
• X = N (( µ; σ2 / n ( N – n / N – 1) ) Para populações finitas. 
 
• Assim para o caso de populações infinitas, a varias padronizadas de X. será: 
• 
• Z = X - µ / ( σ / √n ) 
• Fixando-se um nível de confiança : 1 - α tem-se: 
 
 
 
• Gráfico 
 
• Ou seja: P ( X - Z α /2 (σ / √n) ≤ µ ≤ Z α /2 (σ / √n) ) = 1 - α 
Como poderá ser verificado, a aplicação da fórmula é extremamente simples. Fixa-se o 
valor de 1- α, ou (1 – α) 100 = %, observa-se na tabela da Distribuição Normal Padrão o 
valor das abscissas que deixam α /2 em cada uma das caudas. 
• Com os valores de X ( média amostral) , σ = desvio – padrão da população, que 
neste caso é conhecido, e n ( tamanho da amostra), constrói-se o intervalo. 
 
• P ( X - Z α /2 (σ / √n) N-n / (N-1) ≤ µ ≤ Z α /2 (σ / √n) ) N-n / (N-1) ) = 1 - α 
 
Intervalo de confiança para proporção 
• Foi visto que f, o estimador de p, tem distribuição dada por: 
• F = N( p; p.q/n) para população infinita 
• F = N ( p; p.q/n ( N – n / N – 1)) para população finita . 
• Assim para o caso de população infinita, a variável padronizada de f é dada 
por: 
• Z = f-p / p – q /n 
 
• Fixando-se um nível de confiança 1 – α tem –se: 
 
 
 
• Gráfico 
 
 
Teste de Significância para a igualdade de duas Médias 
• 1º Caso : As variâncias populacionais são conhecidas, independentes e normais. 
• H1: µ1 ≠ µ2 ou µ1 - µ2 = d onde d > 0 é uma diferença admitida entre as 
médias. 
 
• H1: µ1 ≠ µ2 ou µ1 - µ2 ≠ d Os testes unicaudais são permitidos. 
 
• 2º) Fixar α. Escolhe a variável normal padrão Z. 
• 3º) Com auxilio da tabela da distribuição normal padrão, determinar RA e RC. 
• ( X1 – X2 ) - d 
• 4º) Cálculo do valor da variável Zcal = __________________________ 
• (( σ21)/ n1 ) + (( σ
22)/ n2) 
 
• 5º) Conclusões: 
 
• Se - Z α/2 ≤ Zcal ≤ Z α/2 não se pode rejeitar H0 
• Se Zcal > Z α/2 ou Zcal < - Z α/2, rejeita-se H0. 
 
• Grafico: 
 
 
 
Teste de significância para a igualdade de duas 
proporções 
• 1. Ho: P1 = P2 
• H1: P1 ≠ P2 
• 2. Fixar α. Escolher a variável normal padrão:Z 
• 3. Com auxilio da tabela da distribuição normal padrão, determina-se RA e 
RC. 
• 4. Calculo do valor da variável Zcal = f1 - f2 
• p^ ( 1 – p^) (1/n1 + 1/n2) 
• Onde f1 e f2 são frequencias relativas amostrais : P^ é o estimador comum 
a p1 e p2 dado por : 
• P^= X1- X2 / n1+n2 f1= X1/n1 e f2= x2/n2• Conclusões: 
• Se - Z α/2 ≤ Zcal ≤ Z α/2 não se pode rejeitar H0 
• Se Zcal > Z α/2 ou Zcal < - Z α/2, rejeita-se H0. 
• Grafico: 
 Faculdade Pitágoras 
Tema: Introdução à Estatística 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
FONSECA, J.S.; MARTINS, G.A. (1993). Curso de estatística. 4a ed. São Paulo: Atlas. 
LAPONNI, Juan Carlos (1997). Estatística usando o Excel. São Paulo: Lapponi 
Treinamento e Editora. 
 
Farias, A. A.; Soares, J. F. & Cesar, C.C. Introdução à Estatística. 2ª Ed., LTC - Livros Técnicos e 
Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2003 
 
Montgomery, D. C. & Runger, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 2a Ed., 
LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2003 
 
Bhattacharyya, G. K. & Johnson, R. A. Statistical Concepts and Methods. John Wiley & Sons,New 
York,1977. 
 
Werkema, M. C. C. Ferramentas Estatísticas Básicas para o Gerenciamento de Processos. Volume 2 
da Série Ferramentas da Qualidade. Fundação Cristiano Ottoni, EE-UFMG, Belo Horizonte, 1995. 
 
Werkema, M. C. C. Como Estabelecer Conclusões com Confiança: Entendendo Inferência 
Estatística. Volume 4 da Série Ferramentas da Qualidade. Fundação Cristiano Ottoni, EE-UFMG, 
Belo Horizonte, 1996. .