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DisciplinaIntrodução à Lógica144 materiais2.173 seguidores
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tomadas 3 a 3. 
(B,O,L); (B,O,A); (B,L,A); (O,L,A) 
 Se permutarmos os elementos das combinações acima, teremos exatamente os arranjos 
simples daqueles elementos tomados 3 a 3. Como cada conjunto tem 3 elementos, o número de 
permutações que podemos fazer é 3!. Portanto podemos escrever: 
\ud835\udc43! \u2219 \ud835\udc36\ud835\udc5b,\ud835\udc5d = \ud835\udc34\ud835\udc5b,\ud835\udc5d \u2194 \ud835\udc36\ud835\udc5b,\ud835\udc5d = \ud835\udc34\ud835\udc5b,\ud835\udc5d\ud835\udc43! 
\uf0a7 Exemplos: 
 
1) Num campeonato de futebol estão inscritos 10 times. Sabendo que cada dois times jogam 
exatamente uma partida, qual é o número de partidas desse campeonato? 
 
 
Solução: 
 
 Nesse caso devemos formar agrupamentos de 10 elementos tomados 2 a 2 que diferem 
entre si pela natureza dos elementos. Logo o número de partidas é dado por 
\ud835\udc3610,2 = \ud835\udc3410,22! = 10 \u2219 92 = 4 
 
2) Uma prova tem 12 questões das quais um aluno deve escolher 10. De quantas maneiras o 
aluno poderá escolher as 10 questões? 
 
Solução: 
 
Observe que não importa a ordem na qual o aluno escolhe as 10 questões, e sim apenas 
quais são elas. Logo, o número de escolher 10 questões entre as 12 é 
\ud835\udc3612,10 = \ud835\udc3412,1010! = 12!10! \u2219 (12 \u2212 10)! = 66 
 
 
 
 
 
5 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 
 
 
Problemas que envolvem arranjos ou combinações 
 
 Basicamente, podemos gravar dois exemplos para diferenciar problemas de arranjos ou 
combinações, vejamos. 
 
1) Quantos triângulos conseguimos formar com 6 pontos distintos sobre um 
circunferência? 
 
Solução: 
 
 A B 
 
 F C 
 
 E D 
 
 
Primeiro escolhemos 3 pontos quaisquer para formar um triângulo, digamos, ACE. Vamos agora 
mudar a ordem de agrupamento e formar o \u201cnovo\u201d triângulo, por exemplo, CAE. Observe que os 
triângulos ACE e CAE são iguais, ou seja, não importa a ordem dos elementos A, C e E, eles 
sempre representam o mesmo triângulo. Portanto, esse é um problema de combinação simples, e 
o número de triângulos que podemos formar é: 
\ud835\udc366,3 = 6!3! \u2219 (6 \u2212 3)! = 20 
 
2) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos podemos 
formar? 
 
 
Solução: 
 
Primeiro escolhemos 3 algarismos quaisquer e formamos um número, por exemplo, 234. 
Agora mudamos a ordem desses elementos para, por exemplo, 432. Pergunta: é uma nova 
solução para o problema? Sim, é um arranjo de 3 algarismos distintos diferente do anterior. 
Portanto, temos um problema de arranjos simples e a quantidade de números que podemos 
formar é: 
\ud835\udc345,3 = 5!(5 \u2212 3)! = 60 
 
 
Arranjos com repetição 
 
Se temos n objetos e queremos formar agrupamento desses n elementos tomados p a p, 0 \u2264 \ud835\udc5d \u2264 \ud835\udc5b, levando em conta a ordem e a natureza dos elementos, vimos que isso pode ser feito 
de \ud835\udc34\ud835\udc5b,\ud835\udc5d maneiras distintas. 
Agora, se pudermos repetir os elementos, isso significa que cada uma das p posições pode ser 
ocupada de n maneiras diferentes. Denotando o número de arranjos com repetição de n 
elementos tomados p a p por \ud835\udc34\ud835\udc45\ud835\udc5b,\ud835\udc5d = \ud835\udc5b\ud835\udc5d. 
 
\uf0a7 Exemplo: 
1) Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 
5, 6 e 8? 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 
6 
Solução: 
Como o problema não pede números com algarismos distintos, temos um arranjo com 
repetição de 7 elementos tomados 4 a 4. E isso pode ser feito de 
\ud835\udc34\ud835\udc457,4 = 74 = 2 401 maneiras diferentes. 
 
 
Combinações com repetição 
 
Vamos supor que uma sorveteria ofereça 4 sabores diferentes de sorvete: flocos (F), chocolate 
(C), morango (M) e brigadeiro (B). Uma pessoa quer uma casquinha com duas bolas. De quantas 
maneiras ela pode escolher entre os 4 sabores oferecidos? Observe que nada impede que a 
pessoa escolha as duas bolas do mesmo sabor. 
Vamos listar as possibilidades. 
 
FF CC MM BB 
FC CM MB 
FM CB 
FB 
 
O número de possibilidades é 10, que é maior do que \ud835\udc364,2 = 6, pois, como já dissemos, é 
permitido repetição de elementos. A tabela acima representa a lista das combinações com 
repetição de 4 elementos tomados 2 a 2. 
Vamos supor que a pessoa queira comprar 6 bolas de sorvete. Nesse caso, pelo menos um dos 
sabores deverá ser escolhido mais de uma vez. Algumas das possibilidades são: 
 
FFCMMB FCMBBB FFCCMM 
 
Se chamamos de \ud835\udc651 o número de bolas de flocos, \ud835\udc652 o número de bolas de chocolate, \ud835\udc653 o 
número de bolas de morango e \ud835\udc654 o número de bolas de brigadeiro, o que queremos, na verdade, 
é o número de soluços não negativas da equação \ud835\udc651 + \ud835\udc652 + \ud835\udc653 + \ud835\udc654 = 6 que é \ud835\udc369,3 = 84. 
Denotamos a combinação com repetição de 6 elementos tomadas 4 a 4 por \ud835\udc36\ud835\udc456,4. 
Em geral, o número de combinações com repetição de n elementos distintos tomados p a p 
é igual ao número de soluções da equação \ud835\udc651 + \ud835\udc652 + \u22ef . +\ud835\udc65\ud835\udc5b = \ud835\udc5d que é dado por 
 
\ud835\udc36\ud835\udc5b+\ud835\udc5d\u22121
\ud835\udc5b\u22121 = \ud835\udc36\ud835\udc5b+\ud835\udc5d\u22121\ud835\udc5d 
 
Importante: Na combinação simples de n elementos tomados p a p tínhamos p \u2264 n, o que não é 
necessário para combinações com repetição. 
 
\uf0a7 Exemplo: 
 
1) De quantos modos podemos comprar 5 garrafas de vinho numa loja que oferece 3 marcas 
diferentes de vinho? 
 
 Solução: 
 Basta contar o número de soluções inteiros não negativos da equação 
 \ud835\udc651 + \ud835\udc652 + \ud835\udc653 = 5 que é \ud835\udc367,2 = 21. 
 
 
 
 
 
7 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 
 
 
Exercícios - Análise Combinatória 
 
 
Aquecimento 
 
1. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3 e 5? 
 
 
 
2. Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA que não tem duas vogais juntas? 
 
 
 
3. Quantos números de 5 algarismos conseguimos formar com os algarismos 2, 2, 4, 4, 4? 
 
 
 
4. (PUC) Com 8 pessoas, quantos grupos diferentes de 2 pessoas podemos formar? 
 
 
 
5. (PUC - Adaptado) Considere placas de automóveis com códigos como esses: 
 
ANA \u2013 3457 BUM \u2013 5166 CHI \u2013 2005 
 
As letras são escolhidas em um alfabeto de 26 letras. Quantos códigos com letras distintas 
existem, terminados com o número 1 000? 
 
 
 
6. Quantos números diferentes podemos formar, permutando os algarismos do número 2248862? 
 
a) 10 d) 240 
 
b) 150 e) 420 
 
c) 180 
 
 
7. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com 5 
símbolos, em que cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de sigla 
possíveis é: 
 
a) 40 d) 140 
 
b) 60 e) 180 
 
c) 30 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 
8 
8. (UNIFOR) Uma agência de publicidade necessita de 2 rapazes e 3 moças para fazer um 
comercial para a TV. Dispondo de 4 rapazes e 5 moças, quantas opções têm a agência para 
formar o grupo necessário? 
 
a) 56 d) 122 
 
b) 60 e) 144 
 
c) 111 
 
 
 
 
 
9. (PUC - Minas) De quantos modos diferentes se podem organizar, em uma fila de 12 cadeiras, 5 
brasileiros, 4 italianos e 3 alemães, de modo que as pessoas da mesma nacionalidade fiquem 
sempre juntas? 
 
a) 103 680 d) 246 020 
 
b) 116 208 e) 356 040