Buscar

Formulário EDO

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 5 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

DERIVADAS 
 
• vuxf .)( = '.'.)(' vuvuxf += 
• wvuxf ..)( = '..'...'.)(' wvuwvuwvuxf ++= 
• 
v
u
xf =)( 2
'')('
v
uvvu
xf −= 
• 
nuxf =)( '.)(' 1uunxf n−= 
• 
uaxf =)( '..ln.)(' uaaxf u= 
• 
uexf =)( '.)(' uexf u= 
• uxf ln)( = 
u
u
xf ')(' = 
• uxf
a
log)( = 
au
u
xf
ln.
')(' = 
• uxf cos)( = usenuxf '.)(' −= 
• usenxf =)( uuxf cos')(' = 
• utgxf =)( uuxf 2sec'.)(' = 
• uxf cot)( = uuxf 2seccos'.)(' −= 
• uxf sec)( = utguuxf .sec'.)(' −= 
• uxf seccos)( = uuuxf cot.seccos'.)(' −= 
• 
vuxf =)( )'.ln'()('
ln'..'..)(' 1
u
u
v
uvuxf
uvuuuvxf
v
vv
+=
+= −
 
• uarcsenxf =)( 
21
')('
u
u
xf
−
= 
• uarcxf cos)( = 
21
)('
u
u
xf
−
−
= 
• uarctgxf =)( 21
')('
u
u
xf
+
= 
 
INTEGRAIS 
 
• ���	�� = ��	
��� 						(� ≠ −1) 
• � ���� =
�
� �� � 
• � �	������ =
�
� −
�
�� ��|�� + �| 
• � ������ =
�
� ��|�� + �| 
• � ���(����) =
�
� �� �
�
����� 
• � ��	������ =
(����)�
��� −
��(����)
�� +
��
�� ��|�� + �| 
• � ����(����) = −
�
�� +
�
�� �� �
����
� � 
• � ��(����)� =
��
�(����) 
• � �	��(����)� =
�
��(����) +
�
�� ��|�� + �| 
• � �	���(����)� =
(����)
�� −
��
��(����) −
��
�� ��|�� + �| 
• � ���(����)� =
�
�(����) +
�
�� �� �
�
����� 
• � ����(����) =
�����
����� +
��
�� �� �
�
����� 
 
 ! ± #! 
 
• � ��	������� =
��
� −
��
� ��|�� + ��| 
• � ��	������� =
��
� +
��
� ��|�� − ��| 
• � ��	������� = � − �	�$%	 &'
�
� 
• � ��	������� = � +
�
� �� �
���
���� 
• � �	������� =
�
� ��|�� + ��| 
• � �	������� =
�
� ��|�� − ��| 
• � ������� =
�
� 	�$%	 &'
�
� 
• � ������� =
�
�� �� �
���
���� 
 
• � ���(�����) =
�
��� �� �
�����
�� � 
• � ���(�����) =
�
��� �� �
��
������ 
• � ����(�����) =
�
��� +
�
��� �� �
���
���� 
• � ����(�����) = −
�
��� −
�
�� �$%	 &'
�
� 
• � ��	��(�����)� = −
�
�(�����)+
�
�� �$%	 &'
�
� 
• � �	��(�����)� = −
�
�(�����) 
 
√# + ) 
• �√� + ��	�� = �*� (� + ��)*/� 
• ��√� + ��	�� = ��,�� (3�� − 2�)(� + ��)*/� 
• � ��	��√���� 	 =
�
�,�� (3���� − 4��� + 8��) √� + �� 
• � �	��√���� 	 =
�
*�� (�� − 2�)√� + �� 
• � ��√���� 	 =
�√����
� 
 
1#! − ! 
 
• ��√�� − ��	�� = − �* (�� − ��)*/� 
• �√�� − ��	�� = ��√�� − �� +
��
� 23���
�
� 
• � ���√����� 	 = −
�
� �� 4
��√�����
� 4 
• � ��√����� 	= 23���
�
� 
• � �	��√����� 	= − √�� − �� 
• � ����√����� 	= −
√�����
��� 
• � ��	��√����� 	= −
�
�√�� − �� +
��
� 23���
�
� 
• � √�����	���� 	= −
√�����
� − 23���
�
� 
• � √�����	���� 	= √�� − �� − � �� 4
��√�����
� 4 
• � ��(�����)�/�	 	 = −
�
��√����� 
 
1 ! ± #! 
 
• ��1�� ± ��	�� = �* (�� ± ��)*/� 
• �1�� ± ��	�� = ��1�� ± �� ±
��
� �� �� + 1�� ± ��� 
• � ��	��1��±�� =
�
�1�� ± �� ∓
��
� �� �� + 1�� ± ��� 
• � ���1��±�� = 1�� ± �� 
• � ��1��±�� = �� �� + 1�� ± ��� 
• � 1��±��	���� = −
1��±��
� + �� �� + 1�� ± ��� 
• � 1��±��	��� = √�� − �� − � 23%�� �
�
�� 
• � √�����	��� = 1�� ± �� − � �� 4
��√�����
� 4 
• � 	����1��±�� = ∓
1��±��
��� 
• � 	���√����� =
�
� 23%�� �
�
�� 
• � 	���√����� = −
�
� �� 4
��√�����
� 4 
 
Trigonométricas 
 
• � 23�	(��)	�� = − �� %62	(��)		
• � 	%62(��)	�� = �� 23�	(��)		
• � 23��	(��)	�� = �� −
78�	(���)
9� 		
• � %62	�	(��)	�� = �� +
78�	(���)
9� 		
• � 23�	(��)	%62	(��)	�� = − :;7((���)�)�(���) −
:;7((���)�)
�(���) 					(� ≠ ±�)		
• � 23�	(��)	23�	(��)	�� = 78�((���)�)�(���) −
78�((���)�)
�(���) 								(� ≠ ±�)		
• � %62	(��)	%62	(��)	�� = 78�<(���)�=�(���) +
78�((���)�)
�(���) 									(� ≠ ±�)		
• ��	23�	(��)	�� = 78�	(��)�� −
� :;7(��)
� 		
• ��	%62(��)	�� = 	:;7(��)�� +
� 78�(��)
� 		
• � 23�	(��)	%62	(��)	�� = − :;7	(���)9� 		
• � 	:;7	(��)	��78�	(��) 	 =
�
� ��>23�(��)? 			
• � 	78�	(��)	��:;7	(��) 	 = −
�
� ��>%62	(��)? 			
• � 	 ����78�	(��)	 =
�
� &'	 @
A
9 +
��
� B 			
• � 	 ����78�	(��)	 = −
�
� &'	 @
A
9 −
��
� B 			
• � 	 ����:;7		(��)	 =
�
� &'	 @
��
� B 			
• � 	 ����:;7		(��)	 = −
�
� %6&'	 @
��
� B 			
• � 23���	(��)	�� =	x	23���	(��) + ��√1 − ����	
• � %62	��	(��)	�� =	x	%62	��	(��) − ��√1 − ����	
• � 	&'(��)	�� = − �� ��>%62	(��)?		
• � 	&'�(��)	23%�(��)	�� = DE�	
	(��)(���)� 		
• � 	&'*(��)	�� = DE�	(��)�� +
�
� ��>%62	(��)?		
• � 	&'�(��)	�� = DE	(��)� − �		
• ��	&'�(��)	�� = �	DE	(��)� +
�
�� ��>%62	(��)? −
��
� 		
• � 	 ��DE(��) =
�
� ��>23�	(��)?		
• � 	78:�(��)	��DE(��) =
�
� ��>&'	(��)?		
• � 	%6&'*(��)	�� = − :;DE�	(��)�� −
�
� ��>23�	(��)?		
• � 	%6&'�(��)	�� = − :;DE	(��)� − �		
• � %6&'(��)	�� = �� ��>23�	(��)?		
• ��	%6&'�(��)	�� = �	:;DE	(��)� +
�
�� ��>23�	(��)? −
��
� 		
• � 	 ��:;DE(��) = −
�
� ��>%62		(��)?		
• � 	23%*(��)	�� = − 78:(��)	DE(��)�� +
�
�� ��>23%	(��) + &'(��)?		
• � 	23%�(��)	�� = DE(��)� 		
• � 23%(��)	�� = �� ��>23%	(��) + &'(��)?		
• � 	�	23%�(��)	�� = �	DE(��)� +
�
�� ��>%62		(��)?		
• � ��78:(��)	 =
�
� 23�	(��)		
• � 	%623%�(��)	�� = − :;DE(��)� 		
• � %623%(��)	�� = �� �� F&' @
��
� BG		
• � ��:;78:(��)	 = −
�
� %62	(��)		
• � 	�	%623%�(��)	�� = − �	:;DE(��)� +
�
�� ��>23�(��)?		
• � &'��(��)	�� = �	&'��(��) − ��� ��>1 + ����?		
 
Exp. e log. 
 
• � 3���� = 8HI� 
• ���	3���� = 8HI� @�� −
��
� +
�
��B 
• ��	3���� = 8HI� @� −
�
�B 
• � 8HI� �� = �� � +
(��)
�.�! +
(��)�
�.�! +
(��)�
*.*! +
(��)L
9.9! +⋯ 
• � �����8NI =
�
� −
�
:� ��>� + �3:�? 
• � 23�(��)	3���� = 8OI>�	78�(��)�	� :;7(��)?����� 
• � %62	(��)	3���� = 8OI>�	:;7	(��)�	� 78�(��)?����� 
• �� ��(�) �� = ��� @��(�) −
�
�B 
• � ��(�) �� = �	��(�) − � 
• � ��(��) �� = �	��(��) − � 
• � ���(�) �� = �	���(�) − 2 �	��(�) + 2� 
• ��� ��(��)�� = ��	
 P�(��)��� −
��	
(���)� 						(� ≠ −1) 
• � ��� P�(�) = ��(��(�)) 
• � P�(��)���� = −
P�(��)
� −
�
� 
• � P�(�)��� =
�
� ���(�) 
• � P�O(�)��� =
P�O	
(�)
��� 						(� ≠ −1) 
• � >P�(��)?O��� =
>P�(��)?O	
��� 						(� ≠ −1) 
• � ��(�� + ��) �� = �	��(�� + ��) − 2� + 2�	�$%	&' @��B 
• � 3��	23�(��)	�� = 8OI>�	78�(��)�	� :;7(��)?����� 
• � 3��	%62	(��)	�� = 8OI>�	:;7	(��)�	� 78�(��)?����� 
Hiperbólicas 
 
• � 23�ℎ(��)	�� = �� %62ℎ	(��) 
• � 	%62ℎ(��)	�� = �� 23�ℎ(��)		
• � 23�ℎ�	(��)	�� = �� +
78�R	(���)
9� 		
• � %62ℎ	�	(��)	�� = �� +
78�R	(���)
9� 		
• ��	23�ℎ(��)	�� = − 78�R	(��)�� +
� :;7 R(��)
� 		
• ��	%62ℎ(��)	�� = − 	:;7R(��)�� +
� 78�R(��)
� 		
• � 	&'ℎ(��)	�� = �� ��>%62ℎ(��)?		
• � 	&'ℎ�(��)	�� = − DER(��)� + �		
• � 	%6&'ℎ�(��)	�� = − :;DER(��)� + �		
• � %6&'ℎ(��)	�� = �� ��>23�ℎ(��)?		
• � 	23%ℎ�(��)	�� = DER(��)� 		
• � 23%ℎ(��)	�� = �� sen��>&'ℎ(��)?		
• ���	23�ℎ(��)	�� = @��� +
�
��B %62ℎ(��) −
��	
�� 23�ℎ	(��)		
• ��	23�ℎ�(��)	�� = �	78�R	(���)9� −
:;7R(���)
V�� −
��
9 		
• ��	%62ℎ�(��)	�� = � 78�R(���)9� −
	:;7R(��)
V�� 		
• ���	%62ℎ(��)	�� = @��� +
�
��B 23�ℎ	(��) −
��	
�� %62ℎ(2��)		
• � ��78�R(��)	 =
�
� �� F&'ℎ @
��
� BG		
• � ��78�R�(��)	 = −
:;DER(��)
� 		
• � ��:;7R(��)	 =
�
� �$%	&'(3��)		
• � 23�ℎ(��)	%62ℎ(��)	�� = :;7R((���)�)�(���) +
:;7R((���)�)
�(���) 					(� ≠ ±�)		
• � 23�ℎ(��)	%62ℎ(��)	�� = 78�R�(��)�� 		
• � 3��	23�ℎ(��)	�� = 8OI� F
8HI
��� −
8WHI
��� G												�� ≠ �� 
• � 3��	%62ℎ(��)	�� = 8OI� F
8HI
��� +
8WHI
��� G												�� ≠ �� 
	
“COLAS” 
 
Homogêneas: 
 x.uy =Redutiveis as Homogêneas ou as Separáveis: 
 






++
++
=
222
111
cybxa
cybxa
F
dx
dy
 
a) O determinante 
22
11
ba
ba
 é diferente de zero 
 



=++
=++
0cybxa
0cybxa
222
111 x = α e y = β . 
 



=∴+=
=∴+=
dvdyvy
dudxux
β
α
 
 
b) O determinante 
22
11
ba
ba
 é igual a zero: 






++
++
=
211
111
c)ybxa(m
cybxaF
dx
dy
 
 
Exatas: 
 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ 
 
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
 ∫ ∫ =





∂
∂
−+ Cdy
y
PNMdx 
 
Fator integrante: 
 
 





∂
∂
−
∂
∂
=
x
N
y
M
N
1)x(R 





∂
∂
−
∂
∂
−=
x
N
y
M
M
1)y(R 
 ∫=
dx)x(R
e)x(F ∫= dy)y(Re)y(F 
 
Lineares: 
 )x(Qy)x(P
dx
dy
=+ 


 +∫= ∫∫
− Cdx.Q.eey PdxPdx 
 
 
Bernoulli: 
 ny)x(Qy)x(P
dx
dy
=+ 
 ty n1 =− 
 
 
Ricatti: 
 )x(Ry)x(Qy)x(P
dx
dy 2 ++= 
 
 zyy 0 += 
 
Homogêneas com coeficientes constantes: 
 
• Raízes reais distintas: 
 
x
n
xxx neCeCeCeCy λλλλ ++++= ...321 321 
• Raízes reais iguais: 
xλ1n
n
2
321 e)xC...xCxCC(y −++++=
 
 
• Raízes complexas conjugadas )( bia ± 
[ ]senbxCbxCey ax 21 cos += 
 
 
Homogêneas com coeficientes variáveis: 
t
t
t
t
t
e
dt
dy
dt
yd
dt
yd
dx
yd
e
dt
dy
dt
yd
dx
yd
dt
dy
e
dx
dy
e
dx
dt
aebax
3
2
2
3
3
3
3
2
2
2
2
2
.23
.
−
−
−
−






+−=






−=
=
=
=+
 
 
 
• Raízes reais distintas: 
 
21
21)( mm xCxCxy +=
 
 
• Raízes reais iguais: 
m
21 x))xln(CC()x(y +=
 
 
• Raízes complexas conjugadas )( bia ± 
)]ln()lncos([)( 21 xbsenCxbCxxy a += 
 
 
SOLUÇÃO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES): 
 
Termo em r(x) Proposta para yp(x) 
xαke xCeα 
,...)1,0n(kxn = 011n1nnn CxC...xCxC ++++ −− 



xαKsen
xαcosK
 xαsenCxαcosC 21 + 




xβsenke
xβcoske
xα
xα
 )xβsenCxβcosC(e 21xα + 
 
SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS: 
 
yp=y1(x).u1 + y2(x).u2+...+yn(x)yn 
 
∫= dxxW
xrxW
u )(
)().(1
1 , ∫= dxxW
xrxW
u )(
)().(2
2 , .... ∫= dxxW
xrxW
u nn )(
)().(
 
 
 
 
)(),...,,(
11
2
1
1
''
2
'
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n ==
−−−
L
MLMM
L
L
 
 
 
11
2
''
2
2
1
1
0
0
−−
=
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
L
MLMM
L
L
 , 
11
1
''
1
1
2
1
0
0
−−
=
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
L
MLMM
L
L
, ...., 
1
0
0
1
2
1
1
'
2
'
1
21
L
MLMM
L
L
−−
=
nn
n
yy
yy
yy
W 
 
SOLUÇÃO POR OPERADOR DERIVADA: 
 
• Operador inverso ∫
−
=
−
dxueeu
aD
axax
..
1
, a ∈ℜ. 
• Operador direto u.aDuu)aD( −=− au
dx
du
−= , a ∈ℜ. 
• Anuladores: 
� O operador diferencial 
nD anula cada uma das funções 1n2 x,,x,x,1 −K . Então, um 
polinômio 
1n
1n
2
210 xcxcxcc
−
−
++++ K é anulado por um operador que anula a maior 
potencia de )D(x n . 
� O operador diferencial 
n)αD( − anula cada uma das funções 
xα1nxα2xαxα
ex,,ex,xe,e
−
K . 
� O operador diferencial 
n222 )]βα(Dα2D[ ++− anula cada uma das funções
xsenexxsenexxsenxexsene
xexxexxxexe
xnxxx
xnaxx
ββββ
ββββ
αααα
αααα
12
12
,,,,
,cos,cos,cos,cos,
−
−
K
K
 
 
 
 
AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS 
Sejam nλλλ ,,, 21 K ,n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do sistema X’ = AX, e 
seja k1, k2, …, kn os autovetores correspondentes. Então a solução geral do sistema no intervalo 
),( ∞−∞ é dada por: 
t
nn
tt nekcekcekcX λλλ +++= K21 2211 
AUTOVALORES COMPLEXOS 
Seja A a matriz dos coeficientes, com elementos reais do sistema X’=AX, e sejam k1, o autovetor 
correspondente ao autovalor complexo βαλ i+=1 , com α e β reais. Então 
t
ekX 111
λ
= e 
t
ekX 112
λ
= 
São soluções do sistema. Onde 
 { } { }( ) tetktkX αββ sinImcosRe 111 −= 
 { } { }( ) atetktkX ββ sinRecosIm 112 += 
AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS 
Na resolução de um sistema, quando os autovalores tem multiplicidade dois, deve-se verificar se o 
autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores, se isso não ocorrer, deve-se obter as soluções 
restantes da seguinte maneira: 
tekX 111
λ
= 
tt
ektekX 21 212
λλ += 
onde k2 deve ser determinado. No caso de autovalores de multiplicidade m, tem-se m soluções para o 
sistema: 
t
m
t
m
t
m
m
meke
m
tke
m
tkX λλλ ++
−
+
−
=
−−
K21 )!2()!1(
2
2
1
1 
onde k2, k3, …, km devem ser determinados. 
Supondo agora que 1λ seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um autovetor 
associado a esse valor. Pode-se achar a uma solução da forma 
tt PeKteX 112
λλ += (*) 
devemos ter: 
 
KPIA
KIA
=−
=−
)(
0)(
1
1
λ
λ
 
COEFICIENTES INDETERMINADOS 
)()( tFXtA
dt
dX
+= 
 
)(' tfAXX pp += 
 
VARIAÇÃO DE PARÂMETRO 
∫
−
= dttFttX p )()()( 1φφ 
Denomina-se solução geral aquela que contém funções arbitrárias e solução completa a que contém 
constantes arbitrárias. 
x
zp
∂
∂
= ; 
y
zq
∂
∂
= 
 
MÉTODO DE CHARPIT: 
 
 0=






∂
∂
+
∂
∂
−
=






∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
q
z
F
y
F
dq
p
z
F
x
F
dp
q
Fq
p
Fp
dz
q
F
dy
p
F
dx
 
MÉTODO DE LAGRANGE: 
RQqPp =+ qdypdxdz += 
R
dz
Q
dy
P
dx
== 
 
 
 
SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS 
)y(v)x(u)y,x(z =
 
 
'uv
y
z
,v'u
x
z
=
∂
∂
=
∂
∂
 e "uv
y
u
,v"u
x
z
2
2
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
 
Caso 1: k > 0 
 As soluções gerais serão: 



+=
+= −
yksenCykCv
eCeCu xkxk
43
21
cos
 
Caso 2: k < 0 
 As soluções gerais serão: 




+=
−+−=
−−− ykyk eCeCv
xksenCxkCu
43
21 cos
 
 
Lembrando que cos(ix) = cosh(x) 
 
Caso 3: k = 0 
 As soluções gerais serão: 



+=
+=
yCCv
xCCu
43
21
 
 
Obs.: A cada caso corresponde uma solução completa da forma )()(),( yvxuyxz ⋅= 
 
A equação de derivadas parciais linear de segunda ordem 
 
 0Fz
y
zE
x
zD
y
zC
yx
zB
x
zA 2
22
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
 
 
ondeA, B, C, D, E e F são constantes reais, é: 
hiperbólica se 0AC4B 2 >− , 
parabólica se 0AC4B 2 =− , 
elíptica se 0AC4B 2 <−

Outros materiais