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DERIVADAS • vuxf .)( = '.'.)(' vuvuxf += • wvuxf ..)( = '..'...'.)(' wvuwvuwvuxf ++= • v u xf =)( 2 '')(' v uvvu xf −= • nuxf =)( '.)(' 1uunxf n−= • uaxf =)( '..ln.)(' uaaxf u= • uexf =)( '.)(' uexf u= • uxf ln)( = u u xf ')(' = • uxf a log)( = au u xf ln. ')(' = • uxf cos)( = usenuxf '.)(' −= • usenxf =)( uuxf cos')(' = • utgxf =)( uuxf 2sec'.)(' = • uxf cot)( = uuxf 2seccos'.)(' −= • uxf sec)( = utguuxf .sec'.)(' −= • uxf seccos)( = uuuxf cot.seccos'.)(' −= • vuxf =)( )'.ln'()(' ln'..'..)(' 1 u u v uvuxf uvuuuvxf v vv += += − • uarcsenxf =)( 21 ')(' u u xf − = • uarcxf cos)( = 21 )(' u u xf − − = • uarctgxf =)( 21 ')(' u u xf + = INTEGRAIS • ��� �� = �� ��� (� ≠ −1) • � ���� = � � �� � • � � ������ = � � − � �� ��|�� + �| • � ������ = � � ��|�� + �| • � ���(����) = � � �� � � ����� • � �� ������ = (����)� ��� − ��(����) �� + �� �� ��|�� + �| • � ����(����) = − � �� + � �� �� � ���� � � • � ��(����)� = �� �(����) • � � ��(����)� = � ��(����) + � �� ��|�� + �| • � � ���(����)� = (����) �� − �� ��(����) − �� �� ��|�� + �| • � ���(����)� = � �(����) + � �� �� � � ����� • � ����(����) = ����� ����� + �� �� �� � � ����� ! ± #! • � �� ������� = �� � − �� � ��|�� + ��| • � �� ������� = �� � + �� � ��|�� − ��| • � �� ������� = � − � �$% &' � � • � �� ������� = � + � � �� � ��� ���� • � � ������� = � � ��|�� + ��| • � � ������� = � � ��|�� − ��| • � ������� = � � �$% &' � � • � ������� = � �� �� � ��� ���� • � ���(�����) = � ��� �� � ����� �� � • � ���(�����) = � ��� �� � �� ������ • � ����(�����) = � ��� + � ��� �� � ��� ���� • � ����(�����) = − � ��� − � �� �$% &' � � • � �� ��(�����)� = − � �(�����)+ � �� �$% &' � � • � � ��(�����)� = − � �(�����) √# + ) • �√� + �� �� = �*� (� + ��)*/� • ��√� + �� �� = ��,�� (3�� − 2�)(� + ��)*/� • � �� ��√���� = � �,�� (3���� − 4��� + 8��) √� + �� • � � ��√���� = � *�� (�� − 2�)√� + �� • � ��√���� = �√���� � 1#! − ! • ��√�� − �� �� = − �* (�� − ��)*/� • �√�� − �� �� = ��√�� − �� + �� � 23��� � � • � ���√����� = − � � �� 4 ��√����� � 4 • � ��√����� = 23��� � � • � � ��√����� = − √�� − �� • � ����√����� = − √����� ��� • � �� ��√����� = − � �√�� − �� + �� � 23��� � � • � √����� ���� = − √����� � − 23��� � � • � √����� ���� = √�� − �� − � �� 4 ��√����� � 4 • � ��(�����)�/� = − � ��√����� 1 ! ± #! • ��1�� ± �� �� = �* (�� ± ��)*/� • �1�� ± �� �� = ��1�� ± �� ± �� � �� �� + 1�� ± ��� • � �� ��1��±�� = � �1�� ± �� ∓ �� � �� �� + 1�� ± ��� • � ���1��±�� = 1�� ± �� • � ��1��±�� = �� �� + 1�� ± ��� • � 1��±�� ���� = − 1��±�� � + �� �� + 1�� ± ��� • � 1��±�� ��� = √�� − �� − � 23%�� � � �� • � √����� ��� = 1�� ± �� − � �� 4 ��√����� � 4 • � ����1��±�� = ∓ 1��±�� ��� • � ���√����� = � � 23%�� � � �� • � ���√����� = − � � �� 4 ��√����� � 4 Trigonométricas • � 23� (��) �� = − �� %62 (��) • � %62(��) �� = �� 23� (��) • � 23�� (��) �� = �� − 78� (���) 9� • � %62 � (��) �� = �� + 78� (���) 9� • � 23� (��) %62 (��) �� = − :;7((���)�)�(���) − :;7((���)�) �(���) (� ≠ ±�) • � 23� (��) 23� (��) �� = 78�((���)�)�(���) − 78�((���)�) �(���) (� ≠ ±�) • � %62 (��) %62 (��) �� = 78�<(���)�=�(���) + 78�((���)�) �(���) (� ≠ ±�) • �� 23� (��) �� = 78� (��)�� − � :;7(��) � • �� %62(��) �� = :;7(��)�� + � 78�(��) � • � 23� (��) %62 (��) �� = − :;7 (���)9� • � :;7 (��) ��78� (��) = � � ��>23�(��)? • � 78� (��) ��:;7 (��) = − � � ��>%62 (��)? • � ����78� (��) = � � &' @ A 9 + �� � B • � ����78� (��) = − � � &' @ A 9 − �� � B • � ����:;7 (��) = � � &' @ �� � B • � ����:;7 (��) = − � � %6&' @ �� � B • � 23��� (��) �� = x 23��� (��) + ��√1 − ���� • � %62 �� (��) �� = x %62 �� (��) − ��√1 − ���� • � &'(��) �� = − �� ��>%62 (��)? • � &'�(��) 23%�(��) �� = DE� (��)(���)� • � &'*(��) �� = DE� (��)�� + � � ��>%62 (��)? • � &'�(��) �� = DE (��)� − � • �� &'�(��) �� = � DE (��)� + � �� ��>%62 (��)? − �� � • � ��DE(��) = � � ��>23� (��)? • � 78:�(��) ��DE(��) = � � ��>&' (��)? • � %6&'*(��) �� = − :;DE� (��)�� − � � ��>23� (��)? • � %6&'�(��) �� = − :;DE (��)� − � • � %6&'(��) �� = �� ��>23� (��)? • �� %6&'�(��) �� = � :;DE (��)� + � �� ��>23� (��)? − �� � • � ��:;DE(��) = − � � ��>%62 (��)? • � 23%*(��) �� = − 78:(��) DE(��)�� + � �� ��>23% (��) + &'(��)? • � 23%�(��) �� = DE(��)� • � 23%(��) �� = �� ��>23% (��) + &'(��)? • � � 23%�(��) �� = � DE(��)� + � �� ��>%62 (��)? • � ��78:(��) = � � 23� (��) • � %623%�(��) �� = − :;DE(��)� • � %623%(��) �� = �� �� F&' @ �� � BG • � ��:;78:(��) = − � � %62 (��) • � � %623%�(��) �� = − � :;DE(��)� + � �� ��>23�(��)? • � &'��(��) �� = � &'��(��) − ��� ��>1 + ����? Exp. e log. • � 3���� = 8HI� • ��� 3���� = 8HI� @�� − �� � + � ��B • �� 3���� = 8HI� @� − � �B • � 8HI� �� = �� � + (��) �.�! + (��)� �.�! + (��)� *.*! + (��)L 9.9! +⋯ • � �����8NI = � � − � :� ��>� + �3:�? • � 23�(��) 3���� = 8OI>� 78�(��)� � :;7(��)?����� • � %62 (��) 3���� = 8OI>� :;7 (��)� � 78�(��)?����� • �� ��(�) �� = ��� @��(�) − � �B • � ��(�) �� = � ��(�) − � • � ��(��) �� = � ��(��) − � • � ���(�) �� = � ���(�) − 2 � ��(�) + 2� • ��� ��(��)�� = �� P�(��)��� − �� (���)� (� ≠ −1) • � ��� P�(�) = ��(��(�)) • � P�(��)���� = − P�(��) � − � � • � P�(�)��� = � � ���(�) • � P�O(�)��� = P�O (�) ��� (� ≠ −1) • � >P�(��)?O��� = >P�(��)?O ��� (� ≠ −1) • � ��(�� + ��) �� = � ��(�� + ��) − 2� + 2� �$% &' @��B • � 3�� 23�(��) �� = 8OI>� 78�(��)� � :;7(��)?����� • � 3�� %62 (��) �� = 8OI>� :;7 (��)� � 78�(��)?����� Hiperbólicas • � 23�ℎ(��) �� = �� %62ℎ (��) • � %62ℎ(��) �� = �� 23�ℎ(��) • � 23�ℎ� (��) �� = �� + 78�R (���) 9� • � %62ℎ � (��) �� = �� + 78�R (���) 9� • �� 23�ℎ(��) �� = − 78�R (��)�� + � :;7 R(��) � • �� %62ℎ(��) �� = − :;7R(��)�� + � 78�R(��) � • � &'ℎ(��) �� = �� ��>%62ℎ(��)? • � &'ℎ�(��) �� = − DER(��)� + � • � %6&'ℎ�(��) �� = − :;DER(��)� + � • � %6&'ℎ(��) �� = �� ��>23�ℎ(��)? • � 23%ℎ�(��) �� = DER(��)� • � 23%ℎ(��) �� = �� sen��>&'ℎ(��)? • ��� 23�ℎ(��) �� = @��� + � ��B %62ℎ(��) − �� �� 23�ℎ (��) • �� 23�ℎ�(��) �� = � 78�R (���)9� − :;7R(���) V�� − �� 9 • �� %62ℎ�(��) �� = � 78�R(���)9� − :;7R(��) V�� • ��� %62ℎ(��) �� = @��� + � ��B 23�ℎ (��) − �� �� %62ℎ(2��) • � ��78�R(��) = � � �� F&'ℎ @ �� � BG • � ��78�R�(��) = − :;DER(��) � • � ��:;7R(��) = � � �$% &'(3��) • � 23�ℎ(��) %62ℎ(��) �� = :;7R((���)�)�(���) + :;7R((���)�) �(���) (� ≠ ±�) • � 23�ℎ(��) %62ℎ(��) �� = 78�R�(��)�� • � 3�� 23�ℎ(��) �� = 8OI� F 8HI ��� − 8WHI ��� G �� ≠ �� • � 3�� %62ℎ(��) �� = 8OI� F 8HI ��� + 8WHI ��� G �� ≠ �� “COLAS” Homogêneas: x.uy =Redutiveis as Homogêneas ou as Separáveis: ++ ++ = 222 111 cybxa cybxa F dx dy a) O determinante 22 11 ba ba é diferente de zero =++ =++ 0cybxa 0cybxa 222 111 x = α e y = β . =∴+= =∴+= dvdyvy dudxux β α b) O determinante 22 11 ba ba é igual a zero: ++ ++ = 211 111 c)ybxa(m cybxaF dx dy Exatas: 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ∫ = ∂ ∂ −+ Cdy y PNMdx Fator integrante: ∂ ∂ − ∂ ∂ = x N y M N 1)x(R ∂ ∂ − ∂ ∂ −= x N y M M 1)y(R ∫= dx)x(R e)x(F ∫= dy)y(Re)y(F Lineares: )x(Qy)x(P dx dy =+ +∫= ∫∫ − Cdx.Q.eey PdxPdx Bernoulli: ny)x(Qy)x(P dx dy =+ ty n1 =− Ricatti: )x(Ry)x(Qy)x(P dx dy 2 ++= zyy 0 += Homogêneas com coeficientes constantes: • Raízes reais distintas: x n xxx neCeCeCeCy λλλλ ++++= ...321 321 • Raízes reais iguais: xλ1n n 2 321 e)xC...xCxCC(y −++++= • Raízes complexas conjugadas )( bia ± [ ]senbxCbxCey ax 21 cos += Homogêneas com coeficientes variáveis: t t t t t e dt dy dt yd dt yd dx yd e dt dy dt yd dx yd dt dy e dx dy e dx dt aebax 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 .23 . − − − − +−= −= = = =+ • Raízes reais distintas: 21 21)( mm xCxCxy += • Raízes reais iguais: m 21 x))xln(CC()x(y += • Raízes complexas conjugadas )( bia ± )]ln()lncos([)( 21 xbsenCxbCxxy a += SOLUÇÃO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES): Termo em r(x) Proposta para yp(x) xαke xCeα ,...)1,0n(kxn = 011n1nnn CxC...xCxC ++++ −− xαKsen xαcosK xαsenCxαcosC 21 + xβsenke xβcoske xα xα )xβsenCxβcosC(e 21xα + SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS: yp=y1(x).u1 + y2(x).u2+...+yn(x)yn ∫= dxxW xrxW u )( )().(1 1 , ∫= dxxW xrxW u )( )().(2 2 , .... ∫= dxxW xrxW u nn )( )().( )(),...,,( 11 2 1 1 '' 2 ' 1 21 21 xW yyy yyy yyy yyyW n n nn n n n == −−− L MLMM L L 11 2 '' 2 2 1 1 0 0 −− = n n n n n yy yy yy W L MLMM L L , 11 1 '' 1 1 2 1 0 0 −− = n n n n n yy yy yy W L MLMM L L , ...., 1 0 0 1 2 1 1 ' 2 ' 1 21 L MLMM L L −− = nn n yy yy yy W SOLUÇÃO POR OPERADOR DERIVADA: • Operador inverso ∫ − = − dxueeu aD axax .. 1 , a ∈ℜ. • Operador direto u.aDuu)aD( −=− au dx du −= , a ∈ℜ. • Anuladores: � O operador diferencial nD anula cada uma das funções 1n2 x,,x,x,1 −K . Então, um polinômio 1n 1n 2 210 xcxcxcc − − ++++ K é anulado por um operador que anula a maior potencia de )D(x n . � O operador diferencial n)αD( − anula cada uma das funções xα1nxα2xαxα ex,,ex,xe,e − K . � O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ ++− anula cada uma das funções xsenexxsenexxsenxexsene xexxexxxexe xnxxx xnaxx ββββ ββββ αααα αααα 12 12 ,,,, ,cos,cos,cos,cos, − − K K AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS Sejam nλλλ ,,, 21 K ,n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do sistema X’ = AX, e seja k1, k2, …, kn os autovetores correspondentes. Então a solução geral do sistema no intervalo ),( ∞−∞ é dada por: t nn tt nekcekcekcX λλλ +++= K21 2211 AUTOVALORES COMPLEXOS Seja A a matriz dos coeficientes, com elementos reais do sistema X’=AX, e sejam k1, o autovetor correspondente ao autovalor complexo βαλ i+=1 , com α e β reais. Então t ekX 111 λ = e t ekX 112 λ = São soluções do sistema. Onde { } { }( ) tetktkX αββ sinImcosRe 111 −= { } { }( ) atetktkX ββ sinRecosIm 112 += AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS Na resolução de um sistema, quando os autovalores tem multiplicidade dois, deve-se verificar se o autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores, se isso não ocorrer, deve-se obter as soluções restantes da seguinte maneira: tekX 111 λ = tt ektekX 21 212 λλ += onde k2 deve ser determinado. No caso de autovalores de multiplicidade m, tem-se m soluções para o sistema: t m t m t m m meke m tke m tkX λλλ ++ − + − = −− K21 )!2()!1( 2 2 1 1 onde k2, k3, …, km devem ser determinados. Supondo agora que 1λ seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um autovetor associado a esse valor. Pode-se achar a uma solução da forma tt PeKteX 112 λλ += (*) devemos ter: KPIA KIA =− =− )( 0)( 1 1 λ λ COEFICIENTES INDETERMINADOS )()( tFXtA dt dX += )(' tfAXX pp += VARIAÇÃO DE PARÂMETRO ∫ − = dttFttX p )()()( 1φφ Denomina-se solução geral aquela que contém funções arbitrárias e solução completa a que contém constantes arbitrárias. x zp ∂ ∂ = ; y zq ∂ ∂ = MÉTODO DE CHARPIT: 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂ q z F y F dq p z F x F dp q Fq p Fp dz q F dy p F dx MÉTODO DE LAGRANGE: RQqPp =+ qdypdxdz += R dz Q dy P dx == SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS )y(v)x(u)y,x(z = 'uv y z ,v'u x z = ∂ ∂ = ∂ ∂ e "uv y u ,v"u x z 2 2 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ Caso 1: k > 0 As soluções gerais serão: += += − yksenCykCv eCeCu xkxk 43 21 cos Caso 2: k < 0 As soluções gerais serão: += −+−= −−− ykyk eCeCv xksenCxkCu 43 21 cos Lembrando que cos(ix) = cosh(x) Caso 3: k = 0 As soluções gerais serão: += += yCCv xCCu 43 21 Obs.: A cada caso corresponde uma solução completa da forma )()(),( yvxuyxz ⋅= A equação de derivadas parciais linear de segunda ordem 0Fz y zE x zD y zC yx zB x zA 2 22 2 2 =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ ondeA, B, C, D, E e F são constantes reais, é: hiperbólica se 0AC4B 2 >− , parabólica se 0AC4B 2 =− , elíptica se 0AC4B 2 <−
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