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# Formulário EDO

DisciplinaCálculo Aplicado à Engenharia de Controle e Automação2 materiais77 seguidores
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Redutiveis as Homogêneas ou as Separáveis:

\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
++
++
=
222
111
cybxa
cybxa
F
dx
dy

a) O determinante
22
11
ba
ba
é diferente de zero

\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
=++
=++
0cybxa
0cybxa
222
111 x = \u3b1 e y = \u3b2 .

\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
=\u2234+=
=\u2234+=
dvdyvy
dudxux
\u3b2
\u3b1

b) O determinante
22
11
ba
ba
é igual a zero:
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
++
++
=
211
111
c)ybxa(m
cybxaF
dx
dy

Exatas:
0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+

x
N
y
M
\u2202
\u2202
=
\u2202
\u2202
\u222b \u222b =\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202
\u2212+ Cdy
y
PNMdx

Fator integrante:

\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202
\u2212
\u2202
\u2202
=
x
N
y
M
N
1)x(R \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202
\u2212
\u2202
\u2202
\u2212=
x
N
y
M
M
1)y(R
\u222b=
dx)x(R
e)x(F \u222b= dy)y(Re)y(F

Lineares:
)x(Qy)x(P
dx
dy
=+ \uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee +\u222b= \u222b\u222b
\u2212 Cdx.Q.eey PdxPdx

Bernoulli:
ny)x(Qy)x(P
dx
dy
=+
ty n1 =\u2212

Ricatti:
)x(Ry)x(Qy)x(P
dx
dy 2 ++=

zyy 0 +=

Homogêneas com coeficientes constantes:

\u2022 Raízes reais distintas:

x
n
xxx neCeCeCeCy \u3bb\u3bb\u3bb\u3bb ++++= ...321 321
\u2022 Raízes reais iguais:
x\u3bb1n
n
2
321 e)xC...xCxCC(y \u2212++++=

\u2022 Raízes complexas conjugadas )( bia ±
[ ]senbxCbxCey ax 21 cos +=

Homogêneas com coeficientes variáveis:
t
t
t
t
t
e
dt
dy
dt
yd
dt
yd
dx
yd
e
dt
dy
dt
yd
dx
yd
dt
dy
e
dx
dy
e
dx
dt
aebax
3
2
2
3
3
3
3
2
2
2
2
2
.23
.
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u2212=
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=
=
=
=+

\u2022 Raízes reais distintas:

21
21)( mm xCxCxy +=

\u2022 Raízes reais iguais:
m
21 x))xln(CC()x(y +=

\u2022 Raízes complexas conjugadas )( bia ±
)]ln()lncos([)( 21 xbsenCxbCxxy a +=

SOLUÇÃO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES):

Termo em r(x) Proposta para yp(x)
x\u3b1ke xCe\u3b1
,...)1,0n(kxn = 011n1nnn CxC...xCxC ++++ \u2212\u2212
\uf8fe
\uf8fd
\uf8fc
x\u3b1Ksen
x\u3b1cosK
x\u3b1senCx\u3b1cosC 21 +
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4
\uf8fd
\uf8fc
x\u3b2senke
x\u3b2coske
x\u3b1
x\u3b1
)x\u3b2senCx\u3b2cosC(e 21x\u3b1 +

SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS:

yp=y1(x).u1 + y2(x).u2+...+yn(x)yn

\u222b= dxxW
xrxW
u )(
)().(1
1 , \u222b= dxxW
xrxW
u )(
)().(2
2 , .... \u222b= dxxW
xrxW
u nn )(
)().(

)(),...,,(
11
2
1
1
''
2
'
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n ==
\u2212\u2212\u2212
L
MLMM
L
L

11
2
''
2
2
1
1
0
0
\u2212\u2212
=
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
L
MLMM
L
L
,
11
1
''
1
1
2
1
0
0
\u2212\u2212
=
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
L
MLMM
L
L
, ....,
1
0
0
1
2
1
1
'
2
'
1
21
L
MLMM
L
L
\u2212\u2212
=
nn
n
yy
yy
yy
W

\u2212
=
\u2212
dxueeu
axax
..
1
, a \u2208\u211c.
dx
du
\u2212= , a \u2208\u211c.
nD anula cada uma das funções 1n2 x,,x,x,1 \u2212K . Então, um
polinômio
1n
1n
2
210 xcxcxcc
\u2212
\u2212
potencia de )D(x n .
n)\u3b1D( \u2212 anula cada uma das funções
x\u3b11nx\u3b12x\u3b1x\u3b1
ex,,ex,xe,e
\u2212
K .
n222 )]\u3b2\u3b1(D\u3b12D[ ++\u2212 anula cada uma das funções
xsenexxsenexxsenxexsene
xexxexxxexe
xnxxx
xnaxx
\u3b2\u3b2\u3b2\u3b2
\u3b2\u3b2\u3b2\u3b2
\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1
\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1
12
12
,,,,
,cos,cos,cos,cos,
\u2212
\u2212
K
K

AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS
Sejam n\u3bb\u3bb\u3bb ,,, 21 K ,n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do sistema X\u2019 = AX, e
seja k1, k2, \u2026, kn os autovetores correspondentes. Então a solução geral do sistema no intervalo
t
nn
tt nekcekcekcX \u3bb\u3bb\u3bb +++= K21 2211
AUTOVALORES COMPLEXOS
Seja A a matriz dos coeficientes, com elementos reais do sistema X\u2019=AX, e sejam k1, o autovetor
correspondente ao autovalor complexo \u3b2\u3b1\u3bb i+=1 , com \u3b1 e \u3b2 reais. Então
t
ekX 111
\u3bb
= e
t
ekX 112
\u3bb
=
São soluções do sistema. Onde
{ } { }( ) tetktkX \u3b1\u3b2\u3b2 sinImcosRe 111 \u2212=
{ } { }( ) atetktkX \u3b2\u3b2 sinRecosIm 112 +=
Na resolução de um sistema, quando os autovalores tem multiplicidade dois, deve-se verificar se o
autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores, se isso não ocorrer, deve-se obter as soluções
restantes da seguinte maneira:
tekX 111
\u3bb
=
tt
ektekX 21 212
\u3bb\u3bb +=
onde k2 deve ser determinado. No caso de autovalores de multiplicidade m, tem-se m soluções para o
sistema:
t
m
t
m
t
m
m
meke
m
tke
m
tkX \u3bb\u3bb\u3bb ++
\u2212
+
\u2212
=
\u2212\u2212
K21 )!2()!1(
2
2
1
1
onde k2, k3, \u2026, km devem ser determinados.
Supondo agora que 1\u3bb seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um autovetor
associado a esse valor. Pode-se achar a uma solução da forma
tt PeKteX 112
\u3bb\u3bb += (*)
devemos ter:

KPIA
KIA
=\u2212
=\u2212
)(
0)(
1
1
\u3bb
\u3bb

)()( tFXtA
dt
dX
+=

)(' tfAXX pp +=

VARIAÇÃO DE PARÂMETRO
\u222b
\u2212
= dttFttX p )()()( 1\u3c6\u3c6
Denomina-se solução geral aquela que contém funções arbitrárias e solução completa a que contém
constantes arbitrárias.
x
zp
\u2202
\u2202
= ;
y
zq
\u2202
\u2202
=

MÉTODO DE CHARPIT:

0=
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202
\u2212
=
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202
\u2212
=
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202=
\u2202
\u2202=
\u2202
\u2202
q
z
F
y
F
dq
p
z
F
x
F
dp
q
Fq
p
Fp
dz
q
F
dy
p
F
dx

MÉTODO DE LAGRANGE:
RQqPp =+ qdypdxdz +=
R
dz
Q
dy
P
dx
==

SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
)y(v)x(u)y,x(z =

'uv
y
z
,v'u
x
z
=
\u2202
\u2202
=
\u2202
\u2202
e &quot;uv
y
u
,v&quot;u
x
z
2
2
2
2
=
\u2202
\u2202
=
\u2202
\u2202

Caso 1: k > 0
As soluções gerais serão:
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
+=
+= \u2212
yksenCykCv
eCeCu xkxk
43
21
cos

Caso 2: k < 0
As soluções gerais serão:
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
+=
\u2212+\u2212=
\u2212\u2212\u2212 ykyk eCeCv
xksenCxkCu
43
21 cos

Lembrando que cos(ix) = cosh(x)

Caso 3: k = 0
As soluções gerais serão:
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
+=
+=
yCCv
xCCu
43
21

Obs.: A cada caso corresponde uma solução completa da forma )()(),( yvxuyxz \u22c5=

A equação de derivadas parciais linear de segunda ordem

0Fz
y
zE
x
zD
y
zC
yx
zB
x
zA 2
22
2
2
=+
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202
+
\u2202\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202

ondeA, B, C, D, E e F são constantes reais, é:
hiperbólica se 0AC4B 2 >\u2212 ,
parabólica se 0AC4B 2 =\u2212 ,
elíptica se 0AC4B 2 <\u2212