Formulário EDO
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Formulário EDO


DisciplinaCálculo Aplicado à Engenharia de Controle e Automação2 materiais70 seguidores
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Redutiveis as Homogêneas ou as Separáveis: 
 
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
++
++
=
222
111
cybxa
cybxa
F
dx
dy
 
a) O determinante 
22
11
ba
ba
 é diferente de zero 
 
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
=++
=++
0cybxa
0cybxa
222
111 x = \u3b1 e y = \u3b2 . 
 
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
=\u2234+=
=\u2234+=
dvdyvy
dudxux
\u3b2
\u3b1
 
 
b) O determinante 
22
11
ba
ba
 é igual a zero: 
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
++
++
=
211
111
c)ybxa(m
cybxaF
dx
dy
 
 
Exatas: 
 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ 
 
x
N
y
M
\u2202
\u2202
=
\u2202
\u2202
 \u222b \u222b =\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202
\u2212+ Cdy
y
PNMdx 
 
Fator integrante: 
 
 \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202
\u2212
\u2202
\u2202
=
x
N
y
M
N
1)x(R \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202
\u2212
\u2202
\u2202
\u2212=
x
N
y
M
M
1)y(R 
 \u222b=
dx)x(R
e)x(F \u222b= dy)y(Re)y(F 
 
Lineares: 
 )x(Qy)x(P
dx
dy
=+ \uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee +\u222b= \u222b\u222b
\u2212 Cdx.Q.eey PdxPdx 
 
 
Bernoulli: 
 ny)x(Qy)x(P
dx
dy
=+ 
 ty n1 =\u2212 
 
 
Ricatti: 
 )x(Ry)x(Qy)x(P
dx
dy 2 ++= 
 
 zyy 0 += 
 
Homogêneas com coeficientes constantes: 
 
\u2022 Raízes reais distintas: 
 
x
n
xxx neCeCeCeCy \u3bb\u3bb\u3bb\u3bb ++++= ...321 321 
\u2022 Raízes reais iguais: 
x\u3bb1n
n
2
321 e)xC...xCxCC(y \u2212++++=
 
 
\u2022 Raízes complexas conjugadas )( bia ± 
[ ]senbxCbxCey ax 21 cos += 
 
 
Homogêneas com coeficientes variáveis: 
t
t
t
t
t
e
dt
dy
dt
yd
dt
yd
dx
yd
e
dt
dy
dt
yd
dx
yd
dt
dy
e
dx
dy
e
dx
dt
aebax
3
2
2
3
3
3
3
2
2
2
2
2
.23
.
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u2212=
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=
=
=
=+
 
 
 
\u2022 Raízes reais distintas: 
 
21
21)( mm xCxCxy +=
 
 
\u2022 Raízes reais iguais: 
m
21 x))xln(CC()x(y +=
 
 
\u2022 Raízes complexas conjugadas )( bia ± 
)]ln()lncos([)( 21 xbsenCxbCxxy a += 
 
 
SOLUÇÃO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES): 
 
Termo em r(x) Proposta para yp(x) 
x\u3b1ke xCe\u3b1 
,...)1,0n(kxn = 011n1nnn CxC...xCxC ++++ \u2212\u2212 
\uf8fe
\uf8fd
\uf8fc
x\u3b1Ksen
x\u3b1cosK
 x\u3b1senCx\u3b1cosC 21 + 
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4
\uf8fd
\uf8fc
x\u3b2senke
x\u3b2coske
x\u3b1
x\u3b1
 )x\u3b2senCx\u3b2cosC(e 21x\u3b1 + 
 
SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS: 
 
yp=y1(x).u1 + y2(x).u2+...+yn(x)yn 
 
\u222b= dxxW
xrxW
u )(
)().(1
1 , \u222b= dxxW
xrxW
u )(
)().(2
2 , .... \u222b= dxxW
xrxW
u nn )(
)().(
 
 
 
 
)(),...,,(
11
2
1
1
''
2
'
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n ==
\u2212\u2212\u2212
L
MLMM
L
L
 
 
 
11
2
''
2
2
1
1
0
0
\u2212\u2212
=
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
L
MLMM
L
L
 , 
11
1
''
1
1
2
1
0
0
\u2212\u2212
=
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
L
MLMM
L
L
, ...., 
1
0
0
1
2
1
1
'
2
'
1
21
L
MLMM
L
L
\u2212\u2212
=
nn
n
yy
yy
yy
W 
 
SOLUÇÃO POR OPERADOR DERIVADA: 
 
\u2022 Operador inverso \u222b
\u2212
=
\u2212
dxueeu
aD
axax
..
1
, a \u2208\u211c. 
\u2022 Operador direto u.aDuu)aD( \u2212=\u2212 au
dx
du
\u2212= , a \u2208\u211c. 
\u2022 Anuladores: 
\ufffd O operador diferencial 
nD anula cada uma das funções 1n2 x,,x,x,1 \u2212K . Então, um 
polinômio 
1n
1n
2
210 xcxcxcc
\u2212
\u2212
++++ K é anulado por um operador que anula a maior 
potencia de )D(x n . 
\ufffd O operador diferencial 
n)\u3b1D( \u2212 anula cada uma das funções 
x\u3b11nx\u3b12x\u3b1x\u3b1
ex,,ex,xe,e
\u2212
K . 
\ufffd O operador diferencial 
n222 )]\u3b2\u3b1(D\u3b12D[ ++\u2212 anula cada uma das funções
xsenexxsenexxsenxexsene
xexxexxxexe
xnxxx
xnaxx
\u3b2\u3b2\u3b2\u3b2
\u3b2\u3b2\u3b2\u3b2
\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1
\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1
12
12
,,,,
,cos,cos,cos,cos,
\u2212
\u2212
K
K
 
 
 
 
AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS 
Sejam n\u3bb\u3bb\u3bb ,,, 21 K ,n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do sistema X\u2019 = AX, e 
seja k1, k2, \u2026, kn os autovetores correspondentes. Então a solução geral do sistema no intervalo 
),( \u221e\u2212\u221e é dada por: 
t
nn
tt nekcekcekcX \u3bb\u3bb\u3bb +++= K21 2211 
AUTOVALORES COMPLEXOS 
Seja A a matriz dos coeficientes, com elementos reais do sistema X\u2019=AX, e sejam k1, o autovetor 
correspondente ao autovalor complexo \u3b2\u3b1\u3bb i+=1 , com \u3b1 e \u3b2 reais. Então 
t
ekX 111
\u3bb
= e 
t
ekX 112
\u3bb
= 
São soluções do sistema. Onde 
 { } { }( ) tetktkX \u3b1\u3b2\u3b2 sinImcosRe 111 \u2212= 
 { } { }( ) atetktkX \u3b2\u3b2 sinRecosIm 112 += 
AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS 
Na resolução de um sistema, quando os autovalores tem multiplicidade dois, deve-se verificar se o 
autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores, se isso não ocorrer, deve-se obter as soluções 
restantes da seguinte maneira: 
tekX 111
\u3bb
= 
tt
ektekX 21 212
\u3bb\u3bb += 
onde k2 deve ser determinado. No caso de autovalores de multiplicidade m, tem-se m soluções para o 
sistema: 
t
m
t
m
t
m
m
meke
m
tke
m
tkX \u3bb\u3bb\u3bb ++
\u2212
+
\u2212
=
\u2212\u2212
K21 )!2()!1(
2
2
1
1 
onde k2, k3, \u2026, km devem ser determinados. 
Supondo agora que 1\u3bb seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um autovetor 
associado a esse valor. Pode-se achar a uma solução da forma 
tt PeKteX 112
\u3bb\u3bb += (*) 
devemos ter: 
 
KPIA
KIA
=\u2212
=\u2212
)(
0)(
1
1
\u3bb
\u3bb
 
COEFICIENTES INDETERMINADOS 
)()( tFXtA
dt
dX
+= 
 
)(' tfAXX pp += 
 
VARIAÇÃO DE PARÂMETRO 
\u222b
\u2212
= dttFttX p )()()( 1\u3c6\u3c6 
Denomina-se solução geral aquela que contém funções arbitrárias e solução completa a que contém 
constantes arbitrárias. 
x
zp
\u2202
\u2202
= ; 
y
zq
\u2202
\u2202
= 
 
MÉTODO DE CHARPIT: 
 
 0=
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202
\u2212
=
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202
\u2212
=
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202=
\u2202
\u2202=
\u2202
\u2202
q
z
F
y
F
dq
p
z
F
x
F
dp
q
Fq
p
Fp
dz
q
F
dy
p
F
dx
 
MÉTODO DE LAGRANGE: 
RQqPp =+ qdypdxdz += 
R
dz
Q
dy
P
dx
== 
 
 
 
SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS 
)y(v)x(u)y,x(z =
 
 
'uv
y
z
,v'u
x
z
=
\u2202
\u2202
=
\u2202
\u2202
 e "uv
y
u
,v"u
x
z
2
2
2
2
=
\u2202
\u2202
=
\u2202
\u2202
 
Caso 1: k > 0 
 As soluções gerais serão: 
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
+=
+= \u2212
yksenCykCv
eCeCu xkxk
43
21
cos
 
Caso 2: k < 0 
 As soluções gerais serão: 
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
+=
\u2212+\u2212=
\u2212\u2212\u2212 ykyk eCeCv
xksenCxkCu
43
21 cos
 
 
Lembrando que cos(ix) = cosh(x) 
 
Caso 3: k = 0 
 As soluções gerais serão: 
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
+=
+=
yCCv
xCCu
43
21
 
 
Obs.: A cada caso corresponde uma solução completa da forma )()(),( yvxuyxz \u22c5= 
 
A equação de derivadas parciais linear de segunda ordem 
 
 0Fz
y
zE
x
zD
y
zC
yx
zB
x
zA 2
22
2
2
=+
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202
+
\u2202\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202
 
 
ondeA, B, C, D, E e F são constantes reais, é: 
hiperbólica se 0AC4B 2 >\u2212 , 
parabólica se 0AC4B 2 =\u2212 , 
elíptica se 0AC4B 2 <\u2212