apostila de calculo numerico
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apostila de calculo numerico


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\u2022 Denomina-se x* de zero da função f(x) ou raiz da equação f(x)=0. 
\u2022 Solução analítica: 
o Equações algébricas (polinomiais) do 1o e 2o graus; 
o Certos formatos de equações algébricas do 3o e 4o graus; 
o Algumas equações transcendentais (não polinomiais). 
2.2 Ilustração Através de Alguns Problemas de Engenharia 
2.2.1 Equilíbrio de Mecanismos 
 
 
Exemplo: 
Mecânica Vetorial para Engenheiros \u2013 Estática 
F. P. Beer & E. R. Johnston, Jr. 
5a Edição Revisada \u2013 1994 
MAKRON Books do Brasil Editora Ltda 
Problema 4.60 (Página 254) \u2013 Uma haste delgada de comprimento 2R e 
peso P está presa a um cursor em B e apoiada em um cilindro de raio R. 
Sabendo que o cursor pode se deslocar livremente ao longo de sua guia 
vertical, determine o valor de \u3b8 correspondente ao equilíbrio. Despreze o 
atrito. 
2R 
\u3b8
B 
R 
Incógnita: Ângulo \u3b8 correspondente ao equilíbrio. 
Equação resultante durante o desenvolvimento da 
solução: 
 cos3\u3b8=sen\u3b8 
Reformatação do problema: 
 cos3\u3b8-sen\u3b8=0 
 Considerando f(\u3b8)=cos3\u3b8-sen\u3b8, a solução da 
equação corresponde ao zero da função f(\u3b8). 
2.2.2 Equilíbrio de Corpos Rígidos com Apoio Deformável 
 
 
2.2.3 Equação de Manning 
 
 
Exemplo: Pórtico em L invertido com um apoio flexível de rotação. 
Incógnita: Ângulo \u3b8 correspondente ao equilíbrio. 
Equação resultante durante o desenvolvimento da solução: 
 (K/PL).\u3b8=0,5.cos\u3b8+sen\u3b8 
Reformatação do problema: 
 (K/PL).\u3b8-0,5.cos\u3b8-sen\u3b8=0 
 Considerando f(\u3b8)=(K/PL)\u3b8-0,5.cos\u3b8-sen\u3b8, a solução da 
equação corresponde ao zero da função f(\u3b8).
L 
L/2 
K 
P 
\u3b8
2.2.4 Equilíbrio de Corpos Flutuantes 
 
 
2.3 Algoritmos de Solução 
2.3.1 Método Gráfico 
 
 
\u2022 Utilizar alguma sistemática para o traçado do gráfico da função estudada. 
\u2022 O intervalo inicial de observação pode ser criteriosamente definido em 
 função do entendimento físico do problema envolvido. 
\u2022 O zero da função corresponde ao ponto de contato do gráfico da função 
 com o eixo das abscissas. 
\u2022 O intervalo de observação pode ser refinado até se atingir a precisão 
 desejada. 
 
0 0. 1 1.
-
-
0
0.
1
0. 0.5 0. 0.6 0. 0.7 0. 0.8 0. 0.9 1
-
-
-
-
-
-
-
0
0.
0.
> ezplot(\u2018cos(x)^3-sin(x)\u2019,[0 pi/2]), grid > ezplot(\u2018cos(x)^3-sin(x)\u2019,[0.5 1]), grid 
Exemplo: Aplicação do Princípio de Arquimedes para a determinação do 
calado de embarcações. 
Incógnita: Profundidade h correspondente ao equilíbrio. 
Equação resultante durante o desenvolvimento da solução: 
 \u3b3Sólido.VSólido= \u3b3Líquido.VLíquido deslocado(h) 
Reformatação do problema: 
 \u3b3Sólido.VSólido- \u3b3Líquido.VLíquido deslocado(h)=0 
 Considerando f(h)=\u3b3Sólido.VSólido- \u3b3Líquido.VLíquido deslocado(h), 
a solução da equação corresponde ao zero da função f(h). 
 E(h): empuxo 
W: peso do corpo 
Líquido 
Corpo 
flutuante 
h (calado)
2.3.2 Métodos a Partir de um Intervalo (Bisseção e Cordas) 
 
\u2022 Pré-requisitos: 
o Considere uma função f(x) contínua dentro de um intervalo [a, b]; 
o Considere ainda que nos extremos do intervalo [a, b] a função estudada 
apresente sinais contrários, ou seja, f(a)*f(b)<0. 
\u2022 Resultado: 
o Garante-se a existência de pelo menos um zero dessa função dentro do 
intervalo [a, b]. 
\u2022 Idéia: 
o Encontrar um intervalo menor que o intervalo original e que atenda aos pré-
requisitos acima mencionados; 
o Repetir o procedimento anterior até que se atinja o critério de tolerância de 
determinação do zero da função. 
\u2022 Estratégia de diminuição do intervalo: 
o Nenhum cuidado especial é necessário para garantir o primeiro pré-requisito 
uma vez que toda função contínua em um intervalo, também será contínua em 
qualquer subintervalo menor; 
o Para garantir que nesse novo intervalo a função continue a apresentar sinais 
contrários, deve-se: 
o Escolher um ponto c dentro do intervalo original [a, b]; 
o Redefinir o novo intervalo substituindo o extremo cujo sinal da função é o 
mesmo que no ponto escolhido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Zero
Ponto 
interior
f(b)
bz
c
Y
X
Y=f(X)
f(c)
a
f(a)
Como f(a) apresenta o 
mesmo sinal de f(c)
Novo intervalo: [c, b]
Zero
Ponto 
interior
f(b)
bz c
Y
X
Y=f(X)
f(c)
a
f(a)
Como f(b) apresenta o 
mesmo sinal de f(c)
Novo intervalo: [a, c]
Zero
Ponto 
interior
f(b)
bz
c
Y
X
Y=f(X)
f(c)
a
f(a)
Como f(a) apresenta o 
mesmo sinal de f(c)
Novo intervalo: [c, b]
Zero
Ponto 
interior
f(b)
bz
c
Y
X
Y=f(X)
f(c)
a
f(a)
Como f(a) apresenta o 
mesmo sinal de f(c)
Novo intervalo: [c, b]
Zero
Ponto 
interior
f(b)
bz c
Y
X
Y=f(X)
f(c)
a
f(a)
Como f(b) apresenta o 
mesmo sinal de f(c)
Novo intervalo: [a, c]
Zero
Ponto 
interior
f(b)
bz c
Y
X
Y=f(X)
f(c)
a
f(a)
Como f(b) apresenta o 
mesmo sinal de f(c)
Novo intervalo: [a, c]
2.3.3 Método da Bisseção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.4 Método das Cordas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\u2022 A estimativa do zero da função Y=f(X) é feita a partir do ponto médio do 
intervalo analisado.
\u2022 Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida para o problema, ou 
seja, |f(ze)|>tol, redefine-se o intervalo de estudo, repetindo-se a estratégia até 
que a tolerância seja verificada.
2
baze +=
Equação de recorrência:
Zero
Zero 
estimado
f(b)
bz ze
Y
X
Y=f(X)
f(ze) a
f(a)
\u2022 A estimativa do zero da função Y=f(X) é feita a partir do ponto médio do 
intervalo analisado.
\u2022 Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida para o problema, ou 
seja, |f(ze)|>tol, redefine-se o intervalo de estudo, repetindo-se a estratégia até 
que a tolerância seja verificada.
2
baze +=
Equação de recorrência:
Zero
Zero 
estimado
f(b)
bz ze
Y
X
Y=f(X)
f(ze) a
f(a)
2
baze +=
2
baze +=
Equação de recorrência:
Zero
Zero 
estimado
f(b)
bz ze
Y
X
Y=f(X)
f(ze) a
f(a)
\u2022 O método das cordas fundamenta-se no fato de que, geralmente, o zero da 
função vai estar localizado o mais próximo do extremo do intervalo onde a função 
apresenta o menor valor em módulo.
\u2022 A estimativa do zero da função Y=f(X) é feita a partir da reta secante que une 
os pares extremos (a,f(a)) e (b,f(b)) do intervalo analisado.
\u2022 O ponto em que essa reta secante intercepta o eixo das abscissas corresponde 
à estimativa do zero da função.
\u2022 Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida para o problema, ou 
seja, |f(ze)|>tol, redefine-se o intervalo de estudo, repetindo-se a estratégia até 
que a tolerância seja verificada.
Zero
Zero 
estimado
f(b)
bz
ze
Y
X
Y=f(X)
Reta 
secante
\u2022 Pela semelhança dos triângulos 
retângulos destacados na figura:
)a(f)b(f
)a(fb)b(faze 
zeb
)b(f
aze
)a(f
\u2212
\u22c5\u2212\u22c5=\u2234
\u2212=\u2212
\u2212
Equação de recorrência:
f(ze)
a
f(a)
\u2022 O método das cordas fundamenta-se no fato de que, geralmente, o zero da 
função vai estar localizado o mais próximo do extremo do intervalo onde a função 
apresenta o menor valor em módulo.
\u2022 A estimativa do zero da função Y=f(X) é feita a partir da reta secante que une 
os pares extremos (a,f(a)) e (b,f(b)) do intervalo analisado.
\u2022 O ponto em que essa reta secante intercepta o eixo das abscissas corresponde 
à estimativa do zero da função.
\u2022 Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida para o problema, ou 
seja, |f(ze)|>tol, redefine-se o intervalo de estudo, repetindo-se a estratégia até 
que a tolerância seja verificada.
Zero
Zero 
estimado
f(b)
bz
ze
Y
X
Y=f(X)
Reta 
secante
\u2022 Pela semelhança dos triângulos 
retângulos