Cálculo Diferencial Aula Limites Cálculo

Prévia do material em texto

1
Limite e Continuidade
O Cálculo é extremamente dinâmico e se presta ao estudo das variações de fenômenos e do
movimento, bem como de quantidades que tendem a outras quantidades. As origens do Cálculo remon-
tam à Grécia quando o dimensionamento de áreas de figuras irregulares era obtido através do chamado
“método da exaustão”. Para calcular, por exemplo, a área de uma figura circular, segundo o método da
exaustão, necessitava-se inscrever a figura com polígonos e então, aumentar o número de lados dos
polígonos.
Evidentemente, se An é a área de um polígono de n lados, então, à medida que se aumenta o
número de lados, n, a área do polígono, An, fica cada vez mais próxima da área do círculo. Portanto,
diz-se que a área do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos.
De modo geral, o objetivo deste capítulo é discutir o comportamento de uma função f(x), próximo
de um ponto x = a, mesmo que a função não esteja definida neste ponto, ou seja, se x se aproxima de a
(x tende a a), o que acontece com os valores de f(x)?
1.1 Noção Intuitiva de Limite
A idéia intuitiva de limite trás consigo uma enorme simplicidade (o que não ocorre com a definição
formal), ou seja, dado um ponto a no domínio da função e ainda mais sendo a 6= x, e uma função
y = f(x), como se comportam os os valores de f(x), quando x se aproxima de a, ou ainda, se x cresce
muito ou decresce muito, o que acontece com os valores de f(x)?
1
Cálculo Diferencial
Exemplo 1. O que acontece com os valores de f(x) = x2 − x+ 2 quando x se aproxima de 2?
1.2 Definição de limite
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dize-
mos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos
lim
x→a f(x) = L
se para todo � > 0, existe um δ > 0, tal que |f(x)− L| < � sempre que 0 < |x− a| < �.
Interpretação geométrica da definição de limite.
1.3 Propriedades de limite
Teorema 1 (Unicidade do limite). Se lim
x→a f(x) = A e limx→a f(x) = B, então, A = B.
Este resultado nos diz que o valor do limite de uma função f(x), quando x tende a a é único, isto
é, não existem dois valores para um mesmo limite.
Para as propriedades a seguir considere f(x), g(x) funções reais, de modo que lim
x→a f(x) = A e
lim
x→a g(x) = B, e também c ∈ R
Prof. Alessandro Fonseca Pág. 2
Cálculo Diferencial
Propriedade 1. Se f(x) = c, sendo c uma constante, então, lim
x→a f(x) = c.
Propriedade 2. lim
x→a c · f(x) = c · limx→a f(x) = c ·A.
Propriedade 3. lim
x→a [f(x)± g(x)] = limx→a f(x)± limx→a g(x) = A±B.
Propriedade 4. lim
x→a [f(x) · g(x)] = limx→a f(x) · limx→a g(x) = A ·B.
Propriedade 5. lim
x→a
[
f(x)
g(x)
]
=
lim
x→a f(x)
lim
x→a g(x)
=
A
B
; desde que B 6= 0.
Propriedade 6. lim
x→a [f(x)]
n =
[
lim
x→a f(x)
]n
= An.
Propriedade 7. lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a f(x) =
n
√
A; desde que n
√
A esteja definida
Exemplo 2. Calcular os limites apresentados na lista abaixo:
(a) lim
x→2
5x =
(b) lim
x→1
(2x+ 3) =
(c) lim
x→3
(
x− 2
x+ 2
)
=
(d) lim
x→5
(
x2 − 25
x2 + 5
)
=
(e) lim
x→4
(
x− 4
x2 − x− 12
)
=
Exemplo 3. Calcule lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
.
Exemplo 4. Dada a função real definida por f(x) = x2 − 3x, calcule lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Exemplo 5. Seja F : R −→ R tal que F (x) =
{
x2 − 9 se x 6= −3
4 se x = −3
. Determine lim
x→−3
F (x) e mostre
que lim
x→−3
F (x) 6= F (−3).
Teorema 2. Se f(x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os limites de f
e g existem quando x tende a a, então
lim
x→a f(x) ≤ limx→a g(x)
Teorema 3 (Teorema do Confronto). Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possi-
velmente em a) e
lim
x→a f(x) = limx→a g(x) = L
então,
lim
x→ah(x) = L
Prof. Alessandro Fonseca Pág. 3
Cálculo Diferencial
Exemplo 6. Mostre que lim
x→0
[
x2 sen
(
1
x
)]
= 0
1.4 Limites laterais
• lim
x→a−
f(x) = L, é dito, limite f(x) quando x tende a a pela esquerda.
• lim
x→a+
f(x) = L, é dito, limite f(x) quando x tende a a pela direita.
Prof. Alessandro Fonseca Pág. 4
Cálculo Diferencial
Teorema 4 (Limites Laterais). O limite de uma função f(x) existe em um ponto a, se e somente se,
existirem os limites laterais no mesmo ponto a e tiverem o mesmo valor, ou seja,
lim
x→a f(x) = L ⇔ limx→a+ f(x) = limx→a− f(x) = L.
Exemplo 7. O gráfico de uma função y = g(x) encontra-se apresentado abaixo. Use-o para determinar
de forma intuitiva os valores (caso existam) dos limites a seguir.
1. lim
x→2−
g(x)
2. lim
x→2+
g(x)
3. lim
x→2
g(x)
4. lim
x→5−
g(x)
5. lim
x→5+
g(x)
6. lim
x→5
g(x)
Exemplo 8. SejaH(x) =
{
4− x2 se x ≤ 1
2 + x2 se x > 1
.Calcule cada um dos limites lim
x→1−
H(x), lim
x→1+
H(x), lim
x→1
H(x)
e esboce o gráfico de H(x).
Exemplo 9. Sabendo que f(x) =
{
x se x > 0
x+ 1 se x ≤ 0
calcule lim
x→0
f(x).
1.5 Limites infinitos
• lim
x→a f(x) = +∞, se para qualquer número real N > 0, existir um δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ
então f(x) > N.
• lim
x→a f(x) = −∞, se para qualquer número real N < 0, existir um δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ
então f(x) < N.
Prof. Alessandro Fonseca Pág. 5
Cálculo Diferencial
Para ilustrar a idéia dos limites infinitos considere a função f(x) =
1
(x− 1)2 . Note que x = 1 não
faz parte do domínio da função, mas quanto vale o lim
x→1
f(x)?.
A resposta a essa pergunta é lim
x→1
f(x) = +∞
A seguir, tem-se o gráfico da função f(x) =
1
(x− 1)2 .
Exemplo 10. Responda os itens abaixo considerando a função real f(x) =
2x
x− 1 .
1. Determine o domínio de f(x).
2. Calcule lim
x→1−
2x
x− 1 e limx→1+
2x
x− 1 .
3. Explique porque lim
x→1
2x
x− 1 não existe.
4. Determine f−1(x) e seu respectivo domínio.
5. Esboce o gráfico da função f(x).
Definição 1 (Assíntota vertical). A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo
menos uma das seguintes condições for satisfeita:
lim
x→a f(x) =∞ limx→a− f(x) =∞ limx→a− f(x) =∞
lim
x→a f(x) = −∞ limx→a− f(x) = −∞ limx→a− f(x) = −∞
Prof. Alessandro Fonseca Pág. 6
Cálculo Diferencial
Teorema 5 (Limites infinitos). Se n for um número inteiro positivo qualquer, então,
• lim
x→0+
1
xn
= +∞
• lim
x→0−
1
xn
=
{
+∞, n par
−∞, n ímpar
Exemplo 11. Calcule lim
x→0
(3x3 − 6x2 + 7x− 1)
1.6 Limites no infinito
Quando se estuda o comportamento de uma função f(x) para valores de x que crescem indefini-
damente ou decrescem indefinidamente, tem-se o estudo dos limites no infinito.
Definição 2. Seja f uma função definida em algum aberto (a,∞). Então,
lim
x→∞ f(x) = L
significa que os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L tomando-se x suficientemente
grande.
Definição 3. Seja f uma função definida em algum aberto (−∞, a). Então,
lim
x→−∞ f(x) = L
significa que os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L tomando-se x suficientemente
grande em valor absoluto, mas negativo.
Prof. Alessandro Fonseca Pág. 7