SÉRIE DE FOURIER exercícios

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ARCOS NOTÁVEIS
Ângulo 
Ângulo 
 
 
SÉRIE DE FOURIER
1º exemplo: 
Desenvolva a série de Fourier da função periódica abaixo:
 com 
Sabemos que:
E ainda:
 ; ; 
Devemos nos lembrar de que o intervalo de integração deve ser feita sobre a extensão de um período T da função periódica, preferencialmente, em torno de origem, onde as equações de são mais simples.
Esboço do gráfico de :
Cálculo de :
Atenção: 
 será sempre um número real.
 e serão sempre expressões em função de , a serem avaliadas.
Cálculo de :
 
Substituindo os limites de integração e lembrando que e , obtemos:
Vimos que o coeficiente depende dos valores de e de .
Vamos inicialmente localizar os ângulos sobre o círculo trigonométrico.
 
 para ímpar para par
Observando a figura acima, teremos: 
Se for ímpar:, logo:
Se for par: , logo:
Cálculo de : 
Substituindo novamente os limites de integração e lembrando que e , obtemos:
Vimos no cálculo de que 
Logo, temos:
ATENÇÃO!!
É muito importante que você leia matemática corretamente!
Observe a expressão 
Ela nos informa que:
 (azul e em radianos) é o ângulo do qual calculamos o valor do cosseno.
: este (em vermelho) multiplica o valor do cosseno de .
 (em verde) divide o numerador .
Portanto, as "operações" a seguir são completamente incorretas:
 e 
Vamos obter agora os valores possíveis para 
Voltando à circunferência trigonométrica, teremos também dois casos para o coeficiente :
Se for ímpar = 1, 3, 5, ... 
Se for par = 2, 4, 6, ... 
Observe que você pode escrever também que .
Escrevendo a série:
Inicialmente, vamos sintetizar os resultados obtidos para os coeficientes:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Escrevendo em forma fechada, teremos:
Desenvolva este somatório e confira que ele gera o desenvolvimento acima.
Uma pergunta importante:
Devemos escrever quantos termos da série de Fourier de uma função?
Toda série de Fourier deve ser escrita, com o número de termos suficiente, para que qualquer pessoa seja capaz de deduzir as fórmulas de recorrência dos coeficientes e continuar seu desenvolvimento ou escrever qualquer termo, correspondente a qualquer frequência de interesse.
Sendo assim, devemos escrever a série até que ocorra a presença de, pelo menos, dois exemplares de cada caso existente para cada coeficiente.
Observe que escrevemos na série acima:
Duas parcelas para com ímpar
Duas parcelas para com par, que não apareceram em sequência.
Duas parcelas para com ímpar
Duas parcelas para com par
Entretanto, nunca se esqueça de que a série de Fourier é uma soma de infinitas parcelas.
EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIE DE FOURIER – 1ª PARTE
Desenvolva a série de Fourier das funções:
 , 
 , 
 , 
 , 
Considere a função abaixo e sua respectiva série de Fourier. 
Obtenha, a partir desta informação, a série de Fourier da função sem, entretanto, calcular diretamente sua série.
Considere a série de Fourier abaixo e responda às questões:
A função periódica possui algum tipo de simetria? Qual?
Qual é o valor médio desta função no tempo?
Qual é a amplitude do termo de frequência igual a 3rad/s?
Observando a série, obtenha as expressões gerais dos seus coeficientes.
Quais são os próximos 4 termos desta série?
RESPOSTAS