Lista 3 Geometria Analitica

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3a Lista de Exerc´ıcios de SMA300 - Geometria Anal´ıtica
Professor:Jackson Itikawa
1. Seja ( ~u1, ~u2, . . . , ~un) LI (1 ≤ n ≤ 3). Prove que
α1 ~u1 + α2 ~u2 + . . .+ αn ~un = β1 ~u1 + β2 ~u2 + . . .+ βn ~un
so´ vale se α1 = β1, α2 = β2, . . . , αn = βn.
2. (a) Se os vetores ~v1 , ~v2 , ~v3 sa˜o L.I. no espac¸o, e´ verdade que os vetores α1 · ~v1 , α2 · ~v2 , α3 · ~v3 ,
para αi 6= 0, com i ∈ {1, 2, 3}, sa˜o L.I. no espac¸o?
(b) Se os vetores ~v1 , ~v2 , ~v3 sa˜o L.I. no espac¸o, e´ verdade que sendo ~u um vetor arbitra´rio, os
vetores ~u+ ~v1 , ~u+ ~v2 , ~u+ ~v3 sa˜o L.I. no espac¸o?
3. Seja ~u ,~v , ~w vetores L.I. no espac¸o.
(a) Mostre que os vetores ~u+ ~v + ~w , ~u− ~v , 3~v sa˜o L.I. no espac¸o.
(b) Mostre o mesmo para os vetores ~u+ ~v , ~u+ ~w ,~v + ~w.
4. Se os vetores na˜o nulos ~u ,~v , ~w sa˜o L.D. no espac¸o, enta˜o o vetor ~w e´ uma combinac¸a˜o linear de
~u e ~v ? Justifique sua resposta.
5. Seja OABC um tetraedro e M o ponto me´dio de
−−→
BC.
(a) Explique por que o conjunto ordenado
(−→
OA,
−−→
OB,
−−→
OC
)
e´ uma base de V 3.
(b) Determine as coordenadas do vetor
−−→
AM em relac¸a˜o a` base acima.
6. Seja E = (~u ,~v , ~w) uma base ordenada de V 3. Dado um vector ~t, sabemos que existem nu´meros
reais α , β , γ ∈ R, tais que ~t = α · ~u+ β · ~v + γ · ~w. Mostre que o conjunto {~u+~t ,~v +~t , ~w+~t} e´
formado por vetores na˜o coplanares se, e somente se, α+ β + γ + 1 6= 0.
7. Em, cada um dos itens abaixo, em relac¸a˜o a` base ordenada E fixada de V 3, sa˜o dados os vetores
de coordenadas:
(a) (3 , 5 , 1)E , (2 , 0 , 4)E , (1 ,m , 3)E (b) (1 , 3 , 5)E , (2 ,m+ 1 , 10)E
Encontrar m ∈ R, para que os vetores acima sejam L.D. no espac¸o, em cada um dos casos.
8. Seja E uma base ordenada de V 3. O vetor ~u .= (1 ,−2 , 3)E e´ combinac¸a˜o linear dos vetores
~v
.
= (2 ,−2 ,−4)E e ~w .= (0 ,−1 ,−3)E? Justifique sua resposta. O mesmo para o vetor ~t .=
(4 , 0 , 13)E .
9. Seja E uma base ordenada de V 3. Determine m ∈ R, de modo que o vetor ~u .= (1 , 2 , 2)E seja
combinac¸a˜o linear dos vetores ~v
.
= (m − 1 , 1 ,m − 2)E e ~w .= (m + 1 ,m − 1 , 2)E . Determine
tambe´m m ∈ R, para que os vetores ~u, ~v, ~w sejam L.D. no espac¸o.
10. Seja E uma base ordenada de V 3. Determine m ∈ R, de modo que a sequeˆncia de vetores abaixo
sejam L.D. no espac¸o.
(a) (m, 1 ,m)E , (1 ,m , 1)E (b)
(
1−m2 , 1−m, 0)E , (m,m ,m)E
11. Seja E uma base ordenada de V 3. Determine m ∈ R, de modo que os vetores abaixo sejam L.D.
no espac¸o.
(a) (m, 1 ,m+ 1)E , (1 , 2 ,m)E , (1 , 1 , 1)E) (b) (m, 1 ,m+ 1)E , (0 , 1 ,m)E , (0 ,m , 2m)E)
12. Seja E = (~e1 , ~e2 , ~e3) uma base ordenada de V 3. Mostre que F .=
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
, onde ~f1
.
=
~e1 + ~e2 + ~e3, ~f2
.
= ~e1 + ~e2 e ~f3
.
= ~e1 e´ uma base ordenada de V
3 e encontre as coordenadas do
vetor ~r
.
= −3 · ~e1 − ~e3, em relac¸a˜o a`s bases ordenadas E e F .
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13. Sejam E = (~e1 , ~e2 , ~e3) uma base ordenada de V 3, ~u .= (1, 2,−1)E , f1 .= ~e1 + ~e2 + ~e3, f2 .=
m · ~e1 + 2m · ~e2 − ~e3 e f3 .= 4 · ~e2 + 3 · ~e3.
(a) Para que valores de m ∈ R, F .=
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
e´ uma base ordenada de V 3?
(b) Nas condic¸o˜es do item (a), calcule m ∈ R, para que ~u .= (0 , 1 , 0)F .
14. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base ordenada de V 3, ~f1 .= ~e1 − ~e2, ~f2 .= ~e2 − ~e3 e ~f3 .= 3~e3.
(a) Mostre que F .=
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
e´ uma base ordenada de V 3.
(b) Calcule m ∈ R, para que os vetores ~u .= (0 ,m , 1)E e ~v .= (0 , 1 ,−1)F sejam L.D. no espac¸o.
15. Consideremos a` base ordenada E .= (~e1 , ~e2 , ~e3) de V 3, e as relac¸o˜es: ~f1 .= ~e1 − ~e2 − ~e3 ~f2 .=
~e1 + 2 · ~e2 + ~e3 ~f3 .= 2 · ~e1 + ~e2 + 4 · ~e3.
a) Verificar que F .=
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
e´ uma base ordenada de V 3.
b) Achar a matriz de mudanc¸a de base, da base E .= (~e1 , ~e2 , ~e3) para a base F .=
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
.
c) Sendo ~u
.
= 3 · ~e1−5 · ~e2+4 · ~e3, achar a expressa˜o do vetor ~v em relac¸a˜o a` base F .=
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
.
16. Se x1 = y1 − y2 − y3, x2 = y1 + 2 y2 + y3, x3 = 2 y1 + y2 + 4 y3, onde x1 , x2 , x3 ∈ R sa˜o
as coordenadas de um vetor ~v em relac¸a˜o a` uma base ordenada E de V 3 e y1 , y2 , y3 ∈ R sa˜o
as coordenadas do mesmo vetor ~v em relac¸a˜o a outra base ordenada F de V 3, determinar, se
poss´ıvel, a matriz de mudanc¸a de base, da base E para a base F , isto e´, MEF .
17. Seja E uma base ordenada de V 3. Pergunta-se qual o valor de x ∈ R, para que os vetores
~a
.
= (3 ,−x ,−2 )E , ~b .= (3 , 2 , x)E e ~c .= (1 ,−3 , 1)E sejam paralelos a um mesmo plano do
espac¸o?
18. Seja E .= (~e1 , ~e2 , ~e3) uma base ordenada de V 3.
a) Para que valores de α , β ∈ R, os vetores ~u .= α · ~e1 +β · ~e2 + 3 · ~e3 e ~v .= 2 · ~e1 + (α−β) · ~e2 + ~e3
sa˜o L.I. em V 3?
b) Achar uma base ordenada F .=
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
de V 3, de modo que o vetor ~u
.
= ~e1 + 2 · ~e2 + 3 · ~e3
possa ser escrito como ~u = ~f1.
c) Qual relac¸a˜o deve haver entre α , β ∈ R, para que sejam L.D., em V 3, os vetores ~u .= ~e1+~e2+~e3,
~v = ~e1 + α · ~e2 + α2 · ~e3 e ~w = ~e1 + β · ~e2 + β2 · ~e3 ?
19. Sejam E = (~e1 , ~e2 , ~e3) base de V 3 e F = {(1 , 1 , 1)E , (1 , 2 , 0)E , (1 , 1 , 0)E} e G = {(2 , 1 ,−1)E ,
(3 , 0 , 1)E , (2 , 0 , 1)E}.
a) Mostre que F e G sa˜o bases ordenadas de V 3.
b) Determine a matriz de mudanc¸a de base, da base E para a base F , isto e´, MEF .
c) Se ~u
.
= (m, 2 , 1)E , ~v
.
= (1 , 1 , 1)F e ~w
.
= (2 ,−1 , 1)F , determinar m ∈ R, de modo que os
vetores {~u ,~v , ~w} na˜o formem uma base ordenada de V 3.
20. Seja E .= (~e1 , ~e2 , ~e3) uma base (ordenada) ortonormal de V 3. Determinar um vetor unita´rio,
que seja ortogonal aos vetores ~u
.
= (3 , 1 , 0)E e ~v
.
= (4 ,−1 , 3)E .
21. Seja E .= (~e1, ~e2, ~e3) uma base (ordenada) ortonormal de V 3. Calcule ‖u‖ nos seguintes casos:
(a) ~u
.
= ~e1 + ~e2 + ~e3 (b) ~u
.
= (1 ,−2 , 7)E .
22. Seja E .= (~e1, ~e2, ~e3) uma base (ordenada) ortonormal de V 3.
(a) Mostre que os vetores ~u
.
= (1 , 1 ,−1)E , ~v .= (0 , 1 , 1)E e ~w .= (2 ,−1 , 1)E sa˜o dois a dois
ortogonais.
(b) Determine as coordenadas do vetor ~r, em relac¸a˜o a` base (ordenada) ortonormal E , que tenha
norma
√
5, tal que o vetor ~r seja ortogonal ao vetor (2 , 1 ,−1)E e que os vetores ~r, (1 , 1 , 1)E ,
(0 , 1 ,−1)E sejam coplanares.