Lista 5 Geometria Analitica

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5a Lista de Exerc´ıcios de SMA0505 - Matrizes, Vetores e Geometria Anal´ıtica
Professor:Jackson Itikawa
Fixemos um sistema coordenadas ortogonal Σ = (O, E) para os Exerc´ıcios de 1. a 14. abaixo.
1. Em cada um dos casas abaixo, verificar se os pontos A,B,C do espac¸os, cujas coordenadas sa˜o
dadas, sa˜o colineares:
a) A
.
= (1 ,−1 , 2)Σ , B .= (0 , 1 , 1)Σ , C .= (2 ,−3 , 3)Σ.
b) A
.
= (1 , 1 ,−2)Σ , B .= (−1 , 0 ,−4)Σ , C .= (5 , 3 , 2)Σ
c) A
.
= (3 , 0 , 1)Σ , B
.
= (2 , 1 , 0)Σ , C
.
= (4 , 5 , 2)Σ.
2. Determinar, se poss´ıvel, os valores reais de m,n ∈ R para que os pontos A,B e C sejam
colineares, onde A
.
= (3 ,m , 5)Σ , B
.
= (n , 4 , 4)Σ , C
.
= (n , 0 , n)Σ.
3. Verifique se os pontos A
.
= (2 , 6 ,−5)Σ , B .= (6 , 9 , 7)Σ , C .= (5 , 5 , 0)Σ e D .= (3 , 10 , 2)Σ sa˜o
ve´rtices de um paralelogramo.
4. Dados os pontos A
.
= (1 , 2 , 5)Σ e B
.
= (0 , 1 , 0)Σ, determine as coordenadas do ponto P , em
relac¸a˜o ao sistema de coordenadas Σ, que pertence a` reta, que passa por A e B, e de modo que
o comprimento do segmento PB seja o triplo do comprimento de PA.
5. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas Σ da reta que passa
pelo ponto A
.
= (2 , 0 ,−3)Σ e:
a) e´ paralela a` reta que passa pelos pontos B
.
= (1 , 0 , 4)Σ e C
.
= (2 , 1 , 3)Σ.
b) e´ paralela a s :
1− x
5
=
3y
4
=
z + 3
6
.
c) e´ paralela a` reta s :

x = 1− 2λ
y = 4 + λ
z = −1− λ
, para λ ∈ R.
6. Dados o ponto A
.
= (0 , 2 , 1)Σ e a reta r : (x , y , z)Σ = (0 , 2 ,−2)Σ+ λ · (1 ,−1 , 2)E , para λ ∈ R,
ache os pontos da reta r que distam
√
3 u.c. do ponto A.
A distaˆncia do ponto A a` reta r e´ maior, menor ou igual a
√
3 u.c.? porque?
7. Fac¸a um esboc¸o dos gra´ficos dos planos cujas equac¸o˜es gerais, em relac¸a˜o ao sistema de coorde-
nadas Σ, sa˜o dadas por:
a) x = 2 b) y + 1 = 0 c) z + 4 = 0 d) x− z = 0.
8. Mostre que os pontos P
.
= (−1 , 0 , 0)Σ, Q .= (2 ,−1 ,−1)Σ, R .= (0 , 3 , 1)Σ e S .= (4 , 5 , 1)Σ sa˜o
ve´rtices de um quadrila´tero plano (porque?). Escreva as equac¸o˜es das retasem relac¸a˜o ao sistema
de coordenadas Σ, que conteˆm cada um de seus lados.
9. Determinar a equac¸a˜o geral do plano, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas Σ, determinado
pelo ponto P
.
= (2 , 1 ,−1)Σ e pela reta r, de modo que qualquer ponto da mesma e´ da forma
(2t , 1 + t ,−1− t)Σ, para algum t ∈ R.
10. Encontra a equac¸a˜o geral do plano, que conteˆm as retas cujas equac¸o˜es sime´tricas, em relac¸a˜o
ao sistema de coordenadas Σ, sa˜o dadas por: r :
x− 2
3
=
y − 1
2
= z e s :
x− 2
5
= y − 1 = z
3
.
11. Ache as coordenadas do ponto P , em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas Σ, no qual a reta r,
determinada pelos pontos A
.
= (3 ,−1 , 7)Σ e B .= (4 , 2 ,−3)Σ intercepta o plano pi, cuja equac¸a˜o
geral, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas Σ, e´ dada por pi : 6x+ 4 y + z = 25.
2
12. Prove que a reta, cujos pontos tem coordenadas (−4 + t , 2 − 3t , 4 + 5t)Σ, para t ∈ R, esta´
contida no plano, cuja equac¸a˜o geral, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas Σ, e´ dada por
pi : x+ 2y + z = 4.
13. Sendo o vetor ~n
.
= (2 , 1 ,−1)E um vetor normal ao plano pi que passa pelo ponto A .= (1 , 2 , 2)Σ,
escrever as equac¸o˜es parame´tricas de pi, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas Σ.
14. Achar a equac¸a˜o geral do plano, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas Σ, que conte´m a
reta, cujas equac¸o˜es parame´tricas, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas Σ, sa˜o dadas por
r :

x = λ
y = −λ
z = 2 + λ
, para λ ∈ R e e´ perpendicular ao plano α, cuja equac¸a˜o geral, em relac¸a˜o ao
sistema de coordenadas Σ, e´ dada por α : x− 2 y + z − 1 = 0.
15. Seja Γ = (O,F) um sistema coordeandas orotogonal no plano, dados os pontos A .= (2 ,−1)Γ,
B
.
= (5 , 4)Γ e C
.
= (−7 , 8)Γ, ache uma equac¸a˜o da reta, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas
Γ, que divide o aˆngulo B̂AC em partes iguais.
16. Considere o paralelep´ıpedo retaˆngulo, com lados de comprimentos AB = 4, BC = 3 e AE = 2.
Determine:
a) Uma equac¸a˜o vetorial, em relac¸a˜o ao sistema de co-
ordenadas Σ, da reta que conte´m o segmento AF .
b) Uma equac¸a˜o vetorial, em relac¸a˜o ao sistema de co-
ordenadas Σ, da reta que conte´m o segmento AC.
c) Equac¸o˜es parame´tricas, em relac¸a˜o ao sistema de
coordenadas Σ, da reta que passa pelos pontos A e G.
d) Uma equac¸a˜o geral, em relac¸a˜o ao sistema de coor-
denadas Σ, do plano que conte´m a face ABCD.
e) Uma equac¸a˜o geral, em relac¸a˜o ao sistema de coor-
denadas Σ, do plano que conte´m a face ABGF . A B
CD
E F
GH
Sugesta˜o: escolha um sistema de coordenadas ortogonal conveniente.