2° EXERCÍCIO ESCOLAR

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U N I V E R S I D A D E F E D E R A L R U R A L D E P E R N A M B U C O
- U F R P E
D E P A R T A M E N T O D E F I´ S I C A E M A T E M A´ T I C A - D F M
2 a. V E R I F I C A C¸ A˜ O D E A P R E N D I Z A G E M
1. (2,0 pontos) Calcule
∫ pi
4
0
Tg3(x) · Sec3(x) dx.
Soluc¸a˜o
Da relac¸a˜o trigonome´trica Sec2(x) = Tg2(x) + 1 ⇐⇒ Tg2(x) = Sec2(x) − 1 e de a3 = a · a2,
segue que: ∫ pi
4
0
Tg3(x) · Sec3(x) dx =
∫ pi
4
0
Tg(x) · Tg2(x) · Sec(x) · Sec2(x) dx =
=
∫ pi
4
0
Tg(x)·(Sec2(x)− 1)·Sec(x)·Sec2(x) dx = ∫ pi4
0
(
Sec2(x)− 1)·Sec2(x)·Tg(x)·Sec(x) dx
Fazendo a substituic¸a˜o, u = Sec(x) temos du = Tg(x) · Sec(x) dx. Temos que:
∫ pi
4
0
(
Sec2(x)− 1) · Sec2(x) · Tg(x) · Sec(x) dx = ∫ pi4
0
(
u2 − 1) · u2 du = ∫ pi4
0
(
u4 − u2) du =
=
∫ pi
4
0
u4 du−
∫ pi
4
0
u2 du =
1
5
· u5
∣∣∣∣∣
pi
4
0
− 1
3
· u3
∣∣∣∣∣
pi
4
0
=
1
5
· Sec5(x)
∣∣∣∣∣
pi
4
0
− 1
3
· Sec3(x)
∣∣∣∣∣
pi
4
0
=
=
1
5
[
Sec5
(pi
4
)
−Sec5(0)
]
− 1
3
[
Sec3
(pi
4
)
−Sec3(0)
]
=
1
5
[(
2√
2
)5
− 15
]
− 1
3
[(
2√
2
)3
− 13
]
=
=
1
5
[
25
22 · √2 − 1
]
− 1
3
[
23
2 · √2 − 1
]
=
8
5 · √2 −
1
5
− 4
3 · √2 +
1
3
=
2 · (√2 + 1)
15
�
1
2. (2,0 pontos) Calcule
∫
4x2 − 6x+ 4
(x− 2)(x2 + 4) dx.
Demonstrac¸a˜o. Usando o me´todo das frac¸o˜es parciais, segue que,
4x2 − 6x+ 4
(x− 2)(x2 + 4) =
A
x− 2 +
Bx+ C
x2 + 4
⇔ 4x
2 − 6x+ 4
(x− 2)(x2 + 4) =
A · (x2 + 4) + (Bx+ C) · (x− 2)
(x− 2)(x2 + 4)
⇔ 4x2 − 6x+ 4 = A · (x2 + 4) + (Bx+ C) · (x− 2)
⇔ 4x2 − 6x+ 4 = Ax2 + 4A+Bx2 − 2Bx+ Cx− 2C
⇔ 4x2 − 6x+ 4 = (A+B)x2 + (−2B + C)x+ (4A− 2C) .
Da u´ltima igualdade segue que

A+B = 4
−2B + C = −6
4A− 2C = 4
∼

A = 1
B = 3
C = 0
.
Portanto,∫
4x2 − 6x+ 4
(x− 2)(x2 + 4) dx =
∫
1
(x− 2) dx+
∫
3x
(x2 + 4)
dx =
∫
1
(x− 2) dx+ 3 ·
∫
x
(x2 + 4)
dx =
=
∫
1
(x− 2) dx+ 3 ·
1
2
·
∫
2x
(x2 + 4)
dx = Ln|x− 2|+ 3
2
Ln|x2 + 4|+ k
�
3. (2,0 pontos) Calcule
∫ e
1
√
x · Ln(x) dx.
Demonstrac¸a˜o. Usando o me´todo de integrac¸a˜o por partes temos que
 u = ln(x)du = 1
x
dx
e dv =
√
x = x
1
2
v =
2
3
· x 32
. Segue que
2
∫ e
1
√
x · Ln(x) dx = 2
3
· x 32 · ln(x)
∣∣∣e
1
−
∫ e
1
2
3
· x 32 · 1
x
dx =
2
3
· x 32 · ln(x)
∣∣∣e
1
− 2
3
·
∫ e
1
x
1
2 dx =
=
2
3
· x 32 · ln(x)
∣∣∣e
1
− 4
9
· x 32
∣∣∣e
1
=
2
3
·
[
e
3
2 · ln(e)− 1 32 · ln(1)
]
− 4
9
·
[
e
3
2 − 1 32
]
=
=
2
3
· e 32 − 4
9
· e 32 + 4
9
=
2
9
· e 32 + 4
9
=
2 ·
(
e
3
2 + 2
)
9
�
4. (2,0 pontos) Calcule
∫
x√
4 + 4x− x2 dx.
Demonstrac¸a˜o. �
5. (2,0 pontos) Calcule
∫
1
x · (√x+ 4√x) dx.
Sugesta˜o: Fac¸a a substituic¸a˜o t = 4
√
x⇐⇒ x = t4
Demonstrac¸a˜o. �
3