Disperção da Luz por um Prisma

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE FI´SICA
LICENCIATURA E BACHARELADO EM FI´SICA
DISPERSA˜O DA LUZ POR UM PRISMA
FIDELIS SOUZA PASSOS
ISRAEL IVO
VALDINEY RODRIGUES ALMEIDA
HELENA BORDINI
MANOEL SALVINO LIMA NETO
RAYANNA OLIVEIRA COSTA
PROFESSOR: EDUARDO CAMPOS CURVO
2016
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE FI´SICA
LICENCIATURA E BACHARELADO EM FI´SICA
DISPERSA˜O DA LUZ POR UM PRISMA
FIDELIS SOUZA PASSOS
ISRAEL IVO
VALDINEY RODRIGUES ALMEIDA
HELENA BORDINI
MANOEL SALVINO LIMA NETO
RAYANNA OLIVEIRA COSTA
Relato´rio apresentado ao curso de Bacharelado
e Licenciatura em F´ısica, em cumprimento as
exigeˆncias legais, sob a orientac¸a˜o do professor
Eduardo Campos Curvo para obtenc¸a˜o de nota
da disciplina Laborato´rio de F´ısica Moderna do
semestre 2015/2.
Cuiaba´, 9 de marc¸o de 2016
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 2
2 Fundamentac¸a˜o Teo´rica 3
3 Procedimentos Experimentais 5
3.1 Instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Resultados e Discusso˜es 7
4.1 Perguntas Propostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Conclusa˜o 12
6 Bibliografia 13
1
1 Introduc¸a˜o
O prisma triangular e´ uma ferramenta bastante utilizada na o´tica e em diversos ramos da
f´ısica, vinculados aos estudos dos espectros luminosos. Devido as suas propriedades geome´tricas.
Por se tratar de um meio de densidade diferente da densidade do ar, toda radiac¸a˜o que penetra
o vidro do prisma sofre um fenoˆmeno chamado de refrac¸a˜o, onde cada comprimento de onda
presente no feixe e´ refratado em aˆngulos diferentes.
O aˆngulo de refrac¸a˜o para cada comprimento de onda e´ determinado por meio do ı´ndice de
refrac¸a˜o, o ı´ndice de refrac¸a˜o e´ uma propriedade do meio (vidro). No entanto, por me´todos
experimentais, e´ mais pra´tico se obter o aˆngulo de refrac¸a˜o do que o ı´ndice de refrac¸a˜o. A
fo´rmula de Cauchy e´ um me´todo que permite obter o ı´ndice de refrac¸a˜o em func¸a˜o do aˆngulo
do feixe espalhado. Dessa forma, o objetivo deste trabalho foi obter o ı´ndice de refrac¸a˜o de um
prisma de vidro para diversos comprimentos de onda utilizando a fo´rmula de Cauchy e analisar
o uso do prisma como espectroˆmetro.
2
2 Fundamentac¸a˜o Teo´rica
A refrac¸a˜o e´ um fenoˆmeno interessante que acontece com a luz e com qualquer onda eletro-
magne´tica. Refratar vem da palavra latina que significa ”quebrar”. A palavra ”fratura”tambe´m
tem a mesma raiz. De fato, ao se mergulhar um la´pis inclinado dentro de um copo cheio de
a´gua, o la´pis parecera´ ”quebrado”. O fenoˆmeno da refrac¸a˜o ocorre quando a luz ou onda ele-
tromagne´tica passa de um meio com um determinado coeficiente de refrac¸a˜o para outro de
coeficiente diferente.
Figura 1: A dispersa˜o por um prisma e o arco ı´ris sa˜o manifestac¸o˜es de que a luz branca e´
composta de cores e que o ı´ndice de refrac¸a˜o depende do comprimento de onda. (Imagens
reproduzidas do roteiro do experimento).
A dispersa˜o da luz se manifesta em fenoˆmenos naturais, como o arco ı´ris (Fig. 1), e em va´rios
campos da cieˆncia e tecnologia. Por exemplo, em lentes da´ lugar a` aberrac¸a˜o croma´tica e, em
comunicac¸o˜es por fibra o´ptica, produz um alargamento dos pulsos de luz que se propagam nas
fibras, limitando a taxa de transmissa˜o. Assim, conhecer a relac¸a˜o de dispersa˜o e´ importante
para projetar lentes de caˆmeras, telesco´pios, microsco´pios e sistemas de comunicac¸a˜o o´ptica.
O coeficiente de refrac¸a˜o, n, e´ a raza˜o entre a velocidade da luz no va´cuo e a velocidade da
luz no meio em questa˜o:
η =
c
v
(1)
O que acontece, de fato, e´ que a velocidade da luz muda ao passar de um meio, como o ar, para
outro, como a a´gua ou vidro. O efeito disso e´ o desvio do facho de luz sob um determinado
aˆngulo. O coeficiente de refrac¸a˜o depende da densidade do meio: aquele e´ maior, quanto mais
denso foi o meio, ou seja, menor a velocidade da luz no meio mais denso.
A frequeˆncia da luz na˜o muda quando esta passa de um meio para outro. De acordo com a
equac¸a˜o:
v = λf (2)
A mudanc¸a de velocidade e comprimento de onda na borda de dois materiais causa a mudanc¸a
de direc¸a˜o da luz. Uma analogia rudimentar para isso seria um carro, inicialmente no asfalto,
aproximando-se de uma estrada de lama sob um determinado aˆngulo agudo. O primeiro pneu
a atingir a lama diminuira´ de velocidade, enquanto que o pneu do mesmo eixo ainda roda a`
maior velocidade no asfalto. Isso obrigara´ o carro a virar, ate´ que ambos pneus estejam na
lama e girando a` mesma velocidade. Se θ1 e´ o aˆngulo do raio relativo a` normal do plano de
incideˆncia no meio 1 (figura 2), e θ2 e´ o aˆngulo relativo a` normal no meio 2, enta˜o a lei de Snell
nos da´
senθ1
senθ2
=
v1
v2
=
η1
η2
(3)
A Lei de Snell pode ser deduzida segundo va´rias maneiras diferentes. Duas deduc¸o˜es famosas
sa˜o creditadas ao Princ´ıpio de Huygens e ao Princ´ıpio de Fermat.
O Princ´ıpio de Huygens postula que: todos os pontos numa frente de onda podem ser
considerados como fontes pontuais para a produc¸a˜o de ondas elementares esfe´ricas secunda´rias.
3
Figura 2: Um raio de luz que passa de um meio para outro com η1 < η2
Apo´s um tempo t a nova posic¸a˜o de uma frente de onda e´ a superf´ıcie tangente a estas ondas
elementares secunda´rias.
O Princ´ıpio de Fermat, descoberto em 1650, expressa que: Um raio de luz que se propaga de
um ponto fixo para outro ponto fixo segue um trajeto tal que, comparado aos trajetos pro´ximos,
o tempo necessa´rio e´ um mı´nimo, um ma´ximo ou permanece inalterado (isto e´, estaciona´rio).
Figura 3: (Esquerda) Curva de dispersa˜o de va´rios vidros e (direita) curva de dispersa˜o de
Cauchy para o caso do vidro BK7. (Retirado do roteiro do laborato´rio)
A figura 3 ilustra a variac¸a˜o do ı´ndice de refrac¸a˜o com o comprimento de onda para diversos
vidros utilizados em o´tica. Na regia˜o do espectro vis´ıvel, na maioria dos materiais o ı´ndice de
refrac¸a˜o diminui com o comprimento de onda (este comportamento se diz dispersa˜o normal. O
gra´fico da direita na fig. 3 mostra a dispersa˜o do vidro BK7, muito utilizado na confecc¸a˜o de
lentes, e curvas de ajuste utilizando a fo´rmula de Cauchy 1,
η = A+
B
λ2
+
C
λ4
+ · · · (4)
Na regia˜o do espectro vis´ıvel, geralmente a fo´rmula de Cauchy com os dois primeiros termos
e´ simples e descreve bem a dispersa˜o no caso de vidros transparentes:
η = A+
B
λ2
(5)
O erro no ı´ndice de refrac¸a˜o pode ser estimado aplicando a fo´rmula de propagac¸a˜o de erros:
∆η =
√
[1− η2sen2(α/2)]∆δ2 + [sen(δ/2)/sen(α/2)]2∆α2
2sen(α/2)
(6)
E para aˆngulos alpha muito pro´ximos de 60◦ podemos utilizar a equac¸a˜o:
∆η ≈ 3× 10−4
√
2 + η2/4− η
√
3(1− η2/4) (7)
4
3 Procedimentos Experimentais
3.1 Instrumentos
Figura 4: Gonioˆmetro composto por duas lunetas
1. Gonioˆmetro composto por duas lunetas ou telesco´pio, uma fixa e outra presa a uma mesa
girato´ria (figura 4).
(1) Fenda
(2) Ajuste de foco do telesco´pio fixo ou colimador
(3) Ocular do telesco´pio girato´rio
(4) Ajuste de foco
(5) Parafuso de trava da mesa girato´ria
(6) Parafuso de avanc¸o fino da mesa girato´ria
(7) Parafuso de trava do disco graduado
(8) Avanc¸o fino do disco graduado para zerar o instrumento
(9) Parafuso de trava da platina (platina e´ a superf´ıcie horizontal onde o prisma foi
colocado)
(10) Um dos treˆs parafusos para nivelar a platina; (Direita) Detalhe do Vernier,
indicando um aˆngulo me´dio de 103o + 30′ + 15′ = 103o45′
2. Prisma
3. Laˆmpadas de cadmio, mercu´rio e zinco.
3.2 Procedimento
1. Alinhamento inicial: utilizou-se luz branda de so´dio (Na).
1.1 Destravou-se a luneta mo´vel(parafuso 5 da figura 4) e alinhou-se a fenda de
entrada de luz com a luneta de leitura.
1.2 Travou-se a luneta e fez o ajuste fino com o parafuso 6 ate´ a linha vertical da cruz
coincidir com o lado da fenda que na˜o se move.
1.3 Soltou-se a trava do disco do gonioˆmetro (parafuso 7) e ajustou-se o “zero”do
Vernier. Travou-se o gonioˆmetro e utilizando uma lupa para ver bem os riscos do Vernier,
ajustou-se o “zero”movendo o gonioˆmetro com o seu ajuste fino (parafuso 8).
5
2. Mediu-se o a´pice α, para medi-lo usou-se o fato que o aˆngulo entre os dois raios refletidos
nas duas faces do prisma e´ igual a 2α.
2.1 Destravou-se a luneta mo´vel (parafuso 5, figura 4).
2.2 Colocou-se o prisma apontado para a fenda e encontrou-se a imagem refletida em
uma das faces do prisma.
2.3 Girou-se levemente a fenda ate´ alinhar paralelamente a linha vertical da cruz.
2.4 Encontrou-se a imagem refletida em outra face do prisma.
2.5 Nivelou-se a platina utilizando o parafuso 9 ate´ que as imagens vistas por reflexa˜o
nas duas faces do prisma estivessem a mesma altura do campo visual
2.6 Alinhou-se com as duas reflexo˜es e verificou-se em cada imagem refletida qual e´ o
lado da fenda que na˜o se move.
2.7 Travou-se a luneta e alinhou-se finamente (parafuso 6) a cruz com o lado da fenda
que na˜o se move. Fez-se a leitura dos aˆngulos (L1 e L2) no Vernier correspondentes a`s
duas reflexo˜es, notou-se que a leitura de L1 coincide com o aˆngulo defletido na reflexa˜o,
entretanto, L2 deve ser subtra´ıdo de 360
o, tal que, α = (L1 + 360
o − L2)/2.
3. Achou-se o aˆngulo de desvio mı´nimo: Utilizou-se a laˆmpada de so´dio (Na).
3.1 Posicionou o prima de modo que os raios refratados se dirigissem para o lado dos
aˆngulos “positivos”do gonioˆmetro (para na˜o precisar subtrair 360o em toda medida).
3.2 Destravou-se a luneta e achou-se a raia amarela. Ajustou-se o foco e fechou-se a
fenda ate´ obter uma imagem n´ıtida e mais fina poss´ıvel.
3.3 Destravou-se a platina ligeiramente (parafuso 9) de modo que ela pudesse girar
sem cair. Girou-se a platina com uma ma˜o e acompanhou-se a raia amarela movendo
a luneta com a outra ma˜o ate´ que achasse a posic¸a˜o na qual o aˆngulo de desvio fosse
mı´nimo.
3.4 Travou-se a luneta (parafuso 5) e a platina (parafuso 9).
3.5 Utilizou-se o avanc¸o fino da luneta (parafuso 9), e alinhou-se a linha vertical da
cruz com o lado da imagem da fenda que na˜o se move e leu-se o aˆngulo no Vernier.
3.6 Mediu-se outras linhas utilizando o mesmo procedimento anterior (3.5).
4. Medida da dispersa˜o: utilizou-se todas as laˆmpadas dispon´ıveis.
4.1 Desconsiderou-se as raias na qual na˜o se obteve certeza sobre seus comprimentos
de ondas.
4.2 Para linhas mais fracas abriu-se a fenda e ajustou-se o foco ate´ que conseguisse
uma n´ıtida e inconfund´ıvel. O aˆngulo correto e´ sempre aquele no qual a linha vertical da
cruz coincide com o lado da fenda que na˜o se move.
4.3 Para raias pro´ximas entre si na˜o precisou girar o prisma (ja´ que a condic¸a˜o de
desvio mı´nimo depende pouco do comprimento de onda).
4.4 Organizou-se os dados na tabela do roteiro dado em aula pelo professor.
4.5 Colocou-se os dados num gra´fico η por λ−2 durante o experimento, para des-
considerar as medidas que se afastaram muito da reta feita pelo me´todo dos mı´nimos
quadrados e remedi-las obtendo um resultado melhor.
6
4 Resultados e Discusso˜es
O gra´fico da figura 5 abaixo foi obtido a partir dos dados coletados experimentalmente a`
partir do procedimento 4, foi plotado primeiramente pelo programa Origin em sala de aula, e
definitivamente pelo Matlab. Os coeficientes A e B foram obtidos pelo me´todo dos mı´nimos
quadrados.
Figura 5: A` partir dos resultados obtidos em laborato´rio, aproximou-se uma reta pelo me´todo
dos mı´nimos quadrados para este gra´fico.
O gra´fico abaixo da figura 6 foi obtido resolvendo a equac¸a˜o 5 para λ.
Figura 6: Dados experimentais e curva usando a fo´rmula de Cauchy.
Repare que esses gra´ficos so´ foram poss´ıveis a partir dos resultados dos δmin medidos ex-
perimentalmente, obtendo os ı´ndices de refrac¸a˜o a partir destes, usando laˆmpadas de cadmio,
mercu´rio e zinco. Todos os valores dados e medidos esta˜o contidos na tabela 1 abaixo:
Apo´s observarmos os espectros das laˆmpadas citadas acima, outros diferentes tipos de
laˆmpadas foram usados. Essas, sa˜o laˆmpadas mais usadas no nosso dia a` dia. Afim de poder
visualizar as raias espectrais das laˆmpadas que sera˜o citadas logo a seguir, utilizamos os mes-
mos procedimento de calibrac¸a˜o que foram usados antes, que consiste em zerar o gonioˆmetro,
posicionar o alvo da luneta sobre a raia central da laˆmpada e procurar a imagem refletida no
prisma que forma cada raia espectral.
7
λ(nm) Cauchy (nm) ∆λ(nm) Elemto Cor λ−2µm−2 δmin (graus) η ∆η
643,85 652,79 2,6719 Cd 2,4123 38,433 1,5158 0,00027847
508,58 515,93 2,1105 Cd 3,8662 38,967 1,5219 0,00027962
479,99 480,85 1,9919 Cd 4,3404 39,183 1,5243 0,00028008
467,81 464,62 1,9413 Cd 4,5694 39,3 1,5256 0,00028034
578,01 564,35 2,3986 Hg 2,9932 38,733 1,5192 0,00027911
546,07 538,5 2,2661 Hg 3,3535 38,85 1,5205 0,00027936
435,83 434,88 1,8086 Hg 5,2645 39,55 1,5284 0,00028088
404,66 404,36 1,6793 Hg 6,107 39,867 1,532 0,00028158
636,23 640,62 2,6403 Zn 2,4704 38,467 1,5162 0,00027855
491,16 483,2 2,0382 Zn 4,1452 39,167 1,5241 0,00028005
481,05 473,71 1,9963 Zn 4,3214 39,233 1,5249 0,00028019
472,21 466,88 1,9593 Zn 4,4847 39,283 1,5254 0,0002803
Tabela 1: Valores dados: λ, λ−2. O restante foi obtido no experimento ou com a fo´rmula de
Cauchy (equac¸a˜o 5).
A primeira laˆmpada observada, foi a laˆmpada de luz negra, a fotografia que se tirou ficou
de ma´ qualidade, e na˜o se achou nenhuma no google que desse ao mı´nimo para enganar,
mas pode-se descrever que observamos as seguintes cores: violeta, violeta claro, verde, azul e
laranja. As laˆmpadas de luz negra possuem um invo´lucro negro que absorve a radiac¸a˜o vis´ıvel,
liberando somente radiac¸a˜o ultravioleta (UV) de longo comprimento de onda, invis´ıvel para
o olho humano. Certas substaˆncias, quando sujeitas a` irradiac¸a˜o com raios UV, absorvem
essa radiac¸a˜o, reemitindo-a em outro comprimento de onda. Esse processo e´ chamado de
fluoresceˆncia e acontece com superf´ıcies brancas e de certas cores especiais.
Em seguida observamos o espectro da luz fluorescente (figura 7) e observamos as seguintes
cores: violeta, azul, ciano, verde, laranja e vermelha. O processo de emissa˜o de luz de uma
laˆmpada fluorescente e´ parecido com o da laˆmpada incandescente. Um eletrodo e´ coloca dentro
de um tubo de vidro selado que conte´m uma certa quantidade de mercu´rio e um ga´s inerte
(normalmente argoˆnio). O tubo tambe´m e´ revestido com po´ de fo´sforo. Quando uma corrente
ele´trica alimentada por uma CA passa pelo tudo, ela excita os ele´trons do mercu´rio.
Figura 7: Espectro da Luz Fluorescente
8
Observou-se tambe´m o espectro da laˆmpada de luz incandescente, que consiste nas cores
do espectro vis´ıvel de forma continua (figura 8). A laˆmpada incandescente e´ uma laˆmpada
composta de uma ampola de vidro bastante fino preenchido com um ga´s inerte, em geral o
argoˆnio, e um fino filamento constitu´ıdo de tungsteˆnio, que ao ser percorrido por uma corrente
ele´trica, se aquece ate´ a incandesceˆncia, emitindo uma luz branca de tom levemente amarelado.
Figura 8: Espectro da Luz incandescente
Logo em seguida usamos uma laˆmpada incandescente com camada de fosforo, onde obtemos
um espectro continuo, ideˆntico ao de cima, pore´m mais n´ıtido como vemos na figura 4.
Figura 9: Espectro da Luz incandescente com camada de fo´sforo
Outra laˆmpada incandescente que tambe´m foi utilizada, sa˜o as laˆmpadas verde e laˆmpada
vermelha, e os espectros observados tambe´m sa˜o continuo so´ que no caso da primeira, a raia
verde ficou mais n´ıtido que osoutros e no caso da segunda a raia vermelha foi a mais n´ıtida.
Essas duas u´ltimas laˆmpadas na˜o foram tiradas foto pois eram muito semelhantes ao espectro
da figura 9.
9
4.1 Perguntas Propostas
Algumas das respostas das perguntas esta˜o dadas indiretamente nos resultados, essa sec¸a˜o
e´ para as que precisa˜o ser evidenciada, segue enta˜o o desenvolvimento
1. Segundo o postulado de Bohr ”um ele´tron orbitando um a´tomo se move em uma o´rbita
circular em torno do nu´cleo sob influeˆncia da atrac¸a˜o columbiana entre o e´letron e o
nu´cleo, obedecendo as leis da mecaˆnica cla´ssica (Fc = ma)”onde
Fc =
1
4pi�0
Ze2
r2
(8)
e Fc e´ a forc¸a centr´ıpeta, enta˜o (8) se torna
mv2 =
1
4pi�0
Ze2
r
(9)
onde v e´ a velocidade do ele´tron e r e´ o raio da o´rbita.
Se baseando em outro postulado de Bohr ”um ele´tron so´ pode se mover em uma o´rbita
na qual seu momento angular orbital L e´ um mu´ltiplo inteiro de h¯ (constante de Plank
dividido por 2) enta˜o
v =
nh¯
mr
(10)
Com n = 1, 2, 3, ... Substituindo (10) em (9)
v = 4pi�0
n2h¯2
mZe2
(11)
Substituindo (11) em (10) temos
v =
1
4pi�0
Ze2
nh¯
(12)
Seguindo o postulado de Bohr, um ele´tron apesar de estar acelerado na˜o emite radiac¸a˜o
eletromagne´tica, portanto sua energia total E permanece constante
Substituindo (11) em (10) temos
E = K + V (13)
onde
K =
1
2
mv2 (14)
Substituindo (12) em (14) temos
K =
1
16pi2�20
mZ2e4
2n2h¯2
(15)
A energia potencia V pode ser obtida integrando de r ate´ ∞ que e´
V = − Ze
2
4pi�0r
(16)
Substituindo 12 em 16
V = − mZ
2e4
16pi2�20n
2h¯2
(17)
10
Substituindo 17 e 15 em 13 temos
E =
mZ2e4
(4pi�0)22h¯
2
1
n2
(18)
Para o a´tomo de hidrogeˆnio os n´ıveis de energia sa˜o;
n = 1: E1 = −13, 6 eV = −21, 7× 10−19 J
n = 2: E2 = −3, 39 eV = −5, 42× 10−19 J
n = 3: E3 = −1, 52 eV = −2, 41× 10−19 J
n = 4: E1 = −0, 85 eV = −1, 36× 10−19 J
n =∞: E1 = 0 eV
Ha´ uma conexa˜o dos n´ıveis de energia com o espectro observado para o hidrogeˆnio rela-
cionando a energia E com o comprimento de onda do modelo de Bohr.
ν =
∆E
h
=
Ef − Ei
h
=
c
λ
(19)
Enta˜o para n=2 e n=3 e com h = 6, 63× 10−34 temos:
λ = 661 nm que e´ o comprimento de onda da cor vermelha.
Para n=2 e n=4 temos: λ = 490 nm que e´ o comprimento de onda na cor azul.
Portanto atrave´s dos n´ıveis de energia podemos calcular o comprimento de onda e cons-
truir o espectro do hidrogeˆnio observado.
2. (Resposda da pergunta nu´mero 6) Sa˜o esperados raias espectrais na regia˜o do vis´ıvel que
sa˜o as raias espectrais do elemento qu´ımico mercu´rio e fo´sforo.
Foram observadas raias espectrais discretas nas cores: vermelho, laranja, verde, azul claro,
azul escuro e violeta.
11
5 Conclusa˜o
Conclu´ımos, por fim, que os objetivos iniciais foram alcanc¸ados com eˆxito significa´vel.
Os resultados obtidos foram de forma geral, muito pro´ximo dos valores teo´ricos que se
esperavam obter. Valores estes que so´ foram capazes de ser conhecidos atrave´s das equac¸o˜es
devidamente desenvolvidas na “fundamentac¸a˜o teo´rica”. (ou o titulo que la estiver). Notemos
uma discrepaˆncia, apenas por pequenos “erros humanos” na hora em que as medidas foram
tomadas, no entanto, foi poss´ıvel determinar a relac¸a˜o de dispersa˜o do vidro com exatida˜o
considera´vel em relac¸a˜o ao valor teo´rico que se esperava.
12
6 Bibliografia
@articleresnick1979fisica, title=F´ısica quaˆntica: a´tomos, mole´culas, so´lidos, nu´cleos e part´ıculas,
author=Resnick, Robert and Eisberg, Robert, journal=Editora Campus, year=1979
http://sites.ifi.unicamp.br/laboptica/files/2013/01/prisma2013.pdf
13
	Introdução
	Fundamentação Teórica
	Procedimentos Experimentais
	Instrumentos
	Procedimento
	Resultados e Discussões
	Perguntas Propostas
	Conclusão
	Bibliografia