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Elon Lages Lima Analise Real (Volume 2) IMPA (1997)

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Análise Real
Volume 2
Elon Lages Lima
Rio de Janeiro
9 de março de 2004
Sumário
1 Topologia do Espaço Euclidiano 1
1 O espaço euclidiano n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Bolas e conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Seqüências em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Aplicações contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10 Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Caminhos em Rn 33
1 Caminhos diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Cálculo diferencial de caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 A integral de um caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Caminhos retificáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Funções Reais de n Variáveis 44
1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Funções de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 O Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 A fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Pontos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Funções convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Apêndice: Continuidade das funções convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Funções Implícitas 69
1 Uma função implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2 Hiperfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 Multiplicador de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Aplicações Diferenciáveis 81
ii
1 A derivada como transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2 Exemplos de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 Cálculo diferencial de aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6 Aplicações Inversas e Implícitas 92
1 O Teorema da Aplicação Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2 Várias Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Superfícies Diferenciáveis 104
1 Parametrizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2 Superfícies diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3 O espaço vetorial tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4 Superfícies orientáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8 Integrais Múltiplas 120
1 A definição de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2 Conjunto de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3 Cálculo com integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4 Conjuntos J -mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5 A integral como limite de somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 134
9 Mudança de Variáveis 139
1 O caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2 Difeomorfismos primitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3 Todo difeomorfismo C1 é localmente admissível . . . . . . . . . . . . . . 143
4 Conclusão: todo difeomorfismo de classe C1 é admissível . . . . . . . . 144
Capítulo 1
Topologia do Espaço Euclidiano
1 O espaço euclidiano n-dimensional
Seja n um número natural. O espaço euclidiano n-dimensional Rn é o produto
cartesiano de n fatores iguais a R : Rn = R × R × . . . × R. Seus elementos,
portanto, são as seqüências (ou listas) den termos reaisx = (x1, . . . , xn). Para cada
i = 1, . . . , n, o termo xi chama-se a i-ésima coordenada de x. Se x = (x1, . . . , xn)
e y = (yr, . . . , yn), tem-se x = y se, e somente se, x1 = y1, . . . , xn = yn. Assim,
toda igualdade entre dois elementos de Rn equivale a n igualdades entre números
reais. R1 = R é o conjunto dos números reais, R2 é o modelo numérico do plano e
R3 é o modelo do espaço euclidiano tridimensional. Por simplicidade, adotaremos
o hábito de escrever z = (x, y) em vez de x = (x1, x2) e w = (x, y, z) em vez de
x = (x1, x2, x3).
Os elementos de Rn às vezes são chamados pontos e às vezes vetores. Es-
te segundo nome se aplica principalmente quando se considerarem entre eles as
operações que definiremos agora.
A adição faz corresponder a cada par de elementos x = (x1, . . . , xn) e
y = (y1, . . . , yn) a soma
x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) .
e a multiplicação do número real α pelo elemento x = (x1, . . . , xn) tem
como resultado o produto
α · x = (αx1, . . . , αxn) .
O vetor 0 = (0, 0, . . . , 0), cujas coordenadas são todas nulas, chama-se a
origem de Rn. Para todo x = (x1, . . . , xn), o vetor −x = (−x1, . . . ,−xn) chama-
se o oposto, ou simétrico de x. Dados quaisquer x, y, z ∈ Rn e α, β ∈ R valem as
2 CAPÍTULO 1: TOPOLOGIA DO ESPAÇO EUCLIDIANO
igualdades
x + y = y + x, x + 0 = x, −x + x = 0,
x + (y + z) = (x + y) + z, α(βx) = (αβ)x,
(α + β)x = αx + βx, α(x + y) = αx + αy .
A segunda e a terceira delas dizem que 0 é o elemento neutro da adição e −x é
o inverso aditivo de x.
Os vetores e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . en = (0, . . . , 1), que
têm uma única coordenada não-nula, igual a 1, constituem a base canônica de Rn.
A igualdade x = (x1, . . . , xn) significa que x = x1 · e1 + · · · + xn · en.
Existe ainda uma operação que associa a cada par de vetores x = (x1, . . . , xn),
y = (y1, . . . , yn) o número real
〈 x, y 〉 = x1y1 + · · · + xnyn,
chamado o produto interno de x por y.
Para x, y, z ∈ Rn e α ∈ R quaisquer, tem-se
〈 x, y 〉 = 〈 y, x 〉, 〈 x, y + z 〉 = 〈 x, y 〉 + 〈 x, z 〉,
〈αx, y 〉 = α · 〈 x, y 〉, 〈 x, x 〉 > 0 se x �= 0 .
Segue-se que 〈 x+y, z 〉 = 〈 x, y 〉+〈 x, y 〉, 〈 x, αy 〉 = α〈 x, y 〉 e 〈 x, 0 〉 = 0.
Diz-se que os vetores x, y ∈ Rn são ortogonais, e escreve-se x ⊥ y, quando
〈 x, y 〉 = 0. Por exemplo, 〈 ei, ej 〉 = 0 se i �= j .
Um exemplo menos trivial de ortogonalidade é o seguinte
(1.1) Seja x ∈ Rn não-nulo. Para todo y ∈ Rn, o vetor z = y − 〈 x, y 〉〈 x, x 〉 · x é
ortogonal a x.
Demonstração. 〈 x, z 〉 = 〈 x, y 〉 − 〈 x, y 〉〈 x, x 〉 · 〈 x, x 〉 = 0.
Escrevendo y = 〈 x, y 〉〈 x, x 〉 · x + z, vemos assim que, uma vez dado um vetor
não-nulo x ∈ Rn, todo vetor y ∈ Rn se escreve como soma de um múltiplo de x
com um vetor ortogonal a x. Esta decomposição é única pois se y = α · x + z
com z ⊥ x, tomando-se o produto interno de ambos os membros por x obtemos
〈 x, y 〉 = α · 〈 x, x 〉, logo α = 〈 x, y 〉/〈 x, x 〉. O vetor αx = (〈 x, y 〉/〈 x, x 〉)x
chama-se a projeção ortogonal de y sobre (a reta que contém) x.
SECTION 1: O ESPAÇO EUCLIDIANO N -DIMENSIONAL 3
Figura 1.
O número não-negativo |x| = √〈 x, x 〉 chama-se a norma (ou o comprimento)
do vetor x. Se x = (x1, . . . , xn) então
|x| =
√
x21 + · · · + x2n.
Por definição, tem-se 〈 x, x 〉 = |x|2. Quando |x| = 1, diz-se que x é um vetor
unitário. Para todo x �= 0, o vetor u = x/|x| é unitário.
(1.2) (Teorema de Pitágoras). Se x ⊥ y então |x + y|2 = |x|2 + |y|2.
Demonstração. |x + y|2 = 〈 x + y, x + y 〉 = 〈 x, x 〉 + 2〈 x, y 〉 + 〈 y, y 〉 =
〈 x, x 〉 + 〈 y, y 〉 = |x|2 + |y|2.
(1.3) (Desigualdade de Schwarz). Para quaisquer