02_vetores_e_escalares
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02_vetores_e_escalares


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b
!
 e \u3d5 é o ângulo formado por esses
dois últimos dois vetores.
 c
!
 b
!
 \u3d5
 a
!
Uma aplicação do produto vetorial é a definição da força F
!
 que atua em uma car-
ga elétrica q que penetra com velocidade v
!
 numa região que existe um campo magnéti-
co B
!
 :
BvqF
!!!
×=
ou ainda:
F = q v B sen\u3d5
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 Usando a definição de produto vetorial, encon-
tramos que:
ijkji \u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 ×\u2212==×
jkikj \u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 ×\u2212==×
kijik \u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 ×\u2212==×
0\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 =×=×=× kkjjii
 z
 k\u2c6
 i\u2c6 j\u2c6 y
 x
De modo genérico, podemos definir o produto vetorial como:
( ) ( )zyxzyx bkbjbiakajaibac \u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 ++×++=×= !!!
e usando os resultados dos produtos vetoriais entre os vetores unitários, encontramos
que:
( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy babakbabajbabaic \u2212+\u2212+\u2212= \u2c6\u2c6\u2c6!
Usando as propriedades de matrizes, encontramos que o produto vetorial pode ser
expresso como o determinante da matriz definida a seguir:
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=×=
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
bac
\u2c6\u2c6\u2c6
!!!
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Solução de alguns problemas
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
02 Quais são as propriedades dos vetores a
!
 e b
!
 tais que:
a) cba
!!!
=+ e a + b = c
Temos que: ( ) ( ) babbaababacc !!!!!!!!!!!! \u22c5+\u22c5+\u22c5=+\u22c5+=\u22c5 2
ou seja:
\u3b8cos2222 abbac ++=
Para que c = a + b é necessário que \u3b8 = 0 pois
c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2
Portanto ba
!!
 c
!
 b
!
 \u3b8
 a
!
 a
!
 b
!
b) baba
!!!!
\u2212=+
Da equação acima, temos que:
002 =\u2234=\u2234+=\u2212 bbbbaa
!!!!!!
c) 222 cbaecba =+=+
!!!
Como
\u3b8cos2222 abbac ++= ,
para que
c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2
devemos ter
2
\u3c0\u3b8 = portanto ba
!!
\u22a5
 b
!
 \u3b8
 a
!
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
06
O vetor a
!
 tem módulo de 3 unidades e está dirigido para Leste. O vetor b
!
 está diri-
gido para 350 a Oeste do Norte e tem módulo 4 unidades. Construa os diagramas
vetoriais para a
!
 + b
!
 e b
!
 - a
!
 . Estime o módulo e a orientação dos vetores
a
!
 + b
!
 e a
!
 - b
!
 a partir desse diagramas.
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
+=
=
yx
x
bjbib
aia
\u2c6\u2c6
\u2c6
!
!
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
====
\u2212=\u2212=\u2212=
==
27,335cos4cos
29,235sen4sen
3
0
0
\u3b8
\u3b8
bb
bb
aa
y
x
x
 y
 b
!
 \u3b8
 Oeste Leste
 a
!
 x
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a)
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
+=
+=
+=
yyy
xxx
bac
bac
bac
!!!
cx = 3 - 2,29 = 0,71
cy = 3,27
34,322 =+= yx ccc
b)
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
\u2212=
\u2212=
\u2212=
yyy
xxx
abd
abd
abd
!!!
dx = -2,29 - 3 = -5,29
dy = 3,27
21,622 =+= yx ddd
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
32
Prove que dois vetores devem ter o mesmo módulo para que sua soma seja perpen-
dicular á sua diferença.
( ) ( ) babababa =\u21d2=\u2212=\u2212\u22c5+ 022!!!!
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
39 Mostre que num sistema de coordenadas destrógiro:
1\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 =\u22c5=\u22c5=\u22c5 kkjjii
e
0\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 =\u22c5=\u22c5=\u22c5 ikkjji
A definição de produto escalar é tal que: \u3b8cosbaba =\u22c5
!!
 , onde \u3b8 é o ângulo formado
pelos vetores. Logo:
11.1.10cos\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 0 ===\u22c5 iiii
e
00.1.190cos\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 0 ===\u22c5 jiji
Os outros itens seguem-se como extensão desses anteriores.
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Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
45
A soma de três vetores é igual a zero, como mostra a
figura. Calcule:
 \u3b1
 c
!
 b
!
 \u3b8
 a
!
a) ?=\u22c5 ba
!!
0
2
cos ==\u22c5 \u3c0baba
!!
b) ca
!!
\u22c5 = - a c cos\u3b8 = -a c (a/c) = - a2
c) cb
!!
\u22c5 = - b c cos\u3b1 = - b c (b/c) = - b2
Podemos concluir que:
0=++ bac
!!!
0=\u22c5+\u22c5+\u22c5 acbccc
!!!!!!
logo:
c2 = a2 + b2
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
46 Para o problema anterior, calcule:
a) =× ba
!!
?
Suponhamos que o eixo z seja perpendicular ao pla-
no definido pelos vetores a
!
 e b
!
 .
=× ba
!!
z\u2c6 a b sen(\u3c0/2) = z\u2c6 a b
 b
!
 \u3b2
 a
!
b) =× ca
!!
?
=× ca
!!
 a c sen\u3b8
=× ca
!!
(- z\u2c6) a c sen\u3b8 = - z\u2c6 a c (b/c) = - z\u2c6 a b
 \u3b8
 a
!
 c
!
c)
=× cb
!!
?
=× cb
!!
 b c sen\u3b1
=× cb
!!
z\u2c6 b c sen\u3b1 = z\u2c6 b c (a/c)
=× cb
!!
z\u2c6 a b
 b
!
 c
!
 \u3b1
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Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
47 Produto escalar em função das coordenadas: Suponha que dois vetores sejam
representados em termos das coordenadas como:
zyx akajaia \u2c6\u2c6\u2c6 ++=
!
 e zyx bkbjbib \u2c6\u2c6\u2c6 ++=
!
mostre que:
zzyyxx babababa ++=\u22c5
!!
Por definição temos que:
=\u22c5 ba
!! ( )\u22c5++ zyx akajai \u2c6\u2c6\u2c6 ( )zyx bkbjbi \u2c6\u2c6\u2c6 ++
Usando os resultados do problema 39, resolvido anteriormente, temos a resposta
pedida.
zzyyxx babababa ++=\u22c5
!!
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
51 Dois vetores são dados por jia \u2c65\u2c63 +=
!
 e jib \u2c64\u2c62 +=
!
 . Calcule:
a) ba
!!
× =?
ba
!!
× = ( ) kk
kji
\u2c622.54.3\u2c6
042
053
\u2c6\u2c6\u2c6
=\u2212=
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
b) ba
!!
\u22c5 =?
ba
!!
\u22c5 = 3.2 + 5.4 = 26
c) ( ) bba !!! \u22c5+ =?
( ) bba !!! \u22c5+ = ( ) ( )jiji \u2c64\u2c62\u2c69\u2c65 +\u22c5+ = 5.2 + 9.4 = 46