09_sistema_de_particulas
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10 de setembro de 2002
09. SISTEMA DE PARTÍCULAS ........................................................................................ 2
O CENTRO DE MASSA.......................................................................................................... 2
Sistema de partículas - Uma dimensão ........................................................................ 2
Sistema de partículas - Duas dimensões...................................................................... 3
Sistema de partículas - Três dimensões ....................................................................... 3
Corpos rígidos............................................................................................................... 4
MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA...................................................................................... 5
MOMENTO LINEAR DE UMA PARTÍCULA .................................................................................. 6
MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS ................................................................ 6
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR................................................................................... 7
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8
2 .................................................................................................................................... 8
3 .................................................................................................................................... 8
3A.................................................................................................................................. 9
4 .................................................................................................................................. 10
7 .................................................................................................................................. 10
8 .................................................................................................................................. 12
15 ................................................................................................................................ 13
17 ................................................................................................................................ 13
18 ................................................................................................................................ 15
21 ................................................................................................................................ 15
22 ................................................................................................................................ 17
30 ................................................................................................................................ 18
34 ................................................................................................................................ 19
37 ................................................................................................................................ 20
Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 2
09. Sistema de partículas
O centro de massa
Mesmo quando um corpo gira ou vibra, existe um ponto nesse corpo, chamado
centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única partí-
cula, com a massa deste corpo e sujeita ao mesmo sistema de forças que ele.
Ainda que o sistema não seja um corpo rígido mas um conjunto de partículas, pode
ser definido para ele um centro de massa, como veremos adiante.
Sistema de partículas - Uma dimensão
Vamos definir inicialmente a posição xCM do centro de massa para um sistema
composto de duas partículas de massas m1 e m2 e que ocupam as posições x1 e x2 .
21
2211
mm
xmxm
xCM
+
+
=
ou
2
21
2
1
21
1 x
mm
m
x
mm
m
xCM \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
+
+\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
+
=
 m1 m2
 x1
 x2
Podemos olhar a última equação como uma média ponderada da posição de cada
partícula de massa mi onde o "peso" de cada termo é a fração da massa total contida na
posição xi .
Para um sistema de N corpos dispostos ao longo de uma linha reta, podemos fa-
zer uma extensão da definição anterior:
\u2211
\u2211
=
=
=
+++
+++
= N
i
i
N
i
i
N
NN
CM
m
xm
mmm
xmxmxm
x
1
1
1
21
2211
!
!
Iremos definir a massa total do sistema como M , onde:
\u2211
=
=
N
i
imM
1
e desse modo teremos:
\u2211
=
=
N
i
iCM mMx
1
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Sistema de partículas - Duas dimensões
Para a definição do centro de massa de um sistema de N partículas distribuídas
em um plano podemos, por analogia com as definições anteriores, considerar que:
\u2211
\u2211
\u2211
=
=
=
==
+++
+++
=
N
i
iiN
i
i
N
i
i
N
NN
CM xmMm
xm
mmm
xmxmxm
x
1
1
1
1
21
2211 1
!
!
\u2211
\u2211
\u2211
=
=
=
==
+++
+++
=
N
i
iiN
i
i
N
i
i
N
NN
CM ymMm
ym
mmm
ymymym
y
1
1
1
1
21
2211 1
!
!
Sistema de partículas - Três dimensões
Para um sistema de N partículas distribuídas em três dimensões temos as se-
guintes definições:
\u2211
=
=
N
i
iiCM xmM
x
1
1
\u2211
=
=
N
i
iiCM ymM
y
1
1
\u2211
=
=
N
i
iiCM zmM
z
1
1
Se considerarmos que:
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
++=
++=
CMCMCMCM
iiii
zkyjxir
e
zkyjxir
\u2c6\u2c6\u2c6
\u2c6\u2c6\u2c6
"
"
teremos:
\u2211
=
=
N
i
iiCM rmM
r
1
1 ""
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Corpos rígidos
Podemos imaginar um corpo rígido como sendo subdividido em pequenos ele-
mentos de volume \u2206Vi de massa \u2206mi respectivamente, que estão localizados em pon-
tos definidos por coordenadas ( xi , yi , zi ) . Neste cenário, teremos as seguintes equa-
ções:
\u2211
\u2211
=
=
\u2206
\u2206
= N
i
i
N
i
ii
CM
m
mx
x
1
1
\u2211
\u2211
=
=
\u2206
\u2206
= N
i
i
N
i
ii
CM
m
my
y
1
1
\u2211
\u2211
=
=
\u2206
\u2206
= N
i
i
N
i
ii
CM
m
mz
z
1
1
Se os elementos de volume \u2206Vi \u2192 0 , as massas contidas nesses elementos de
volume também de serão reduzidas, ao ponto de \u2206mi \u2192 0 . Quando isso acontece,
aquelas somas se transformam em integrais:
\u222b\u222b
\u222b
\u2211
\u2211
==
\u2206
\u2206
=
=
=
\u2192\u2206
dmx
Mdm
dmx
m
mx
Limx N
i
i
N
i
ii
mCM i
1
1
1
0
\u222b\u222b
\u222b
\u2211
\u2211
==
\u2206
\u2206
=
=
=
\u2192\u2206
dmy
Mdm
dmy
m
my
Limy N
i
i
N
i
ii
mCM i
1
1
1
0
\u222b\u222b
\u222b
\u2211
\u2211
==
\u2206
\u2206
=
=
=
\u2192\u2206
dmz
Mdm
dmz
m
mz
Limz N
i
i
N
i
ii
mCM i
1
1
1
0
e concluindo:
\u222b= dmrMrCM
"" 1
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Movimento do centro de massa
A partir da definição de centro de massa temos a seguinte equação:
NNCM rmrmrmrM
"
!
"""
+++= 2211
A variação dessas posições com o tempo é calculada como:
dt
rdm
dt
rdm
dt
rdm
dt
rd
M NN
CM
"
!
"""
+++= 22
1
1
de modo que a velocidade do centro de massa tem a forma:
\u2211
=
=+++=
N
i
iiNNCM vmvmvmvmvM
1
2211
""
!
"""
A variação dessas velocidades com o tempo é calculada como:
dt
vdm
dt
vdm
dt
vdm
dt
vd
M NN
CM
"
!
"""
+++= 22
1
1
de modo que a aceleração do centro de massa tem a forma:
\u2211
=
=+++=
N
i
iiNNCM amamamamaM
1
2211
""
!
"""
Cada termo da equação anterior refere-se a uma partícula específica,