13_equilibrio
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parede sobre a haste?
Como a placa está em repouso, a resultante das forças que atuam nela é zero,
Segundo um eixo horizontal, as forças que atuam são tais que:
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
+
==\u21d2=\u2212
2
3
2
1
3cos0cos
LL
L
TTFFT HH \u3b8\u3b8
Usando o resultado para T deduzido anteriormente, temos que:
P
L
LL
FH \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212
=
1
23
2
2
= 245N
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
27 Na figura a seguir, qual a magnitude da força F
!
 , aplicada horizontalmente no eixo
da roda, necessária para fazer a roda ultrapassar um obstáculo de altura h ? Consi-
dere r como sendo o raio da roda e P o seu peso.
Na iminência da ultrapassagem do obstá-
culo, a roda perdeu o contato com o solo,
e as forças que atuam nela estão mostra-
das na figura ao lado. Como ainda não
existe movimento, a resultante é nula.
Logo:
F - N cos\u3b8 = 0
P - N sen\u3b8 = 0
 N
!
 F
!
 r \u3b8 r - h
 h
 P
!
\u3b8
\u3b8
\u3b8
\u3b8
tan
tan
cos
sen PF
N
N
F
P
=\u21d2==
Mas
( ) Phr
hrhF
hrh
hr
hrr
hr
\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
=\u21d2
\u2212
\u2212
=
\u2212\u2212
\u2212
=
2
222
2
2
tan\u3b8
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Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
34 Uma barra não uniforme de peso P está suspensa em repouso, na horizontal, por
duas cordas sem massa, como mostra a figura a seguir. Uma corda faz um ângulo
\u3b8 = 36,90 com a vertical e a outra faz um ângulo \u3d5 = 53,10 , também com a vertical.
Se o comprimento L da barra é 6,1m , calcule a distância x entre a extremidade
esquerda da barra e o seu centro de gravidade.
\u3b8 = 36,90
\u3d5 = 53,10
L = 6,1m
Vamos calcular o torque das forças que
atuam na barra em relação a um eixo
perpendicular ao papel, e que passe por
um ponto da extremidade esquerda da
barra.
\u3c4 = P x - T2 cos\u3d5 L = 0
 1T
!
 x 2T
!
 L \u3d5
 \u3b8
 P
!
ou seja:
L
P
Tx \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=
\u3d5cos2
Por outro lado, como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam
é nula:
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
=\u2212
=\u2212+
\u21d2=++
0sensen
0coscos
0
21
21
21
\u3d5\u3b8
\u3d5\u3b8
TT
PTT
PTT
!!!
Da última equação temos que:
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=
\u3b8
\u3d5
sen
sen
21 TT
e usando esse resultado na penúltima equação, encontramos:
PTT =+\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u3d5\u3b8
\u3b8
\u3d5 coscos
sen
sen
22
ou seja:
{ } \u3b8\u3b8\u3d5\u3b8\u3d5 sensencoscossen2 PT =+
( ) ( ) PTPT \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
+
=\u21d2=+
\u3b8\u3d5
\u3b8\u3b8\u3b8\u3d5
sen
sensensen 22
Mas
( ) PP
LxL
P
T
x \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
+
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=\u21d2\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=
\u3b8\u3d5
\u3b8\u3d5\u3d5
sen
sencoscos2
logo
( ) Lx \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
+
=
\u3b8\u3d5
\u3b8\u3d5
sen
sencos = 2,23m
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Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
35 Na figura a seguir, uma barra horizontal fina AB , de massa desprezível e compri-
mento L , é presa a uma dobradiça em uma parede vertical no ponto A e sustenta-
da em B , por um fio fino BC , que faz um ângulo \u3b8 com a horizontal. Um peso P
pode ser movido para qualquer posição ao longo da barra, sendo a sua posição defi-
nida pela distância x desde a parede até o seu centro de massa.
a) Encontre a tensão no fio.
 Iremos considerar apenas as for-
ças que atuam na barra.
 Vamos calcular o torque em rela-
ção a um eixo perpendicular à folha de
papel e que passe pelo ponto onde a
barra está presa á parede pela dobradi-
ça (ponto A)
 Como a barra está em repouso o
torque em relação a qualquer eixo é
nulo, logo:
T sen\u3b8 L - P x = 0
P
L
xT \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=
\u3b8sen
 C
 T
!
 VF
!
 B \u3b8 HF
!
 A
 x
 P
!
 L
b) Encontre a componente horizontal da força exercida sobre a barra pelo pino da
dobradiça em A .
Como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam é nula. A
componente horizontal da resultante é:
P
L
xFTFFT HHH \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=\u2234=\u21d2=\u2212
\u3b8
\u3b8\u3b8
tan
cos0cos
c) Encontre a componente vertical da força exercida sobre a barra pelo pino da do-
bradiça em A .
Vamos considerar, agora, o torque das forças em relação a um eixo perpendicu-
lar à folha de papel e que passe pelo ponto onde o fio está preso na barra (ponto
B).
( ) P
L
xFP
x
xLFLFxLP VVV \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\u2234\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212
=\u21d2=\u2212\u2212 10
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
39 Uma tábua uniforme de comprimento L = 6,1m e peso P = 444,8N está em repou-
so no chão, encostada numa quina sem atrito, situada no alto de uma parede de altu-
ra h = 3,0m conforme a figura a seguir. A tábua permanece em equilíbrio para qual-
quer valor do ângulo \u3b8 \u2265 700 , mas escorrega para \u3b8 < 700 . Encontre o coeficiente
de atrito entre a tábua e o chão.
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\u3b8 é o ângulo limite para o deslizamento, e
isso significa que para esse ângulo a força
de atrito estático é máxima, logo
Fa = µE N
Pode-se perceber que os ângulos \u3b1 e \u3b8
são complementares, logo:
\u3b1 = \u3c0/2 - \u3b8
A força da quina na tábua é perpendicular à
tábua pois não existe atrito entre as duas.
 T
!
 \u3b1
 \u3b1
 N
!
 h
 P
!
 \u3b8 aF
!
 d
Como o corpo está em equilíbrio, a resultante de forças é nula e o torque resultante
também é nulo.
O torque em relação a um eixo que passe pelo ponto de apoio da escada no chão e
que seja perpendicular à folha de papel tem a forma:
-(T cos\u3b1 ) h - (P sen\u3b1) L/2 = 0
\u3b1
\u3b1
cos
sen
2h
PLT =
A resultante de forças tem a forma:
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
=+\u2212
=+\u2212
\u2234=+++
0cos
0sen
0
aE
aE
FT
NPT
FNPT
\u3b1
\u3b1
!!!!
ou seja:
\u3b1
\u3b1µµ
\u3b1
\u3b1
sen
cos
sen
cos
TP
T
N
N
TP
T
N
F
E
EaE
\u2212
=\u2234=
\u2212
=
e usando o resultado anterior para T , encontramos:
3981,0
cos
sen
2
1
sen
2
sen
cos
sen
2
cos
cos
sen
2
2 =
\u2212
=\u2234
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=
\u3b1
\u3b1
\u3b1
µ
\u3b1
\u3b1
\u3b1
\u3b1
\u3b1
\u3b1
µ
h
L
h
L
h
PLP
h
PL
EE