Apostila 3 Algebra das Proposicoes

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Professor Carlos Henrique
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
NOÇÕES DE LÓGICA
1. CONCEITO
É a ciência que verifica a validade do pensamento ou razão, de modo que, o que é verdadeiro numa afirmação será verdadeiro em todas as afirmações equivalentes.
2. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
É toda oração declarativa que exprime uma ou mais informações. Uma proposição (sentença) é uma relação entre objetos ou entidades matemáticas.
Exemplos:
i)	O número dois é primo
ii)	O número 16 é quadrado perfeito
iii)	Pelé foi um grande jogador
iv)	
As proposições são sentenças fechadas e que podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas.
Uma sentença do tipo x + 2 > 6 não pode ser considerada uma proposição pois o julgamento de sua veracidade vai depender do valor atribuído à variável x. Sentenças deste tipo são denominadas abertas.
Exemplos:
i)	“Ela” é inteligente
ii)	x > 2
iii)	“A frase dentro destas aspas é uma mentira”
3. PROPOSIÇÕES SIMPLES
Uma proposição é dita simples quando é uma proposição única, isolada.
Exemplos:
i)	p: As diagonais do quadrado apresentam medidas diferentes.
ii)	q: {2} ( {1, -1, {2}, -2}
iii)	r: {1, 2, 3, -1} ( {-1, 2}
Uma proposição será denominada composta se for formada por duas ou mais proposições simples, ligadas entre si por conectivos operacionais.
Exemplos:
i)	p: Rita é pedagoga E Paulo é médico.
ii)	q: Se correr, então fico cansado.
iii)	r: Um triângulo é eqüilátero se, e somente se, os três lados forem iguais.
iv)	s: Paulo não fala inglês ou não fala francês.
4. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES
A negação de p é não p e indica-se por ~p ou ( p
Tabela - verdade
	P
	~p
	V
	F
	F
	V
Exemplo:
i)	A negação da proposição p: -2 > -1 é:
~p: -2 ( -1
ii)	A negação da proposição r: n é um número par é:
~r: n não é um número par.
iii)	A negação da proposição q: Vidal é professor de Matemática é:
~q: Não é verdade que Vidal é professor de Matemática.
ou
~q: Vidal não é professor de Matemática.
5. OPERAÇÕES COM PROPOSIÇÕES
Como uma proposição só admite dois valores lógicos possíveis, é possível caracterizar uma operação esgotando-se todas as possibilidades.
Disjunção (()
 p ou q (p ( q)
Uma disjunção é falsa somente quando as proposições que a compõem forem falsas.
Tabela – verdade
	p
	q
	p ( q
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
Exemplo:
p: João é irmão de Carlos
q: Carla não é mãe de João
p ( q: João é irmão de Carlos ou Carla não é mãe de João.
Obs: Disjunção Exclusiva p ( q
Tabela – verdade
	p
	q
	p ( q
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
Exemplo:
p: Rui é carioca
q: Rui é mineiro
p ( q: Rui é carioca ou mineiro
5.2.	Conjunção (()
 p e q (p ( q)
Uma conjunção é verdadeira somente quando as proposições que a compõem forem verdadeiras.
Tabela – verdade
	p
	q
	p ( q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
Exemplo:
p: A neve é branca
q: O número 64 é cubo perfeito
p ( q: A neve é branca E o número 64 é cubo perfeito.
5.3.	Condicional (()
O condicional é falso somente quando a proposição (p) é verdadeira e a proposição (q) é falsa. 
Tabela – verdade
	p
	q
	p ( q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
A sentença p ( q também pode ser lida como:
- Se p, q
- q, se p
- p é condição suficiente para q.
- q é condição necessária para p.
- p somente se q.
- p acarreta q.
- p implica q.
Exemplo:
“Se passo, estudo” ou, em outras palavras:
“Estudo, se passo”
“Passo somente se estudo”
“Eu passar é condição suficiente para estudar”
“Eu estudar é condição necessária para passar”
Uma outra forma de observarmos uma proposição condicional é considerá-la como a inclusão de um conjunto (p), em outro (q). Ou seja, sempre que p ocorre, q também ocorre.
Podemos sempre imaginar através de um diagrama, que o condicional p ( q representa um conjunto associado a p, contido em outro conjunto associado a q.
q
p
Exemplo:
Se Paulo é político, então mente.
A proposição condicional acima pode ser representada da seguinte forma:
Pessoas que mentem
Políticos
Outros Exemplos:
p: O mês de maio tem 31 dias (V)
q: A terra é plana (F)
p ( q: Se o mês de maio tem 31 dias, então a terra é plana (F)
r: 5 é inteiro
s: 3 é menor que 5
r ( s: Se 5 é inteiro, então 3 é menor que 5 (V)
5.4.	Bicondicional (p ( q)
A proposição bicondicional só será verdadeira no caso em que ambas as proposições apresentarem valores lógicos iguais, ou seja, as duas verdadeiras ou as duas falsas.
Tabela – verdade
	p
	q
	p ( q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
Leitura:
p se e só se q.
Se p, então q E se q, então p.
p é suficiente para q E q é suficiente para p.
Exemplo:
p: Paulo é meu tio
q: Paulo é irmão de um de meus pais
p ( q: Paulo é meu tio se e somente se ele é irmão de um de meus pais
EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Uma proposição composta P é logicamente equivalente a uma proposição composta Q, se as tabelas-verdade destas duas (P e Q) são idênticas.
Importante
( A proposição condicional p ( q tem tabela-verdade idêntica a condicional ~q ( ~p, então
Exemplos:
A proposição “se bebo, durmo” é equivalente a “se não durmo, não bebo”
A proposição “se Paulo estuda, então ele é aprovado no concurso” é equivalente a “se Paulo não é aprovado no concurso, então ele não estuda”.
( A condicional p ( q tem tabela-verdade idêntica a disjunção ~p ( q, então
Exemplo:
A proposição “Se estudasse tudo, eu passaria” é equivalente a “Eu não estudei tudo ou passei”
TAUTOLOGIA
	É toda proposição que, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem, é sempre verdadeira.
O exemplo clássico é:
Ex: p ( (p ( Fui à praia ou não fui à praia )
Tabela Verdade
	p
	(p
	p ( (p
	V
	F
	V
	F
	V
	V
CONTRADIÇÃO
	É toda proposição que, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem, é sempre falsa.
O exemplo clássico é:
Ex: p ( (p ( Fui à praia e não fui à praia )
Tabela Verdade
	p
	(p
	p ( (p
	V
	F
	F
	F
	V
	F
CONTINGÊNCIA
	É toda proposição que não é uma contradição e nem é uma tautologia.
Ex: p ( q ( Se Gil é taxista então Godinho é adúltero)
Tabela Verdade
	p
	q
	p ( q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Negação da Disjunção
~(p ( q) ( ~p ( ~q
Exemplo:
A negação de “2 < 0 ( 
 é:
“2 ( 0 ( 
.
 Negação da Conjunção
~(p ( q) ( ~p ( ~q
Exemplo:
A negação de “x < 2 ( x ( 5” é:
“x ( 2 ( x < 5”.
Negação da Condicional
~(p → q) ( p ( ~q
Exemplo:
A negação de “Se faz sol vou à praia” é “Faz sol e não vou à praia”. 
Negação da bicondicional
	A negação da bicondicional é a negação da conjunção de duas condicionais:
			~( p ( q ) ( ( p ( ~q ) ( ( ~p ( q ) ( p ( q
Negação de “Nenhum”
Se queremos negar a sentença “Nenhum médico é poeta”, precisamos mostrar que conhecemos pelo menos um médico que seja poeta, ou seja, basta afirmarmos que “Algum médico é poeta”.
Outros exemplos
i) Proposição: “Algum professor é mentiroso”
Negação: “Todo professor não é mentiroso” 
			Ou
“Nenhum professor é mentiroso”
ii) Proposição: “Nenhum homem é imortal”
Negação: “Algum homem é imortal”.
OBS: Dizer que “Nenhum homem é imortal” equivale a dizer que “Todo homem é mortal”.
QUANTIFICADORESSão símbolos que atuam sobre sentenças abertas, tornando-as fechadas.
OS QUANTIFICADORES SÃO:
i) Universal
É indicado por ( que se lê:
“Para todo” ou “Qualquer que seja” 
Exemplo: 
Todas as alunas do curso Gabarito são alegres e magras”
ii) Existencial
É indicado por ( que se lê:
“Existe pelo menos um” ou “Algum” 
Exemplo: 
Existe um planeta que é habitável.
9. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADORES
Proposição: ( x ( A, x tem a propriedade P.
Negação: ( x ( A, x não tem a propriedade P.
Proposição: ( x ( A, x tem a propriedade P.
Negação: ( x ( A, x não tem a propriedade P.
			ou
Exemplos:
( A negação da proposição “Todo político é mentiroso” é 
 “Pelo menos um político não é mentiroso”
		ou
 “Algum político não é mentiroso”.
		ou
“Nem todo político é mentiroso”
(( A negação da proposição “Existem alunos ansiosos” é 
 “Todo aluno não é ansioso”
		ou 
 “Não existem alunos ansiosos”
�
QUESTÕES DE CONCURSOS
(Analista – SEFAZ/SP – ESAF-2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
b) Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Milão não é a capital da Itália.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
Solução:
~ (Milão é a capital da Itália	ou	Paris é a capital da Inglaterra)
		p			ou			q
Negação:
		~p	 e	 ~q
Milão não é a capital da Itália 	e	Paris não é a capital da Inglaterra
Gabarito: Letra a.
(Analista – SEFAZ/SP – ESAF-2009) Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vão ao cinema. Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vão ao cinema. Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vão ao cinema. Se Tereza não foi ao cinema, pode-se afirmar que:
a) Ana não foi ao cinema.
b) Paulo não foi ao cinema.
c) Pedro não foi ao cinema.
d) Maria não foi ao cinema.
e) Joana não foi ao cinema.
Teresa não foi ao cinema
 Pedro vai ao cinema ENTÃO Teresa e Ana vão ao cinema 
						 F(1)
 Como a falsidade anda para trás...
	
Pedro cinema ENTÃO Teresa e Ana cinema
 F(2)			 F(1)
Paulo cinema ENTÃO Teresa e Joana cinema
			 F(3)
 Como a falsidade anda para trás...
Paulo cinema ENTÃO Teresa e Joana cinema
F(4) 		 F(3)
Maria cinema ENTÃO Pedro ou Paulo cinema
			 F(5) F(6)
Maria cinema ENTÃO Pedro ou Paulo cinema
			 F(7)
 Como a falsidade anda para trás...
Maria cinema ENTÃO Pedro ou Paulo cinema
 F(8)			 F(7)
	A banca optou por colocar o último número (8) na resposta, ou seja, Maria não foi ao cinema.
GABARITO: D
(Analista – SEFAZ/SP – ESAF-2009) Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
Solução:
F e F = F
V ( F = F
F ( F = V
F ou F = F
V↔F = F
(Especialista – MPOG – ESAF – 2009) Entre as opções abaixo, qual exemplifica uma contradição formal?
a) Sócrates não existiu ou Sócrates existiu.
b) Sócrates era ateniense ou Sócrates era espartano.
c) Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo.
d) Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo.
e) Todo filósofo era ateniense e algum filósofo era espartano.
a) Não é contradição. Seria uma contradição se a opção fosse: Sócrates não existiu E Sócrates existiu.
Obviamente ele não pode ter existido e não existido
	b) Não é contradição. Seria uma contradição se o conectivo fosse “e”.
Sócrates não pode ter nascido nas duas cidades!
	c) Não há nenhuma contradição em todo ateniense ser filósofo e todo filósofo ser ateniense.
	e) A contradição está aqui!
	Se todo filósofo era ateniense...
		 
 
 Atenas				 ESPARTA
��� SHAPE \* MERGEFORMAT �
Como pode algum filósofo ser Espartano?
A frase encerra uma contradição.
GABARITO: E
(Especialista – MPOG – ESAF – 2009) Admita que, em um grupo: “se algumas pessoas não são honestas, então algumas pessoas são punidas”. Desse modo, pode-se concluir que, nesse grupo:
a) as pessoas honestas nunca são punidas.
b) as pessoas desonestas sempre são punidas.
c) se algumas pessoas são punidas, então algumas pessoas não são honestas.
d) se ninguém é punido, então não há pessoas desonestas.
e) se todos são punidos, então todos são desonestos.
Se algumas pessoas não são honestas
		 	(p)
 então algumas pessoas serão punidas
 			(q)
	Sabemos que p → q é equivalente a ~q → ~p.
	(~p) Todas as pessoas são honestas
	(~q) Nenhuma pessoa será punida
	(~q)	→	(~p)
	Se nenhuma pessoa será punida então todas as pessoas são honestas.
					OU
	Se ninguém é punido então não há pessoas desonestas
 		(~q)	 →	 (~p)
(Especialista – MPOG – ESAF – 2009) Entre as opções abaixo, a única com valor lógico
verdadeiro é:
a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.
b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França.
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra.
e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.
V ( F = F
V ( F = F
V e F ou V
 F ou V = V
 
V e F ou F
 F ou F = F
e) V e F = F
(Especialista – MPOG – ESAF – 2009) Considerando as seguintes proposições: “Alguns filósofos são matemáticos” e “não é verdade que algum poeta é matemático”, pode-se concluir apenas que:
a) algum filósofo é poeta.
b) algum poeta é filósofo.
c) nenhum poeta é filósofo.
d) nenhum filósofo é poeta.
e) algum filósofo não é poeta.
Solução:
~(Algum poeta é matemático)
Negação:
Nenhum poeta é matemático.
		
A = Filósofos
B = Matemáticos
A resposta é a interseção.
Gabarito: Letra e.
(Especialista – MPOG – ESAF – 2009) Numa empresa de nanotecnologia, sabe-se que todos os mecânicos são engenheiros e que todos os engenheiros são pós-graduados. Se alguns administradores da empresa também são engenheiros, pode-se afirmar que, nessa empresa:
a) todos os administradores são pós-graduados.
b) alguns administradores são pós-graduados.
c) há mecânicos não pós-graduados.
d) todos os trabalhadores são pós-graduados.
e) nem todos os engenheiros são pós-graduados.
Solução:
					Pós-graduandos
					Engenheiro
					Mecânico
					Administradores
Gabarito: Letra b.
(Especialista – MPOG – ESAF – 2009) Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. Desse modo:
a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito.
b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.
c) chover é condição necessária para o dia estar bonito.
d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.
e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.
Sabemos que: 
	condição suficiente → condição necessária
	Se o dia está bonito, então não chove
	
O dia estar bonito é condição suficiente para não chover.
Não chover é condição necessária para o dia estar bonito.
(Especialista – MPOG – ESAF – 2009) Suponha que um pesquisador verificou que um determinado defensivo agrícola em uma lavoura A produz o seguinte resultado: “Se o defensivo é utilizado, as plantas não ficam doentes”, enquanto que o mesmo defensivo em umalavoura distinta B produz outro resultado: “Se e somente se o defensivo é utilizado, as plantas não ficam doentes”. Sendo assim, se as plantas de uma lavoura A e de uma lavoura B não ficaram doentes, pode-se concluir apenas que:
a) o defensivo foi utilizado em A e em B.
b) o defensivo foi utilizado em A .
c) o defensivo foi utilizado em B.
d) o defensivo não foi utilizado em A e foi utilizado em B.
e) o defensivo não foi utilizado nem em A nem em B.
Lavoura A
	Defensivo utilizado ( As plantas não ficam doentes
	 	 (?)				(V) 1°				 
				Lavoura B
	Defensivo utilizado ↔ As plantas não ficam doentes
		 (V) 3°				(V) 2°
Gabarito: Letra c.
(Especialista – MPOG – ESAF – 2009) A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é: 
a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. 
b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.
c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José.
d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema.
e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José.
~(Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José)
Negação:
Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José
Gabarito: Letra a.
(Especialista – MPOG – ESAF – 2009) A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é:
a) De dia, todos os gatos são pardos.
b) De dia, nenhum gato é pardo.
c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo.
d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo.
e) À noite, nenhum gato é pardo.
Solução:
~(À noite, todos os gatos são pardos)
Negação:
À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo.
Também, temos uma outra opção:
À noite, algum gato não é pardo.
Gabarito: Letra d.
(Técnico de Finanças e Controle - TFC/CGU – ESAF – 2008) Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:
a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.
b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.
c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.
e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.
Sabemos que p → q é equivalente a ~q → ~p e é equivalente a ~p ou q.
A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta
	(~p)	ou	q
Se a inflação baixa então e taxa de juros aumenta
	p	→	q
Se a taxa de juros não aumenta	então	a inflação não baixa
		(~q)		 →	 (~p)
 (Técnico de Finanças e Controle - TFC/CGU – ESAF – 2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim,
a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.
b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.
c) sou amiga de Nara e amiga de Abel.
d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.
e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.
Solução:
Amiga de Abel	ou	Amiga de Oscar
	(V) 4°				(F) 3°
Amiga de Nara	ou	Não Amiga de Abel
	(V) 6°				(F) 5°
Amiga de Clara	ou	Não Amiga de Oscar
	(F) 1°				(V) 2°
Ponto de partida:
Não sou amiga de Clara – V
Gabarito: Letra C
(Especialista – MPOG – ESAF – 2008) Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista lógico, Paulo pode afirmar corretamente que:
a) X ≠ B e Y ≠ D
b) X = B ou Y ≠ D
c) X ≠ B ou Y ≠ D
d) se X ≠ B, então Y ≠ D
e) se X ≠ B, então Y = D
Se Pedro mentiu então a negação da frase é verdadeira.
Sabemos que a negação do “e” é “ou” e vice-versa.
~(p e q) ≡ (~p) ou (~q)
~(p ou q) ≡ (~p) e (~q)
~(X = B e Y = D) ≡ 
X ≠B ou Y ≠ D
(Especialista – MPOG – ESAF – 2008) Se X > Y, então Z > Y; se X < Y, então Z > Y ou W > Y; se W < Y, então Z < Y; se W > Y, então X > Y. Com essas informações pode-se, com certeza, afirmar que:
a) X > Y; Z > Y; W > Y
b) X < Y; Z < Y; W < Y
c) X > Y; Z < Y; W < Y
d) X < Y; W < Y; Z > Y
e) X > Y; W < Y; Z > Y
Como a questão não deu uma frase “Start”, vamos chutar.
Chutemos que X > Y é verdadeiro (repare que X > Y aparece em três opções (A, C e E)).
X > Y → Z > Y
	 V(1)
	Como a verdade anda para frente...
	X > Y → Z > Y
 V(1)	 V(2)
	X < Y → Z >Y ou W > Y
 F(3)
ATENÇÃO! Podemos abandonar a frase acima ! Como ela começa por F a proposição JÁ É VERDADEIRA!
		W < Y → Z < Y
 F(4)
Como a falsidade anda para trás...
W < Y → Z < Y
 F(5) F(4)
Como W > Y e X > Y são ambas verdadeiras temos que:
		W > Y → X > Y
		V(6) V(7)
	Como não apareceu V → F em nenhuma proposição, concluímos que o “chute” foi certo. Logo,
GABARITO: A
O seguinte enunciado é verdadeiro: “Se uma mulher está grávida, então a substância gonadotrofina coriônica está presente a sua urina”.
Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e contatou-se que a substância gonadotrofina coriônica está presente na urina de Fátima e não está presente na urina de Mariana. Utilizando a proposição enunciada, os resultados dos exames e o raciocínio lógico dedutivo:
a) garante-se que Fátima está grávida, e não se pode garantir que Mariana está grávida.
b) garante-se que Mariana não está grávida, e não se pode garantir que Fátima está grávida.
c) garante-se que Mariana está grávida, e que Fátima também está.
d) garante-se que Fátima não está grávida, e não se pode garantir que Mariana está grávida.
e) garante-se que Mariana não está grávida, e que Fátima está grávida. 
Solução:
		Fátima						Mariana
	Grávida ( Substância na urina			Grávida ( Substância na urina
	 (?)			(V) 1°				 (F) 3°		(F) 2°
Gabarito: Letra b.
Observe o slogan de uma cervejaria, utilizado em uma campanha publicitária:
“Se o bar é bom, então o chopp é Tathurana.”
Os bares Matriz e Autêntico oferecem a seus clientes chopp das marcas Tathurana e Karakol, respectivamente. Então, de acordo com o slogan acima, pode-se concluir que
a) os dois bares são necessariamente bons.
b) o bar Matriz é necessariamente bom, e o bar Autêntico pode ser bom ou não.
c) o bar Matriz é necessariamente bom, e o bar Autêntico, necessariamente, não é bom.
d) o bar Matriz pode ser bom ou não, e o bar Autêntico, necessariamente, não é bom.
e) os dois bares, necessariamente, não são bons.
Solução:
		Bar Matriz						Bar Autêntico
	Bar é bom ( Chopp Tathurana		Bar é bom ( Chopp Tathurana
	 (?)			(V) 1°				 (F) 3°		(F) 2°
Gabarito: Letra d.
(AFC/CGU) Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra. Assim,
a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.
b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.
c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina.
d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina.
e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina.
Solução:
A questão não informou um ponto de partida. Então, escolhe-se qualquer um. Escolherei Márcia não é magra como verdade.
Márcia não é magra			ou		Renata ruiva	(V) 1°						 (F) 8°
Beatriz bailarina			ou		Renata não é ruiva
	(V) 7°						 (V) 6°
Renata não é ruiva			ou		Beatriz não é bailarina
	(V) 5°						 (F) 4°
Beatriz não é bailarina		ou		Márcia é magra
	(F) 3°						 (F) 2°
Gabarito: Letra a.
(SEFAZ-MG) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente.Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente:
a) Culpado, culpado, culpado.
b) Inocente, culpado, culpado.
c) Inocente, culpado, inocente.
d) Inocente, inocente, culpado.
e) Culpado, culpado, inocente.
Solução:
A questão não informou um ponto de partida. Então, escolhe-se qualquer um. Escolherei André é culpado como falso.
André é culpado			(		Bruno é inocente
	(F) 1°						 (F) 4°
André é inocente			(		Bruno é culpado
	(V) 2°						 (V) 3°
André é culpado			(		Léo é inocente
	(F) 5°						 (F) 8°
André é inocente			(		Léo é culpado
	(V) 6°						 (V) 7°
Bruno é inocente			(		Léo é culpado
	(F) 9°						 (F) 10°
Gabarito: Letra b.
(AFC) Se Pedro não bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele lê poesias. Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias. Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana. Segue-se, portanto que, Pedro:
bebe, visita Ana, não lê poesias
não bebe, visita Ana, não lê poesias
bebe, não visita Ana, lê poesias
não bebe, não visita Ana, não lê poesias
não bebe, não visita Ana, lê poesias
Solução:
A questão não informou um ponto de partida. Então, escolhe-se qualquer um. Escolherei Pedro não bebe como verdade.
Pedro não bebe				(		Ele visita Ana
	(V) 1°							 (V) 2°
Pedro bebe					(		Ele lê poesias
	(F) 3°							 (F) 8°
Pedro não visita Ana			(		Ele não lê poesias
	(F) 4°							 (F) 7°
Pedro lê poesias				(		Ele não visita Ana
	(F) 6°							 (F) 5°
Gabarito: Letra b.
(Analista-ANA-ESAF-2009) Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove em A, o rio transborda. Se chove em B, o rio transborda e, se chove em C, o rio não transborda. Se o rio transbordou, pode-se afirmar que:
a) choveu em A e choveu em B.
b) não choveu em C.
c) choveu em A ou choveu em B.
d) choveu em C.
e) choveu em A.
Solução:
Chove A ( Rio transborda
 (?)		 (V) 1°
Chove B ( Rio transborda
 (?)		 (V) 2°
Chove C ( Rio não transborda
 (F) 4°		 (F) 3°
Gabarito: Letra b.
(INPI – 2009) A sentença “Duda é bonita ou Hélio não é magro” é logicamente equivalente a:
(A) se Duda é bonita, então Hélio é magro;
(B) se Duda é bonita, então Hélio não é magro;
(C) se Duda não é bonita, então Hélio não é magro;
(D) se Duda não é bonita, então Hélio é magro;
(E) se Hélio não é magro, então Duda não é bonita.
Duda é bonita	ou	Hélio não é magro
	~ p		ou		q
Equivalente a:
			p ( q
Se Duda não é bonita, então Hélio não é magro.
Gabarito: Letra c.
(FISCAL DO TRABALHO) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista		
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista		
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é Pedreiro, então Paulo não é paulista
Solução:
Pedro não é pedreiro	ou	Paulo é paulista
	~ p			ou		q
Equivalente a:
			p ( q
Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.
Gabarito: Letra a.
(FISCAL DO TRABALHO) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:
A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa
Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa
O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa
O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim
O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça
Lembremos que: condição suficiente → condição necessária.
O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo
		duque castelo → rei caça
		O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim
				duque castelo → rei caça → duquesa jardim
		O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir
conde encontrar princesa ↔ barão sorrir
		O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim
		duque castelo → rei caça → duquesa jardim → conde encontrar princesa ↔ barão sorrir
					o barão não sorriu
		duque castelo → rei caça → duquesa jardim → conde encontrar princesa ↔ barão sorrir
												 F(1)
		No “ se e somente se” as “pontas” devem ser iguais, logo:
		duque castelo → rei caça → duquesa jardim → conde encontrar princesa ↔ barão sorrir
										F(2)			F(1)
		No “se...então” a falsidade anda para trás.
		duque castelo → rei caça → duquesa jardim → conde encontrar princesa ↔ barão sorrir
		 F(5)	 F(4)	 F(3)		 F(2)	 F(1)
	GABARITO: C
Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A . Assim, quando C ocorre: 
a) D ocorre e B não ocorre		
b) D não ocorre ou A não ocorre		
c) B e A ocorrem		
d) nem B nem D ocorrem			
e) B não ocorre ou a não ocorre
Lembremos que:
Condição suficiente → condição necessária
A ocorrência de B é condição necessária parqa a ocorrência de C
			C → B
A ocorrência de B é condição suficiente para a ocorrência de D
			C → B → D
A ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A
			C → B → D ↔ A
			C ocorre
C → B → D ↔ A
			V(1)
No “se... então...” a verdade anda para frente.
C → B → D ↔ A
 			 V(1) V(2) V(3) 
No “se e somente se” as “pontas” devem ser iguais
			C → B → D ↔ A
 V(1) V(2) V(3) V(4)
GABARITO: C
(MPU) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
Lembremos que: condição → condição necessária
João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir.
		Maria sorrir → João feliz
João estar feliz é condição suficiente para Daniela abraçar Paulo
		Maria sorrir → João feliz → Daniela abraçar Paulo
Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio
		Maria sorrir → João feliz → Daniela abraçar Paulo ↔ Sandra abraçar Sérgio
				Sandra não abraça Sérgio
Maria sorrir → João feliz → Daniela abraçar Paulo ↔ Sandra abraçar Sérgio
								 F(1)
Na bicondicional (se e somente se) as “pontas” devem ser iguais
Maria sorrir → João feliz → Daniela abraçar Paulo ↔ Sandra abraçar Sérgio
					F(2)				F(1)
Na condicional (se... então...) a falsidade anda para trás.
Maria sorrir → João feliz → Daniela abraçar Paulo ↔ Sandra abraçar Sérgio
 F(4)	 F(3)	 F(2)			 F(1)
GABARITO: D
(AFC) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo,
Marcos estudar é condição necessária para João não passear
Marcos estudar é condição suficiente para João passear
Marcos não estudar é condição necessária para João não passearMarcos não estudar é condição suficiente para João passear
Marcos estudar é condição necessária para João passear
Se Marcos não estuda então João não passeia
	 p → q
Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear
João não passear é condição necessária para Marcos não estudar
Como não temos tal opção, apelaremos para a equivalência:
Se João passeia então Marcos estuda
 ~q	 → ~p
João passear é condição suficiente para Marcos estudar
Marcos estudar é condição necessária para João passear
GABARITO: E
Se p, então q (p ( q)
p se e somente se q (p ( q)
(p ( q) ( (~q ( ~p)
(p ( q) ( ~p ( q
( x ( A, x tem a propriedade P.
 Filósofo
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