Buscar

Apostila 6 Estatistica Inferencial

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 33 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 33 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 33 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Professor Carlos Henrique
VALOR ESPERADO, EXPECTÂNCIA OU
ESPERANÇA MATEMÁTICA
 	
	E(X) = 
 
 O que é esse misterioso valor esperado ? Não é nada mais, nada menos do que a média aritmética.
 E(x) = 
 Como a variância é a média dos quadrados dos desvios temos que:
 
 
 Outra maneira de pensar na variância é sendo a média dos quadrados menos o quadrado da média. Assim:
 
onde 
VALOR ESPERADO – QUESTÕES DE CONCURSOS
(TRF/2006 – ESAF) Paulo e Helena jogam, cada um, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Paulo paga a Helena R$ 5,00. Dando qualquer outro resultado, Helena paga a Paulo R$ 2,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor esperado dos ganhos de Helena (considerando-se como ganhos negativos os valores que ela paga a Paulo) é igual a
a) - R$ 0,25
b) + R$ 0,25
c) + R$ 3,00
d) - R$ 1,50
e) + R$ 1,25
 
R$ 5,00 - R$ 2,00
 P = 
		P = 
E(X) = 
 x p(x) =
5 . 
 - 2 . 
 = -
 = - R$ 0,25
GABARITO: A
(SEFAZ-RS-2006) A tabela a seguir apresenta as probabilidades de um oficial de justiça receber 0, 1, 2 ou 3 relatórios de violação de liberdade condicional de um dia qualquer.
	Número de
Violações
	
0
	
1
	
2
	
3
	Probabilidade
	0.40
	0.20
	0.10
	0.30
	
A média e a variância desta distribuição de probabilidades são dadas respectivamente por
a) 1.30 e 1.61
b) 1.30 e 3.50
c) 1.50 e 1.50
d) 1.50 e 1.61
e) 1.50 e 3.50
Sabemos que
E(X) = 
 x p(x)
E 
 = E(X2) – [E(X)]2
Onde E(X2) = 
x2p(x)
X		p(x)		xp(x)		x2p(x)
0		0,4		 0		 0
1		0,2		0,2		 0,2
2		0,1		0,2		 0,4
3		0,3		0,9		 2,7
 E(x) = 1,3 E(x2) = 3,3
Observemos que a quarta coluna pode ser obtida multiplicando-se a 1ª. pela 3ª.
 = E(x2) – [E(x)]2
 = 3,30 – 1,32
 = 1,61
GABARITO: A
(BACEN) Um investidor aplica em um fundo de ações e espera os rendimentos seguintes, dependentes do cenário econômico vigente:
	 Cenário
	 Rendimento
	Economia em recessão
	 R$ 1.000,00
	Economia estável
	 R$ 2.000,00
	Economia em expansão
	 R$ 4.000,00
			
 Com base em sua experiência passada, a distribuição de probabilidades do cenário econômico seria:
	 Cenário
	 Probabilidade
	Economia em recessão
	 0,40
	Economia estável
	 0,40
	Economia em expansão
	 0,20
 
Assinale a opção que dá o valor do desvio-padrão em reais da rentabilidade do investidor.
a) 1100	
b) 2000(1/5)0,5		
c) 3000(3/5) 0,5	
d) 1000(6/5) 0,5	
e) 2000
Tiremos 3 zeros dos valores para calcularmos melhor.
X		p(x)		xp(x)		x2p(x)
1		0,4	 	0,4		 0,4
2		0,4		0,8		 1,6
4		0,2		0,8		 3,2
						 
 E(x) = 2 E(x2) = 5,2
E(x) = 2 e
 = E(x2) – [E(x)]2
 = 5,2 - 22 = 1,2
 = 
GABARITO: D 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
(BACEN - ESAF) Uma variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades dada por:
0, 	para x < 0
¼, 	para 0 
 x < 1
F(x)		7/12, 	para 1 
 x < 2
11/12, 	para 2 
 x < 3
1, 	para x 
 3
	Assinale a opção que dá a probabilidade de x = 2.
	a) 7/12		b) 11/12	c) 1/3		d) 3/4		e) 10/12
	Lembremos que F(x) é a função de distribuição acumulada de x, portanto...
P(x = 2) = F(x = 2) – F(x = 1)
P(x = 2) = 
GABARITO: C	
 
(AFRE-MG-ESAF) Uma função aleatória X tem função de distribuição de probabilidades dada por:
x < 0
1/243		0 
x < 1
11/243		1 
 x < 2
F(x) 51/243		2 
 x < 3
131/243		3 
x < 4
211/243		4 
 x < 5
x 
 5
Assinale a opção correta:
X é do tipo absolutamente contínuo e Pr (2 < x 
 4) = 0,461
X é do tipo discreto e Pr (2 < x 
 4) = 0,658
X é do tipo discreto e Pr (2 < x 
 4) = 0,506
X é do tipo absolutamente contínuo e Pr (2 < x 
4) = 0,506
X não é do tipo discreto, nem do tipo absolutamente contínuo e Pr (2 < x 
4) = 0,506
Começaremos rejeitando todas as opções que afirmam que a distribuição é contínua. Essa configuração é típica de distribuições discretas.
 Ficaremos entre as letras B e C, portanto:
P(2 < x ≤ 4) = P(x = 3) + P(x = 4) 
P(x = 3) = F(3) – F(2) = 
P(x = 4) = F(4) – F(3) = 
P(2 < x ≤ 4) = 
= 0,658
GABARITO B
A variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades:
	F(x)
	X
	0
	X < 1
	1/8
	1 
 X < 2
	¼
	2 
 X < 3
	1
	X 
 3
Assinale a opção correta:
a probabilidade de que X = 3 é 0,65
a probabilidade de que X = 2 é ¼
a variável aleatória X tem valor esperado 2,5
a variável aleatória X tem valor esperado 21/8
a variável aleatória X é uniforme contínua
P(x = 1) = 
 P(x = 2) = 
 P(x = 3) = 1 - 
	x
	P(x)
	x p(x)
	1
	
	
	2
	
	
	3
	
	
E(x) = 
 + 
 + 
 = 
GABARITO: D
(ISS-RECIFE) Para uma amostra de tamanho 100 de um atributo discreto X obteve-se a função de distribuição empírica seguinte:
Assinale a opção que corresponde à freqüência de observações de X iguais a três:
a) 55
b) 35
c) 20
d) 30
e) 85
P(x = 3) = F(3) – F(2) = 0,55 – 0,35 = 0,2
	n = 100
	100 . 0,2 = 20
GABARITO: C
�
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Cada tentativa admite somente dois resultados possíveis: sucesso (p) ou fracasso(q), onde:
 p + q = 1 
CARACTERÍSTICAS: E(X) = np e 
QUESTÕES DE CONCURSOS
(AFRE-MG) Suponha que a probabilidade de que se encontre um erro contábil grave em uma auditoria seja de 0,2. Se dez auditorias independentes são realizadas, assinale a opção que dá a probabilidade de que não mais do que uma detecte erro contábil grave.
a) 2,8 (4/5)	
b) 0,400	
c) (0,2)10	
d) 2,8(4/5)10	
e) 2,8(4/5)9 
P(erro) = 0,2 = 20%
 P(não erro) = 0,8 = 80%
 n = 10
1 erro, 9 não erros	 ou 0 erro, 10 não erro	
=10 . 02. 0,89 + 
=1 . 0,810 . 0,2
 ↓ 
 2 . 0,89 + 0,89 = 2,8. 
 
GABARITO: A
(TRIBUNAL DE CONTAS – ES – 2001 - ESAF) Uma Cia. Aérea sabe que as chances são de 5 em 100 de que um passageiro com reserva confirmada não apareça para o vôo. Neste contexto, a Cia. Vende 52 passagens para um vôo que só pode acomodar 50 passageiros. Assinale a opção que dá a probabilidade de que haja lugar disponível para todo passageiro que se apresente para viajar. Suponha que os passageiros tomem suas decisões de viajar independentemente. 
(0,95)50
399/400
1/10
50/52
1 – 3,55 x (0,95)51
P(aparecer) = 95%
 P(não aparecer) = 5%
P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + ... P(x = 49) + P(x = 50)
P(quero) = 1 – P(não quero)
	 1 – [P(x = 51) + P(x = 52)] = 
 1 – [
. 0,05 . 0,9551 + 0,9552] = 1 = 3,55 . 0,9551
GABARITO: E
(SUSEP) Um aspecto importante do serviço de manutenção de programas numa empresa tem a ver com a velocidade (presteza) com que uma chamada de serviço (de manutenção) é atendida. Historicamente, numa determinada empresa, observa-se que as chances são de 50% de que uma chamada seja atendida num período inferior a 1 hora. Se 5 chamadas de manutenção são realizadas nessa empresa, assinale a opção que dá a probabilidade de que pelo menos 3 chamadas sejam atendidas em menos de 1 hora.
a) 50,00%		
b) 12,50%		
c) 75,00%		
d) 31,25%		
e) 18,75%
n = 5
P(t < 1h) = 
P(t ≥ 1h) = 
3(t < 1h) e 2(t ≥ 1h) ou 4(t < 1h) e 1(t ≥ 1h) ou 5(t < 1h)
 ↓		 + ↓			 + ↓
 . 
 . 
 5 = 
.
.+
 ↓ ↓				↓ ↓			 ↓
 10 
 = 
 = 
 = 50% 5 
			 1 
GABARITO A
(SEFAZ – RIO)	Um candidato se submete a uma prova contendo três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a:
(A) 0,104. 
(B) 0,040.
(C) 0,096. 
(D) 0,008.
(E) 0,200.
P(acertam) = 20% = 0,2
P(erra) = 80% = 0,8
 n = 3
 2 ac, 1 er ou	 3 ac
	 ↓ ↓ ↓	 ↓
 = 0,22 . 0,8 + 
0,23 (não precisa, pois 
 = 1)
 ↓ ↓
 0,096 0,008
 ↓ ↓
 9,6% 0,8% = 10,4%
GABARITO: A
(CGU – 2008) Em um hospital, 20% dos enfermos estão acometidos de algum tipo de infecção hospitalar. Para dar continuidade às pesquisas que estão sendo realizadas para controlar o avanço deste tipo de infecção, cinco enfermos desse hospital são selecionados, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente três dos enfermos selecionados não estejam acometidos de algum tipo de infecção hospitalar é igual a:
a) (0,8)3 (0,2)2
b) 10 (0,8)2 (0,2)3
c) (0,8)2 (0,2)3
d) 10 (0,8)3 (0,2)2
e) (0,8)3 (0,2)0
n = 5
3 não infecção 2 infecção
P(infecção) = 20%
P(não infecção) = 80%
 . 0,83 . 0,22 = 10 . 0,83 . 0,22 
 = 10
GABARITO:
28) n = 3
	1 variação		2 não variação
. 0,01 . 0,99 . 0,99 = 3 . 0,01 = 3%
GABARITO: D
(ANA – 2009 – ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética?
a) 0,98%
b) 1%
c) 2,94%
d) 1,30%
e) 3,96%
			n = 3
	1 variação		2 não variação
. 0,01 . 0,99 . 0,99 
 3 . 0,01 
 3%
Como 0,99 
1, “acoxambramos” o resultado.
GABARITO: C
(TFC) Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é
a) 3/8
b) ½
c) 6/8
d) 8/6
e) 8/3
n = 4
2MOS		2MAS
= 6
6. 
= 
= 0,375=37,5%
GABARITO A
(AFTN/ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carros importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é
a) (0,1)7 (0,9)3
b) (0,1)3 (0,9)7
c) 120 (0,1)7 (0,9)3
d) 120 (0,1) (0,9)7
e) 120 (0,1)7 (0,9)
n = 10
Imp. Não import.
P(importado) = 10% 
P(não importado) = 90%
. 0,17 . 0,93 = 120 . 0,17 . 0,93
= 120
GABARITO: C
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
	A distribuição de Poisson é dada pela expressão:
P(x) = 
	A média e a variância da distribuição de Poisson é 
.
	E(x) = 	
 e 
 
 O número e é a base dos logaritmos neperianos e vale e = 2,7182818..., ou seja, é um número irracional. Porém tal conhecimento não é exigido em concursos há muitos anos. As bancas têm fornecido o valor de 
.
A questão avisa que é de Distribuição de Poisson, o que é um alívio pra o candidato.
(CGM) A procura semanal de certa peça sobressalente pode ser modelada com a distribuição de Poisson com média igual a 0,15. Em uma semana, a probabilidade de ser pedida ao menos uma peça é, aproximadamente:
Dado e-0,15 = 0,8607
a) 14%		
b) 15%		
c) 86% 	
d) 85%
= 0,15 
 P(quero) = 1 – P(não quero)
Lembremos que 0 ! = 1 e que qualquer número elevado a zero é igual a 1.
 P(quero) = 1 - 
= 1 – e-0,15 = 0,14 = 14%
GABARITO: A
(AFPS - ESAF) Sabe-se que o número de clientes que procuram atendimento numa agência da previdência no período das 17 às 18 horas tem distribuição de Poisson com média de 3 clientes. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de que mais de 2 clientes apareçam no período. Sabe-se que e-3 = 0,0498, sendo e o número neperiano.
a) 0,776		
b) 0,667		
c) 0,500		
d) 0,577		
e) 1,000
= 3 
 P(quero) = 1 – P(não quero)
			 = 1- [P(x = 0) – P(x = 1) – P(x = 2)]
 = 1 – [
 			 = 1 – [e-3 + 3 . e-3 + 4,5 . e-3] = 1 – 8,5 . e-3 = 1 – 8,5 . 0,0498
 = 1 – 0,42 = 58%
GABARITO: D
(SUSEP) Sabe-se de experiência que num processo de auditoria contábil o número de discrepâncias entre valores registrados e auditados tem distribuição de Poisson com média 1. Seja e a base de logaritmo neperiana. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que num determinado processo de auditoria ocorra no mínimo uma discrepância entre valores registrados e auditados.
a) 1/e		
b) 1 – 1/e	
c) (1/e) 	
d) 5,0%	
e) 3,8%
= 1 
P(quero) = 1 – P(não quero)
 = 1- P(x = 0) = 1 - 
GABARITO: B
Suponha que as pessoas se dirijam ao caixa de um mercado de acordo com um processo Poisson com taxa média de 2 clientes por minuto. A probabilidade de que, num intervalo de 3 minutos, no máximo dois clientes se dirijam ao caixa é dada por:
18e-2
24 e-2
7e-6
18e-6
25e-6
taxa média = 2 clientes / minuto
 = 3min. 
= 6 clientes
P(quero) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) =
 = 
+
 = e-6 + 6e-6 + 18e-6 = 25e-6
 GABARITO: E 
Uma variável aleatória tem distribuição de Poisson com parâmetro 2. O valor de E[x2] é:
1
2
4
6
16
= 2
 = Σ(x2) – [Σ(x)]2 (Média dos quadrados menos o quadrado das médias)
 ↓ ↓
 por definição 
= Σ(x2) - 
2
2 = Σ(x2) - 22 = Σ(x2) = 6
GABARITO: D
(SEFAZ – RIO – 2008) Dentre as distribuições de probabilidade a seguir, aquela em que E(x) = E(x – E(x))2 é:
E(x) = E(x – E(x))2
 ↓	 ↓
 média variância
Qual é a distribuição em que a média é igual a variância ? É a distribuição de Poisson ! Não há o que comentar mais. ...
GABARITO: D
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
 �
			 
 b		x
CARACTERÍSTICAS
E(X) = 
	
A dureza de uma peça de cerâmica é proporcional ao tempo de queima. Suponha que se conseguiu um processo de medição dessa dureza e que a medida respectiva seja uma variável aleatória distribuída uniformemente entre 0 e 10. Se a dureza de uma peça de cozinha deve estar no intervalo [5,9], qual é a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser adequada ao uso na cozinha ?
a) 10%		
b) 20%		
c) 40%		
d) 60%		
e) 80%
 �
P 
P = 
= 0,4 = 40%
GABARITO: C
(AFPS) A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (0, α) onde α é uma constante maior do que 0,5. Determine o valor de α tal que F(0,5)=0,7, sendo F(x) a função de distribuição de X.
a) 3/4
b) 1/4
c) 1
d) 5/7
e) 1/2
 � 
	Lembremos que a função F(x), é a função distribuição acumulada de probabilidade. Reparemos que a base do retângulo menor é 0,5 (0,5 – 0) e a base do retângulo maior é 
(
-0).
Logo,
 ----------- 100%
0,5 ---------- 70%
 = 
GABARITO: D
Sabe-se que a variável aleatória X tem distribuição de probabilidades uniforme no intervalo (a,b) com 0<a<b. Assinale a opção correta.
 Lembremos que
C.V.(x) = 
 Como na distribuição uniforme
 e 
temos que:
C.V(x) = 
= 
�� EMBED Equation.3 
GABARITO: A
Acredita-se que preço de um bem (X), em reais, tenhadistribuição populacional uniforme no intervalo aberto (1; 7). Assinale a opção que corresponde à probabilidade de se observar na população um valor de X pelo menos 3 reais e de no máximo 5 reais.
a) 2/7			b) 1/3			c) 5/6		d) 1/2		e) ¾
 �
P = 
= 
= 
GABARITO: B
(BACEN) A variável aleatória X tem distribuição de probabilidades do tipo absolutamente contínuo com densidade de probabilidades
	f(x)
	1/(2 
)
	- 
< x < 
	0
	| x | > 
	Onde 
é uma constante positiva maior do que um. Assinale a opção que dá o valor de 
 para que se tenha P(x > 1) = 0,25.
a) 4		b) 0		c) 3		d) 1		e) 2
�
 ---------------- 100%
---------------- 25%
100
- 100 = 50
50
 = 100
= 2
GABARITO: E
(SUSEP) Uma variável aleatória X, do tipo contínuo, tem função densidade de probabilidade definida por:
	f(x)
	½
	0 < x < 2
	0
	Caso contrário
A esperança matemática, a variância e o desvio – padrão de x são, respectivamente:
a) ½, 1 e 1		b) 1, 2 e 1,41		c) 1 , 1/3 e 0,578		d) ½, 2 e 1,41		e) 1/2 , 1/3 e 0,578
�
	A esperança matemática é dada por E(x) = 
= 1
	
= 
	
, pela análise das opções = 0,578
GABARITO: C
 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
 
	Não se preocupe com a fórmula. Você não a usará. Na prática, você fará um processo chamado de padronização e transformará a variável x em outra variável padronizada z. A curva normal se transformará na curva normal padronizada.
PADRONIZAÇÃO
E a curva padronizada z será:
(SEFAZ-MS-2006) Se X tem distribuição normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de X > 6 vale, aproximadamente:
0,25
0,28
0,33
0,37
0,46
 = 9
 
 = 3
 �
z = 
�
GABARITO: A
(SERPRO) Suponha que o tempo que a Receita Federal leva no processo de devolução do imposto pago a mais tenha distribuição normal com média de 12 semanas e desvio-padrão de 3 semanas. Assinale a opção que estima a proporção de contribuintes que recebem a devolução em no máximo 6 semanas. 
a) 50,00%		
b) 05,56%		
c) 43,32%		
d) 02,28%		
e) 47,72%
 = 3
�
 50% - 47,72% = 2,28%
�
GABARITO: D
(ISS-SP-2006) Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. A probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00 é de:
(A) 97,7%
(B) 94,5%
(C) 68,2%
(D) 47,7%
(E) 34,1%
 = 1500
�
�
47,72% + 50% = 97,72%
GABARITO: A
(CVM) Uma pessoa está indecisa se compra uma casa agora ou se espera para comprar daqui a um ano. A pessoa acredita que o aumento do preço da casa em um ano tenha distribuição normal com média de 8% e desvio padrão de 10%. Se o preço aumentar mais de 25% a pessoa não terá dinheiro para adquirir o imóvel. Por outro lado, se o preço da casa cair, a pessoa sairá lucrando. Assinale a opção que dá as probabilidades de ocorrência de cada um desses eventos, respectivamente. 
a) 4,5% e 10,4%		
b) 6,7% e 24,2%	
c) 4,5% e 24,2%	
d) 2,9% e 18,4%	
e) 4,5% e 21,2%
�
�
Z = 
= 0,8				Z = 
=1,7
GABARITO: E
A variável X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Seja a o primeiro quartil da distribuição normal padrão. Assinale a opção que corresponde ao primeiro quartil da distribuição de X.
a) 2 + 2,00 a		
b) 2 + 0,25 a		
c) 2 + 0,75 a		
d) 2 + 4,00 a 		
e) 2 + 1,25 a
_25%_|_25%_|_25%__|_25%__
 Q1 Q2 Q3
Numa Cia. de seguros sabe-se que os salários anuais são aproximadamente distribuídos com média de R$ 10.000,00 e desvio-padrão de R$ 1.000,00. Assinale a opção que corresponde ao nono decil da distribuição dos salários.
a) 10.000,00	
b) 12.000,00	
c) 11.340,00	
d) 9.190,00	
e) 11.280,00
= 1000
�
�
_10_|_10_|___|___|___|___|___|___|_10 |_10_|________
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
Z = 
→ 1,28 = 
= 1280 + 10000 = x → x = 11280 = D9(x) 
GABARITO: E
(BACEN/2006) Para resolver as questões de números 48 e 49, considere a tabela a seguir, que dá valores das probabilidades (Z
z) para a distribuição normal padrão.
	z
	0,00
	0,25
	0,50
	0,75
	1,00
	1,25
	1,50
	Z
z
	0,50
	0,40
	0,31
	0,23
	0,16
	0,11
	0,07
As empresas de determinado setor têm a situação líquida bem descrita por uma distribuição normal, com média igual a 2,5 milhões de reais e desvio padrão igual a 2 milhões de reais. Selecionando uma empresa aleatoriamente deste setor, a probabilidade de apresentar uma situação líquida negativa ou nula é de:
a) 11%		
b) 16%		
c) 23%		
d) 39%		
e) 50%
 = 2
�
	Situação líquida negativa ou nula é a situação líquida inferior a zero.
Z = 
 = - 1,25
Olhando a tabela, obtemos:
�
GABARITO: A
Os valores de determinado título de mercado de investimento apresentam uma distribuição considerada normal. Sabe-se que os valores de 16% dos títulos são superiores ou iguais a R$ 10.000,00 e que os valores de 60% dos títulos são inferiores a R$ 7.000,00. A média dos valores dos títulos é:
a) R$ 8.500,00		
b) R$ 8.000,00		
c) R$ 7.500,00		
d) R$ 6.000,00		
e) R$ 4.500,00
�
Observando a tabela notamos que:
�
Quando x = 10000, z = 1
�
Procurando na tabela por 40%, achamos z = 0,25
�
z = 
1 = 
	
 (I)
0,25 = 
	0,25
= 7000 - 
 (II)
Como quero a média, multiplicaremos a 2ª. Equação por (-4). Assim teremos
 
 = 10000 - 
- 
= 28000 + 4
__________________
 0 = -18000 + 3
 
 = 6000
GABARITO: D
(BACEN) Suponha os pesos das pessoas, normalmente distribuídos, em certo grupo, com média de 70 kg e desvio padrão de 8 kg. Escolhidas ao acaso 4 dessas pessoas, a probabilidade da soma dos seus pesos ser maior que 296 kg é de:
a) 0,309		b) 0,159		c) 0,067		d) 0,023		e) 0,006
População			Amostra
 
= 70kg; 
= 8kg	n = 4kg	
= 70kg
O cálculo abaixo é pelo Teorema Central do Limite:
sx (desvio padrão das médias amostrais) = 
= 
= 4kg
Fazendo 296/4 = 74, temos
�
�
(SUSEP – ADAPTADA) O tempo de vida útil de uma pilha é uma variável aleatória com distribuição do tipo contínuo, média de 40 horas e desvio padrão de 20 horas. Usa-se a pilha até que sua energia se esgote quando é substituída por uma nova. Suponha que se tenha à disposição um estoque de 25 pilhas com tempos de vida com essas características e independentemente distribuídos. Seja 
(x) a função de distribuição normal padrão. Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central do Limite para a probabilidade de que com as 25 pilhas se obtenha pelo menos 1.100 horas de uso contínuo.
a) 15,87%		
b) 34,13%	
c) 47,72%		
d) 50%			
e) 13,60%
População
= 40h		
= 20h
Amostra 
 = 40h
N = 25	
Sx = 
= 
= 4 Como 1100/25 = 44, temos que:
�
�
GABARITO: A
(ELETROBRÁS) Numa população, 10% das pessoas já tiveram hepatite. Se uma amostra aleatória simples de tamanho 400 for observada, a probabilidade de que ao menos 50 já tenham tido hepatite é aproximadamente de:
a) 0,015		
b) 0,021		
c) 0,032		
d) 0,057		
e) 0,063
n = 400
P(hepatite) = 10%
P(não hepatite) = 90%
 = n.p = 400.90% = 40
= n.p.q = 400 . 10% . 90% = 36
= 
= 6
Agora começam as nossas complicações. Estamos fazendo uma aproximação. Para que esta seja melhor devemos deslocar o valor de x de um pequeno valor 0,5, no sentido de aumentar a área pedida. Assim no lugar de 50, colocaremos 49,5 e trabalharemos com tal valor.
�
 �
z = 
=1,6 Olhando a tabela temos que
50% - 44,29% = 5,71%
GABARITO: D
Uma moeda não tendenciosa é lançada100 vezes. Qual é a probabilidade de que ocorram no máximo 58 coroas ?
a) 95,54%		
b) 91,36%		
c) 89,56%		
d) 87,64%		
e) 85,78%
Aproximação normal da distribuição binomial
Transformar uma Distribuição Binomial em uma Normal.
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
 = np	
= npq
p → probabilidade de sucesso
q → probabilidade de fracasso
p + q = 100% = 1
48) n = 100
E(x) = 
= 100 -
= 50		
 = 100 . 
. 
 = 25
= 
= 
		
�� EMBED Equation.DSMT4 
�
�
GABARITO: A
DESIGUALDADE DE TCHEBYCHEV
		 
______________|
|
|____________
 
	 
 
PFORA ≤ 
			PFORA MÁXIMO = 
 
PDENTRO 
 1 - 
		PDENTRO MÍNIMO= 1 - 
QUESTÕES DE CONCURSOS
As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N empregados produziram as estatísticas :
 = (1/N) Σ Xi = R$ 14.300,00	s = [(1/N) Σ (Xi – 
)2]0,5 = R$ 1.200,00
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00;R$ 16.100,00].
Assinale a opção correta:
P é no máximo ½
P é no máximo 1/1,5
P é no mínimo ½
P é no máximo 1/2,25
P é no máximo 1/20
______________|
|
|____________
 12500 14300 16100
Como 1800 = K
 e 
= 1200
1800 = K . 1200
K = 1,5
PFORA MÁXIMO = 
GABARITO: D
Tem-se o conjunto de n mensurações X1,..., Xn com média aritmética M e variância S2, onde M=(X1 + ... + Xn)/n e S2 = (1/n) Σ (Xi – M)2.Seja 0 a proporção dessas mensuras que diferem de M, em valor absoluto, pelo menos 2S. assinale a opção correta.
apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar 0 exatamente, mas sabe-se que 0,25
 0
O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =5%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn.
O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =95%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn.
O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =30%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn.
O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =15%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn.
______|​______|______|______
 
 
	Como a questão pede a proporção dos elementos cuja DISTÂNCIA à média seja igual ou superior a 2
 queremos os elementos do lado de FORA.
Logo,
PFORA ≤ 
Como K = 2, temos
PFORA ≤ 
0,25 ≥ PFORA
GABARITO: A
(AFPS/2002 – ESAF) Sejam x1,....xn observações de um atributo X.
	Sejam 
.
Assinale a opção correta. 
a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de 
 em valor absoluto por menos que 2S.
b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de 
 em valor absoluto por menos que 2S.
c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de 
 em valor absoluto por menos que 2S.
d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de 
 em valor absoluto por menos que 2S.
e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de 
 em valor absoluto por menos que 2S.
Esta questão é o inverso da anterior. A questão (nas opções) pede que a DISTÂNCIA até a média seja INFERIOR ou IGUAL (...menos...) que 2S.
______________|____________|___________|____________
 
	 
 
	Como K = 2, calculamos o lado de fora primeiro.
PFORA ≤ 
= 
PDENTRO ≥ 1 – 0,25 = 0,75 = 75%
Gabarito: c
O número de erros encontrados na contabilidade de uma firma é uma variável aleatória X com distribuição desconhecida, média 5 e desvio-padrão 1/10. Assinale a resposta correta.
a) P(4 < X < 6) 
 0,99 
b) P(4 < X < 6) = 0,95	
c) 0,95 < P(4 < X < 6 ) < 0,99 
d) P(4 <X <6) =0,90
e) P(4 < X < 6) = 0,70
Percebemos pelas opções que a questão deseja
	P(4 < X < 6)
______________|
|
|____________
 4 
 6
K 
= 1
K - 
= 1 
K = 10
PFORA ≤ 
 = 
= 
= 1%
P(4 < x < 6) = PDENTRO ≥ 100% - 1% = 99%
GABARITO: A
No intervalo (
 ± 3
), tem-se:
a) no mínimo 88,89% dos elementos de uma população qualquer;
b) no máximo 88,89% dos elementos de uma população, se esta tiver distribuição normal;
c) no máximo 88,89% dos dados de uma população, se esta tiver distribuição quiquadrado;
d) exatamente 88,89% dos dados de uma população qualquer;
e) no máximo 88,89% dos elementos de uma população qualquer;
No intervalo
	(
; 
)
Queremos a parte de “dentro”.
______________|___________|____________|____________
 
 
 
 
Onde K = 3
A parte de fora é
PFORA ≤ 
 = 
= 
= 11,11% 
PDENTRO ≥ 100% -11,11% = 88,89%
PDENTRO MÍNIMO = 88,89%
GABARITO: A
� EMBED Equation.3 ���
f(x)
100%
x�
10
9�
5�
0�
f(x)
70%
0
0,5
� EMBED Equation.3 ���
x
f(x)
x
1
3
5
7
f(x)
-α
α
1
25%
� EMBED Equation.3 ���
f(x)
x
2
0
� EMBED Equation.3 ���
6
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
valor encontrado
na tabela
24,85%
50% - 24,85% = 25,15%
� EMBED Equation.3 ���
6
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
47,72%
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
47,72%
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���= 1,28
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���= 70kg
74kg
34,13%
Z = � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
34,13%
� EMBED Equation.3 ���= 40
44
� EMBED Equation.3 ���= 40
Z = � EMBED Equation.3 ���
34,1%
15,9%
15,9%
�EMBED Equation.3��� 40
50
49,5
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
5,71%
49,29%
58,5
� EMBED Equation.3 ���50
Para aumentar a área para a
esquerda ou direita
� EMBED Equation.3 ���50
Z = 8/5 = 1,7� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
95,54%
50%
45,5%
� EMBED Equation.3 ���
0
11%
-1,25%
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
X = 10000
16%
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
z = 1
10%
50%
40%
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���7000
10%
� EMBED Equation.3 ���0,25
50%
40%
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
�PAGE �
�PAGE �31�
_1320517609.unknown
_1320581367.unknown
_1320643419.unknown
_1320650057.unknown
_1320651335.unknown
_1320651432.unknown
_1320651560.unknown
_1320652717.unknown
_1320651644.unknown
_1320651482.unknown
_1320651532.unknown
_1320651376.unknown
_1320650187.unknown
_1320650816.unknown
_1320651196.unknown
_1320650504.unknown
_1320650590.unknown_1320650380.unknown
_1320650115.unknown
_1320647602.unknown
_1320649084.unknown
_1320649626.unknown
_1320649738.unknown
_1320649823.unknown
_1320649707.unknown
_1320649606.unknown
_1320648191.unknown
_1320649051.unknown
_1320647762.unknown
_1320644869.unknown
_1320645656.unknown
_1320646248.unknown
_1320643586.unknown
_1320609533.unknown
_1320642330.unknown
_1320642362.unknown
_1320642487.unknown
_1320642351.unknown
_1320609583.unknown
_1320609927.unknown
_1320609549.unknown
_1320605640.unknown
_1320605764.unknown
_1320605977.unknown
_1320609391.unknown
_1320605694.unknown
_1320581567.unknown
_1320605442.unknown
_1320581661.unknown
_1320581662.unknown
_1320581747.unknown
_1320581660.unknown
_1320581453.unknown
_1320581555.unknown
_1320581403.unknown
_1320572543.unknown
_1320579475.unknown
_1320580415.unknown
_1320581219.unknown
_1320581298.unknown
_1320581126.unknown
_1320579536.unknown
_1320579982.unknown
_1320580016.unknown
_1320579948.unknown
_1320579859.unknown
_1320579517.unknown
_1320574189.unknown
_1320578967.unknown
_1320579445.unknown
_1320574207.unknown
_1320573652.unknown
_1320573714.unknown
_1320573508.unknown
_1320518914.unknown
_1320526995.unknown
_1320529741.unknown
_1320529915.unknown
_1320572308.unknown
_1320572430.unknown
_1320530186.unknown
_1320530057.unknown
_1320529839.unknown
_1320529885.unknown
_1320529805.unknown
_1320527124.unknown
_1320527235.unknown
_1320527760.unknown
_1320527144.unknown
_1320527060.unknown
_1320520805.unknown
_1320525982.unknown
_1320526371.unknown
_1320526646.unknown
_1320526697.unknown
_1320526602.unknown
_1320526043.unknown
_1320522155.unknown
_1320522336.unknown
_1320522052.unknown
_1320522129.unknown
_1320521832.unknown
_1320520563.unknown
_1320520710.unknown
_1320520756.unknown
_1320520622.unknown
_1320519004.unknown
_1320517799.unknown
_1320517925.unknown
_1320518207.unknown
_1320518387.unknown
_1320518400.unknown
_1320518233.unknown
_1320518155.unknown
_1320518174.unknown
_1320517989.unknown
_1320517846.unknown
_1320517877.unknown
_1320517746.unknown
_1320517762.unknown
_1320517657.unknown
_1320273710.unknown
_1320390832.unknown
_1320400916.unknown
_1320516593.unknown
_1320516892.unknown
_1320516893.unknown
_1320516660.unknown
_1320515605.unknown
_1320515864.unknown
_1320512558.unknown
_1320512384.unknown
_1320512509.unknown
_1320511653.unknown
_1320397456.unknown
_1320397730.unknown
_1320399924.unknown
_1320400876.unknown
_1320400056.unknown
_1320400076.unknown
_1320400129.unknown
_1320400057.unknown
_1320399937.unknown
_1320399693.unknown
_1320399904.unknown
_1320399670.unknown
_1320397573.unknown
_1320397277.unknown
_1320392499.unknown
_1320392546.unknown
_1320392319.unknown
_1320389386.unknown
_1320389793.unknown
_1320390245.unknown
_1320390308.unknown
_1320389884.unknown
_1320389985.unknown
_1320389501.unknown
_1320389591.unknown
_1320389456.unknown
_1320388595.unknown
_1320388956.unknown
_1320389102.unknown
_1320389149.unknown
_1320389176.unknown
_1320388993.unknown
_1320388857.unknown
_1320387426.unknown
_1320387832.unknown
_1320388072.unknown
_1320387647.unknown
_1320383604.unknown
_1320386627.unknown
_1320387165.unknown
_1320386772.unknown
_1320383775.unknown
_1320274761.unknown
_1320274826.unknown
_1320273948.unknown
_1245573314.unknown
_1256679206.unknown
_1259643382.unknown
_1320273635.unknown
_1320273665.unknown
_1259643438.unknown
_1277710514.unknown
_1320273569.unknown
_1277710436.unknown
_1259643399.unknown
_1259643312.unknown
_1259643328.unknown
_1259643297.unknown
_1259468744.unknown
_1245573452.unknown
_1256679148.unknown
_1256679174.unknown
_1245573473.unknown
_1245573332.unknown
_1245573344.unknown
_1245573351.unknown
_1245573338.unknown
_1245573325.unknown
_1071353417.unknown
_1245573290.unknown
_1245573302.unknown
_1245573308.unknown
_1245573296.unknown
_1218895751.unknown
_1245573246.unknown
_1245573251.unknown
_1219677017.unknown
_1219677147.unknown
_1245573237.unknown
_1219677084.unknown
_1218895765.unknown
_1204706650.unknown
_1204706741.unknown
_1217679226.unknown
_1071353418.unknown
_1071350659.unknown
_1071352175.unknown
_1071352790.unknown
_1071353319.unknown
_1071353154.unknown
_1071352722.unknown
_1071350934.unknown
_1071351197.unknown
_1071352024.unknown
_1071352159.unknown
_1071351961.unknown
_1071351947.unknown
_1071351078.unknown
_1071351158.unknown
_1071351053.unknown
_1071350763.unknown
_1071350900.unknown
_1071350702.unknown
_1071348858.unknown
_1071350486.unknown
_1071350535.unknown
_1071350583.unknown
_1071350598.unknown
_1071350506.unknown
_1071350123.unknown
_1071350167.unknown
_1071350077.unknown
_1071349377.unknown
_1071348744.unknown
_1071348745.unknown
_1071348743.unknown

Outros materiais