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Professor Carlos Henrique VALOR ESPERADO, EXPECTÂNCIA OU ESPERANÇA MATEMÁTICA E(X) = O que é esse misterioso valor esperado ? Não é nada mais, nada menos do que a média aritmética. E(x) = Como a variância é a média dos quadrados dos desvios temos que: Outra maneira de pensar na variância é sendo a média dos quadrados menos o quadrado da média. Assim: onde VALOR ESPERADO – QUESTÕES DE CONCURSOS (TRF/2006 – ESAF) Paulo e Helena jogam, cada um, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Paulo paga a Helena R$ 5,00. Dando qualquer outro resultado, Helena paga a Paulo R$ 2,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor esperado dos ganhos de Helena (considerando-se como ganhos negativos os valores que ela paga a Paulo) é igual a a) - R$ 0,25 b) + R$ 0,25 c) + R$ 3,00 d) - R$ 1,50 e) + R$ 1,25 R$ 5,00 - R$ 2,00 P = P = E(X) = x p(x) = 5 . - 2 . = - = - R$ 0,25 GABARITO: A (SEFAZ-RS-2006) A tabela a seguir apresenta as probabilidades de um oficial de justiça receber 0, 1, 2 ou 3 relatórios de violação de liberdade condicional de um dia qualquer. Número de Violações 0 1 2 3 Probabilidade 0.40 0.20 0.10 0.30 A média e a variância desta distribuição de probabilidades são dadas respectivamente por a) 1.30 e 1.61 b) 1.30 e 3.50 c) 1.50 e 1.50 d) 1.50 e 1.61 e) 1.50 e 3.50 Sabemos que E(X) = x p(x) E = E(X2) – [E(X)]2 Onde E(X2) = x2p(x) X p(x) xp(x) x2p(x) 0 0,4 0 0 1 0,2 0,2 0,2 2 0,1 0,2 0,4 3 0,3 0,9 2,7 E(x) = 1,3 E(x2) = 3,3 Observemos que a quarta coluna pode ser obtida multiplicando-se a 1ª. pela 3ª. = E(x2) – [E(x)]2 = 3,30 – 1,32 = 1,61 GABARITO: A (BACEN) Um investidor aplica em um fundo de ações e espera os rendimentos seguintes, dependentes do cenário econômico vigente: Cenário Rendimento Economia em recessão R$ 1.000,00 Economia estável R$ 2.000,00 Economia em expansão R$ 4.000,00 Com base em sua experiência passada, a distribuição de probabilidades do cenário econômico seria: Cenário Probabilidade Economia em recessão 0,40 Economia estável 0,40 Economia em expansão 0,20 Assinale a opção que dá o valor do desvio-padrão em reais da rentabilidade do investidor. a) 1100 b) 2000(1/5)0,5 c) 3000(3/5) 0,5 d) 1000(6/5) 0,5 e) 2000 Tiremos 3 zeros dos valores para calcularmos melhor. X p(x) xp(x) x2p(x) 1 0,4 0,4 0,4 2 0,4 0,8 1,6 4 0,2 0,8 3,2 E(x) = 2 E(x2) = 5,2 E(x) = 2 e = E(x2) – [E(x)]2 = 5,2 - 22 = 1,2 = GABARITO: D DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE (BACEN - ESAF) Uma variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades dada por: 0, para x < 0 ¼, para 0 x < 1 F(x) 7/12, para 1 x < 2 11/12, para 2 x < 3 1, para x 3 Assinale a opção que dá a probabilidade de x = 2. a) 7/12 b) 11/12 c) 1/3 d) 3/4 e) 10/12 Lembremos que F(x) é a função de distribuição acumulada de x, portanto... P(x = 2) = F(x = 2) – F(x = 1) P(x = 2) = GABARITO: C (AFRE-MG-ESAF) Uma função aleatória X tem função de distribuição de probabilidades dada por: x < 0 1/243 0 x < 1 11/243 1 x < 2 F(x) 51/243 2 x < 3 131/243 3 x < 4 211/243 4 x < 5 x 5 Assinale a opção correta: X é do tipo absolutamente contínuo e Pr (2 < x 4) = 0,461 X é do tipo discreto e Pr (2 < x 4) = 0,658 X é do tipo discreto e Pr (2 < x 4) = 0,506 X é do tipo absolutamente contínuo e Pr (2 < x 4) = 0,506 X não é do tipo discreto, nem do tipo absolutamente contínuo e Pr (2 < x 4) = 0,506 Começaremos rejeitando todas as opções que afirmam que a distribuição é contínua. Essa configuração é típica de distribuições discretas. Ficaremos entre as letras B e C, portanto: P(2 < x ≤ 4) = P(x = 3) + P(x = 4) P(x = 3) = F(3) – F(2) = P(x = 4) = F(4) – F(3) = P(2 < x ≤ 4) = = 0,658 GABARITO B A variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades: F(x) X 0 X < 1 1/8 1 X < 2 ¼ 2 X < 3 1 X 3 Assinale a opção correta: a probabilidade de que X = 3 é 0,65 a probabilidade de que X = 2 é ¼ a variável aleatória X tem valor esperado 2,5 a variável aleatória X tem valor esperado 21/8 a variável aleatória X é uniforme contínua P(x = 1) = P(x = 2) = P(x = 3) = 1 - x P(x) x p(x) 1 2 3 E(x) = + + = GABARITO: D (ISS-RECIFE) Para uma amostra de tamanho 100 de um atributo discreto X obteve-se a função de distribuição empírica seguinte: Assinale a opção que corresponde à freqüência de observações de X iguais a três: a) 55 b) 35 c) 20 d) 30 e) 85 P(x = 3) = F(3) – F(2) = 0,55 – 0,35 = 0,2 n = 100 100 . 0,2 = 20 GABARITO: C � DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Cada tentativa admite somente dois resultados possíveis: sucesso (p) ou fracasso(q), onde: p + q = 1 CARACTERÍSTICAS: E(X) = np e QUESTÕES DE CONCURSOS (AFRE-MG) Suponha que a probabilidade de que se encontre um erro contábil grave em uma auditoria seja de 0,2. Se dez auditorias independentes são realizadas, assinale a opção que dá a probabilidade de que não mais do que uma detecte erro contábil grave. a) 2,8 (4/5) b) 0,400 c) (0,2)10 d) 2,8(4/5)10 e) 2,8(4/5)9 P(erro) = 0,2 = 20% P(não erro) = 0,8 = 80% n = 10 1 erro, 9 não erros ou 0 erro, 10 não erro =10 . 02. 0,89 + =1 . 0,810 . 0,2 ↓ 2 . 0,89 + 0,89 = 2,8. GABARITO: A (TRIBUNAL DE CONTAS – ES – 2001 - ESAF) Uma Cia. Aérea sabe que as chances são de 5 em 100 de que um passageiro com reserva confirmada não apareça para o vôo. Neste contexto, a Cia. Vende 52 passagens para um vôo que só pode acomodar 50 passageiros. Assinale a opção que dá a probabilidade de que haja lugar disponível para todo passageiro que se apresente para viajar. Suponha que os passageiros tomem suas decisões de viajar independentemente. (0,95)50 399/400 1/10 50/52 1 – 3,55 x (0,95)51 P(aparecer) = 95% P(não aparecer) = 5% P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + ... P(x = 49) + P(x = 50) P(quero) = 1 – P(não quero) 1 – [P(x = 51) + P(x = 52)] = 1 – [ . 0,05 . 0,9551 + 0,9552] = 1 = 3,55 . 0,9551 GABARITO: E (SUSEP) Um aspecto importante do serviço de manutenção de programas numa empresa tem a ver com a velocidade (presteza) com que uma chamada de serviço (de manutenção) é atendida. Historicamente, numa determinada empresa, observa-se que as chances são de 50% de que uma chamada seja atendida num período inferior a 1 hora. Se 5 chamadas de manutenção são realizadas nessa empresa, assinale a opção que dá a probabilidade de que pelo menos 3 chamadas sejam atendidas em menos de 1 hora. a) 50,00% b) 12,50% c) 75,00% d) 31,25% e) 18,75% n = 5 P(t < 1h) = P(t ≥ 1h) = 3(t < 1h) e 2(t ≥ 1h) ou 4(t < 1h) e 1(t ≥ 1h) ou 5(t < 1h) ↓ + ↓ + ↓ . . 5 = . .+ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 10 = = = 50% 5 1 GABARITO A (SEFAZ – RIO) Um candidato se submete a uma prova contendo três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a: (A) 0,104. (B) 0,040. (C) 0,096. (D) 0,008. (E) 0,200. P(acertam) = 20% = 0,2 P(erra) = 80% = 0,8 n = 3 2 ac, 1 er ou 3 ac ↓ ↓ ↓ ↓ = 0,22 . 0,8 + 0,23 (não precisa, pois = 1) ↓ ↓ 0,096 0,008 ↓ ↓ 9,6% 0,8% = 10,4% GABARITO: A (CGU – 2008) Em um hospital, 20% dos enfermos estão acometidos de algum tipo de infecção hospitalar. Para dar continuidade às pesquisas que estão sendo realizadas para controlar o avanço deste tipo de infecção, cinco enfermos desse hospital são selecionados, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente três dos enfermos selecionados não estejam acometidos de algum tipo de infecção hospitalar é igual a: a) (0,8)3 (0,2)2 b) 10 (0,8)2 (0,2)3 c) (0,8)2 (0,2)3 d) 10 (0,8)3 (0,2)2 e) (0,8)3 (0,2)0 n = 5 3 não infecção 2 infecção P(infecção) = 20% P(não infecção) = 80% . 0,83 . 0,22 = 10 . 0,83 . 0,22 = 10 GABARITO: 28) n = 3 1 variação 2 não variação . 0,01 . 0,99 . 0,99 = 3 . 0,01 = 3% GABARITO: D (ANA – 2009 – ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? a) 0,98% b) 1% c) 2,94% d) 1,30% e) 3,96% n = 3 1 variação 2 não variação . 0,01 . 0,99 . 0,99 3 . 0,01 3% Como 0,99 1, “acoxambramos” o resultado. GABARITO: C (TFC) Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é a) 3/8 b) ½ c) 6/8 d) 8/6 e) 8/3 n = 4 2MOS 2MAS = 6 6. = = 0,375=37,5% GABARITO A (AFTN/ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carros importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é a) (0,1)7 (0,9)3 b) (0,1)3 (0,9)7 c) 120 (0,1)7 (0,9)3 d) 120 (0,1) (0,9)7 e) 120 (0,1)7 (0,9) n = 10 Imp. Não import. P(importado) = 10% P(não importado) = 90% . 0,17 . 0,93 = 120 . 0,17 . 0,93 = 120 GABARITO: C DISTRIBUIÇÃO DE POISSON A distribuição de Poisson é dada pela expressão: P(x) = A média e a variância da distribuição de Poisson é . E(x) = e O número e é a base dos logaritmos neperianos e vale e = 2,7182818..., ou seja, é um número irracional. Porém tal conhecimento não é exigido em concursos há muitos anos. As bancas têm fornecido o valor de . A questão avisa que é de Distribuição de Poisson, o que é um alívio pra o candidato. (CGM) A procura semanal de certa peça sobressalente pode ser modelada com a distribuição de Poisson com média igual a 0,15. Em uma semana, a probabilidade de ser pedida ao menos uma peça é, aproximadamente: Dado e-0,15 = 0,8607 a) 14% b) 15% c) 86% d) 85% = 0,15 P(quero) = 1 – P(não quero) Lembremos que 0 ! = 1 e que qualquer número elevado a zero é igual a 1. P(quero) = 1 - = 1 – e-0,15 = 0,14 = 14% GABARITO: A (AFPS - ESAF) Sabe-se que o número de clientes que procuram atendimento numa agência da previdência no período das 17 às 18 horas tem distribuição de Poisson com média de 3 clientes. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de que mais de 2 clientes apareçam no período. Sabe-se que e-3 = 0,0498, sendo e o número neperiano. a) 0,776 b) 0,667 c) 0,500 d) 0,577 e) 1,000 = 3 P(quero) = 1 – P(não quero) = 1- [P(x = 0) – P(x = 1) – P(x = 2)] = 1 – [ = 1 – [e-3 + 3 . e-3 + 4,5 . e-3] = 1 – 8,5 . e-3 = 1 – 8,5 . 0,0498 = 1 – 0,42 = 58% GABARITO: D (SUSEP) Sabe-se de experiência que num processo de auditoria contábil o número de discrepâncias entre valores registrados e auditados tem distribuição de Poisson com média 1. Seja e a base de logaritmo neperiana. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que num determinado processo de auditoria ocorra no mínimo uma discrepância entre valores registrados e auditados. a) 1/e b) 1 – 1/e c) (1/e) d) 5,0% e) 3,8% = 1 P(quero) = 1 – P(não quero) = 1- P(x = 0) = 1 - GABARITO: B Suponha que as pessoas se dirijam ao caixa de um mercado de acordo com um processo Poisson com taxa média de 2 clientes por minuto. A probabilidade de que, num intervalo de 3 minutos, no máximo dois clientes se dirijam ao caixa é dada por: 18e-2 24 e-2 7e-6 18e-6 25e-6 taxa média = 2 clientes / minuto = 3min. = 6 clientes P(quero) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = = + = e-6 + 6e-6 + 18e-6 = 25e-6 GABARITO: E Uma variável aleatória tem distribuição de Poisson com parâmetro 2. O valor de E[x2] é: 1 2 4 6 16 = 2 = Σ(x2) – [Σ(x)]2 (Média dos quadrados menos o quadrado das médias) ↓ ↓ por definição = Σ(x2) - 2 2 = Σ(x2) - 22 = Σ(x2) = 6 GABARITO: D (SEFAZ – RIO – 2008) Dentre as distribuições de probabilidade a seguir, aquela em que E(x) = E(x – E(x))2 é: E(x) = E(x – E(x))2 ↓ ↓ média variância Qual é a distribuição em que a média é igual a variância ? É a distribuição de Poisson ! Não há o que comentar mais. ... GABARITO: D DISTRIBUIÇÃO UNIFORME � b x CARACTERÍSTICAS E(X) = A dureza de uma peça de cerâmica é proporcional ao tempo de queima. Suponha que se conseguiu um processo de medição dessa dureza e que a medida respectiva seja uma variável aleatória distribuída uniformemente entre 0 e 10. Se a dureza de uma peça de cozinha deve estar no intervalo [5,9], qual é a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser adequada ao uso na cozinha ? a) 10% b) 20% c) 40% d) 60% e) 80% � P P = = 0,4 = 40% GABARITO: C (AFPS) A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (0, α) onde α é uma constante maior do que 0,5. Determine o valor de α tal que F(0,5)=0,7, sendo F(x) a função de distribuição de X. a) 3/4 b) 1/4 c) 1 d) 5/7 e) 1/2 � Lembremos que a função F(x), é a função distribuição acumulada de probabilidade. Reparemos que a base do retângulo menor é 0,5 (0,5 – 0) e a base do retângulo maior é ( -0). Logo, ----------- 100% 0,5 ---------- 70% = GABARITO: D Sabe-se que a variável aleatória X tem distribuição de probabilidades uniforme no intervalo (a,b) com 0<a<b. Assinale a opção correta. Lembremos que C.V.(x) = Como na distribuição uniforme e temos que: C.V(x) = = �� EMBED Equation.3 GABARITO: A Acredita-se que preço de um bem (X), em reais, tenhadistribuição populacional uniforme no intervalo aberto (1; 7). Assinale a opção que corresponde à probabilidade de se observar na população um valor de X pelo menos 3 reais e de no máximo 5 reais. a) 2/7 b) 1/3 c) 5/6 d) 1/2 e) ¾ � P = = = GABARITO: B (BACEN) A variável aleatória X tem distribuição de probabilidades do tipo absolutamente contínuo com densidade de probabilidades f(x) 1/(2 ) - < x < 0 | x | > Onde é uma constante positiva maior do que um. Assinale a opção que dá o valor de para que se tenha P(x > 1) = 0,25. a) 4 b) 0 c) 3 d) 1 e) 2 � ---------------- 100% ---------------- 25% 100 - 100 = 50 50 = 100 = 2 GABARITO: E (SUSEP) Uma variável aleatória X, do tipo contínuo, tem função densidade de probabilidade definida por: f(x) ½ 0 < x < 2 0 Caso contrário A esperança matemática, a variância e o desvio – padrão de x são, respectivamente: a) ½, 1 e 1 b) 1, 2 e 1,41 c) 1 , 1/3 e 0,578 d) ½, 2 e 1,41 e) 1/2 , 1/3 e 0,578 � A esperança matemática é dada por E(x) = = 1 = , pela análise das opções = 0,578 GABARITO: C DISTRIBUIÇÃO NORMAL Não se preocupe com a fórmula. Você não a usará. Na prática, você fará um processo chamado de padronização e transformará a variável x em outra variável padronizada z. A curva normal se transformará na curva normal padronizada. PADRONIZAÇÃO E a curva padronizada z será: (SEFAZ-MS-2006) Se X tem distribuição normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de X > 6 vale, aproximadamente: 0,25 0,28 0,33 0,37 0,46 = 9 = 3 � z = � GABARITO: A (SERPRO) Suponha que o tempo que a Receita Federal leva no processo de devolução do imposto pago a mais tenha distribuição normal com média de 12 semanas e desvio-padrão de 3 semanas. Assinale a opção que estima a proporção de contribuintes que recebem a devolução em no máximo 6 semanas. a) 50,00% b) 05,56% c) 43,32% d) 02,28% e) 47,72% = 3 � 50% - 47,72% = 2,28% � GABARITO: D (ISS-SP-2006) Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. A probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00 é de: (A) 97,7% (B) 94,5% (C) 68,2% (D) 47,7% (E) 34,1% = 1500 � � 47,72% + 50% = 97,72% GABARITO: A (CVM) Uma pessoa está indecisa se compra uma casa agora ou se espera para comprar daqui a um ano. A pessoa acredita que o aumento do preço da casa em um ano tenha distribuição normal com média de 8% e desvio padrão de 10%. Se o preço aumentar mais de 25% a pessoa não terá dinheiro para adquirir o imóvel. Por outro lado, se o preço da casa cair, a pessoa sairá lucrando. Assinale a opção que dá as probabilidades de ocorrência de cada um desses eventos, respectivamente. a) 4,5% e 10,4% b) 6,7% e 24,2% c) 4,5% e 24,2% d) 2,9% e 18,4% e) 4,5% e 21,2% � � Z = = 0,8 Z = =1,7 GABARITO: E A variável X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Seja a o primeiro quartil da distribuição normal padrão. Assinale a opção que corresponde ao primeiro quartil da distribuição de X. a) 2 + 2,00 a b) 2 + 0,25 a c) 2 + 0,75 a d) 2 + 4,00 a e) 2 + 1,25 a _25%_|_25%_|_25%__|_25%__ Q1 Q2 Q3 Numa Cia. de seguros sabe-se que os salários anuais são aproximadamente distribuídos com média de R$ 10.000,00 e desvio-padrão de R$ 1.000,00. Assinale a opção que corresponde ao nono decil da distribuição dos salários. a) 10.000,00 b) 12.000,00 c) 11.340,00 d) 9.190,00 e) 11.280,00 = 1000 � � _10_|_10_|___|___|___|___|___|___|_10 |_10_|________ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Z = → 1,28 = = 1280 + 10000 = x → x = 11280 = D9(x) GABARITO: E (BACEN/2006) Para resolver as questões de números 48 e 49, considere a tabela a seguir, que dá valores das probabilidades (Z z) para a distribuição normal padrão. z 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 Z z 0,50 0,40 0,31 0,23 0,16 0,11 0,07 As empresas de determinado setor têm a situação líquida bem descrita por uma distribuição normal, com média igual a 2,5 milhões de reais e desvio padrão igual a 2 milhões de reais. Selecionando uma empresa aleatoriamente deste setor, a probabilidade de apresentar uma situação líquida negativa ou nula é de: a) 11% b) 16% c) 23% d) 39% e) 50% = 2 � Situação líquida negativa ou nula é a situação líquida inferior a zero. Z = = - 1,25 Olhando a tabela, obtemos: � GABARITO: A Os valores de determinado título de mercado de investimento apresentam uma distribuição considerada normal. Sabe-se que os valores de 16% dos títulos são superiores ou iguais a R$ 10.000,00 e que os valores de 60% dos títulos são inferiores a R$ 7.000,00. A média dos valores dos títulos é: a) R$ 8.500,00 b) R$ 8.000,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 4.500,00 � Observando a tabela notamos que: � Quando x = 10000, z = 1 � Procurando na tabela por 40%, achamos z = 0,25 � z = 1 = (I) 0,25 = 0,25 = 7000 - (II) Como quero a média, multiplicaremos a 2ª. Equação por (-4). Assim teremos = 10000 - - = 28000 + 4 __________________ 0 = -18000 + 3 = 6000 GABARITO: D (BACEN) Suponha os pesos das pessoas, normalmente distribuídos, em certo grupo, com média de 70 kg e desvio padrão de 8 kg. Escolhidas ao acaso 4 dessas pessoas, a probabilidade da soma dos seus pesos ser maior que 296 kg é de: a) 0,309 b) 0,159 c) 0,067 d) 0,023 e) 0,006 População Amostra = 70kg; = 8kg n = 4kg = 70kg O cálculo abaixo é pelo Teorema Central do Limite: sx (desvio padrão das médias amostrais) = = = 4kg Fazendo 296/4 = 74, temos � � (SUSEP – ADAPTADA) O tempo de vida útil de uma pilha é uma variável aleatória com distribuição do tipo contínuo, média de 40 horas e desvio padrão de 20 horas. Usa-se a pilha até que sua energia se esgote quando é substituída por uma nova. Suponha que se tenha à disposição um estoque de 25 pilhas com tempos de vida com essas características e independentemente distribuídos. Seja (x) a função de distribuição normal padrão. Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central do Limite para a probabilidade de que com as 25 pilhas se obtenha pelo menos 1.100 horas de uso contínuo. a) 15,87% b) 34,13% c) 47,72% d) 50% e) 13,60% População = 40h = 20h Amostra = 40h N = 25 Sx = = = 4 Como 1100/25 = 44, temos que: � � GABARITO: A (ELETROBRÁS) Numa população, 10% das pessoas já tiveram hepatite. Se uma amostra aleatória simples de tamanho 400 for observada, a probabilidade de que ao menos 50 já tenham tido hepatite é aproximadamente de: a) 0,015 b) 0,021 c) 0,032 d) 0,057 e) 0,063 n = 400 P(hepatite) = 10% P(não hepatite) = 90% = n.p = 400.90% = 40 = n.p.q = 400 . 10% . 90% = 36 = = 6 Agora começam as nossas complicações. Estamos fazendo uma aproximação. Para que esta seja melhor devemos deslocar o valor de x de um pequeno valor 0,5, no sentido de aumentar a área pedida. Assim no lugar de 50, colocaremos 49,5 e trabalharemos com tal valor. � � z = =1,6 Olhando a tabela temos que 50% - 44,29% = 5,71% GABARITO: D Uma moeda não tendenciosa é lançada100 vezes. Qual é a probabilidade de que ocorram no máximo 58 coroas ? a) 95,54% b) 91,36% c) 89,56% d) 87,64% e) 85,78% Aproximação normal da distribuição binomial Transformar uma Distribuição Binomial em uma Normal. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL = np = npq p → probabilidade de sucesso q → probabilidade de fracasso p + q = 100% = 1 48) n = 100 E(x) = = 100 - = 50 = 100 . . = 25 = = �� EMBED Equation.DSMT4 � � GABARITO: A DESIGUALDADE DE TCHEBYCHEV ______________| | |____________ PFORA ≤ PFORA MÁXIMO = PDENTRO 1 - PDENTRO MÍNIMO= 1 - QUESTÕES DE CONCURSOS As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N empregados produziram as estatísticas : = (1/N) Σ Xi = R$ 14.300,00 s = [(1/N) Σ (Xi – )2]0,5 = R$ 1.200,00 Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00;R$ 16.100,00]. Assinale a opção correta: P é no máximo ½ P é no máximo 1/1,5 P é no mínimo ½ P é no máximo 1/2,25 P é no máximo 1/20 ______________| | |____________ 12500 14300 16100 Como 1800 = K e = 1200 1800 = K . 1200 K = 1,5 PFORA MÁXIMO = GABARITO: D Tem-se o conjunto de n mensurações X1,..., Xn com média aritmética M e variância S2, onde M=(X1 + ... + Xn)/n e S2 = (1/n) Σ (Xi – M)2.Seja 0 a proporção dessas mensuras que diferem de M, em valor absoluto, pelo menos 2S. assinale a opção correta. apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar 0 exatamente, mas sabe-se que 0,25 0 O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =5%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn. O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =95%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn. O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =30%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn. O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =15%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn. ______|______|______|______ Como a questão pede a proporção dos elementos cuja DISTÂNCIA à média seja igual ou superior a 2 queremos os elementos do lado de FORA. Logo, PFORA ≤ Como K = 2, temos PFORA ≤ 0,25 ≥ PFORA GABARITO: A (AFPS/2002 – ESAF) Sejam x1,....xn observações de um atributo X. Sejam . Assinale a opção correta. a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S. b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S. c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S. d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S. e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S. Esta questão é o inverso da anterior. A questão (nas opções) pede que a DISTÂNCIA até a média seja INFERIOR ou IGUAL (...menos...) que 2S. ______________|____________|___________|____________ Como K = 2, calculamos o lado de fora primeiro. PFORA ≤ = PDENTRO ≥ 1 – 0,25 = 0,75 = 75% Gabarito: c O número de erros encontrados na contabilidade de uma firma é uma variável aleatória X com distribuição desconhecida, média 5 e desvio-padrão 1/10. Assinale a resposta correta. a) P(4 < X < 6) 0,99 b) P(4 < X < 6) = 0,95 c) 0,95 < P(4 < X < 6 ) < 0,99 d) P(4 <X <6) =0,90 e) P(4 < X < 6) = 0,70 Percebemos pelas opções que a questão deseja P(4 < X < 6) ______________| | |____________ 4 6 K = 1 K - = 1 K = 10 PFORA ≤ = = = 1% P(4 < x < 6) = PDENTRO ≥ 100% - 1% = 99% GABARITO: A No intervalo ( ± 3 ), tem-se: a) no mínimo 88,89% dos elementos de uma população qualquer; b) no máximo 88,89% dos elementos de uma população, se esta tiver distribuição normal; c) no máximo 88,89% dos dados de uma população, se esta tiver distribuição quiquadrado; d) exatamente 88,89% dos dados de uma população qualquer; e) no máximo 88,89% dos elementos de uma população qualquer; No intervalo ( ; ) Queremos a parte de “dentro”. ______________|___________|____________|____________ Onde K = 3 A parte de fora é PFORA ≤ = = = 11,11% PDENTRO ≥ 100% -11,11% = 88,89% PDENTRO MÍNIMO = 88,89% GABARITO: A � EMBED Equation.3 ��� f(x) 100% x� 10 9� 5� 0� f(x) 70% 0 0,5 � EMBED Equation.3 ��� x f(x) x 1 3 5 7 f(x) -α α 1 25% � EMBED Equation.3 ��� f(x) x 2 0 � EMBED Equation.3 ��� 6 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� valor encontrado na tabela 24,85% 50% - 24,85% = 25,15% � EMBED Equation.3 ��� 6 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 47,72% � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 47,72% � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���= 1,28 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���= 70kg 74kg 34,13% Z = � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 34,13% � EMBED Equation.3 ���= 40 44 � EMBED Equation.3 ���= 40 Z = � EMBED Equation.3 ��� 34,1% 15,9% 15,9% �EMBED Equation.3��� 40 50 49,5 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 5,71% 49,29% 58,5 � EMBED Equation.3 ���50 Para aumentar a área para a esquerda ou direita � EMBED Equation.3 ���50 Z = 8/5 = 1,7� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� 95,54% 50% 45,5% � EMBED Equation.3 ��� 0 11% -1,25% � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� X = 10000 16% � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� z = 1 10% 50% 40% � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���7000 10% � EMBED Equation.3 ���0,25 50% 40% � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� �PAGE � �PAGE �31� _1320517609.unknown _1320581367.unknown _1320643419.unknown _1320650057.unknown _1320651335.unknown _1320651432.unknown _1320651560.unknown _1320652717.unknown _1320651644.unknown _1320651482.unknown _1320651532.unknown _1320651376.unknown _1320650187.unknown _1320650816.unknown _1320651196.unknown _1320650504.unknown _1320650590.unknown_1320650380.unknown _1320650115.unknown _1320647602.unknown _1320649084.unknown _1320649626.unknown _1320649738.unknown _1320649823.unknown _1320649707.unknown _1320649606.unknown _1320648191.unknown _1320649051.unknown _1320647762.unknown _1320644869.unknown _1320645656.unknown _1320646248.unknown _1320643586.unknown _1320609533.unknown _1320642330.unknown _1320642362.unknown _1320642487.unknown _1320642351.unknown _1320609583.unknown _1320609927.unknown _1320609549.unknown _1320605640.unknown _1320605764.unknown _1320605977.unknown _1320609391.unknown _1320605694.unknown _1320581567.unknown _1320605442.unknown _1320581661.unknown _1320581662.unknown _1320581747.unknown _1320581660.unknown _1320581453.unknown _1320581555.unknown _1320581403.unknown _1320572543.unknown _1320579475.unknown _1320580415.unknown _1320581219.unknown _1320581298.unknown _1320581126.unknown _1320579536.unknown _1320579982.unknown _1320580016.unknown _1320579948.unknown _1320579859.unknown _1320579517.unknown _1320574189.unknown _1320578967.unknown _1320579445.unknown _1320574207.unknown _1320573652.unknown _1320573714.unknown _1320573508.unknown _1320518914.unknown _1320526995.unknown _1320529741.unknown _1320529915.unknown _1320572308.unknown _1320572430.unknown _1320530186.unknown _1320530057.unknown _1320529839.unknown _1320529885.unknown _1320529805.unknown _1320527124.unknown _1320527235.unknown _1320527760.unknown _1320527144.unknown _1320527060.unknown _1320520805.unknown _1320525982.unknown _1320526371.unknown _1320526646.unknown _1320526697.unknown _1320526602.unknown _1320526043.unknown _1320522155.unknown _1320522336.unknown _1320522052.unknown _1320522129.unknown _1320521832.unknown _1320520563.unknown _1320520710.unknown _1320520756.unknown _1320520622.unknown _1320519004.unknown _1320517799.unknown _1320517925.unknown _1320518207.unknown _1320518387.unknown _1320518400.unknown _1320518233.unknown _1320518155.unknown _1320518174.unknown _1320517989.unknown _1320517846.unknown _1320517877.unknown _1320517746.unknown _1320517762.unknown _1320517657.unknown _1320273710.unknown _1320390832.unknown _1320400916.unknown _1320516593.unknown _1320516892.unknown _1320516893.unknown _1320516660.unknown _1320515605.unknown _1320515864.unknown _1320512558.unknown _1320512384.unknown _1320512509.unknown _1320511653.unknown _1320397456.unknown _1320397730.unknown _1320399924.unknown _1320400876.unknown _1320400056.unknown _1320400076.unknown _1320400129.unknown _1320400057.unknown _1320399937.unknown _1320399693.unknown _1320399904.unknown _1320399670.unknown _1320397573.unknown _1320397277.unknown _1320392499.unknown _1320392546.unknown _1320392319.unknown _1320389386.unknown _1320389793.unknown _1320390245.unknown _1320390308.unknown _1320389884.unknown _1320389985.unknown _1320389501.unknown _1320389591.unknown _1320389456.unknown _1320388595.unknown _1320388956.unknown _1320389102.unknown _1320389149.unknown _1320389176.unknown _1320388993.unknown _1320388857.unknown _1320387426.unknown _1320387832.unknown _1320388072.unknown _1320387647.unknown _1320383604.unknown _1320386627.unknown _1320387165.unknown _1320386772.unknown _1320383775.unknown _1320274761.unknown _1320274826.unknown _1320273948.unknown _1245573314.unknown _1256679206.unknown _1259643382.unknown _1320273635.unknown _1320273665.unknown _1259643438.unknown _1277710514.unknown _1320273569.unknown _1277710436.unknown _1259643399.unknown _1259643312.unknown _1259643328.unknown _1259643297.unknown _1259468744.unknown _1245573452.unknown _1256679148.unknown _1256679174.unknown _1245573473.unknown _1245573332.unknown _1245573344.unknown _1245573351.unknown _1245573338.unknown _1245573325.unknown _1071353417.unknown _1245573290.unknown _1245573302.unknown _1245573308.unknown _1245573296.unknown _1218895751.unknown _1245573246.unknown _1245573251.unknown _1219677017.unknown _1219677147.unknown _1245573237.unknown _1219677084.unknown _1218895765.unknown _1204706650.unknown _1204706741.unknown _1217679226.unknown _1071353418.unknown _1071350659.unknown _1071352175.unknown _1071352790.unknown _1071353319.unknown _1071353154.unknown _1071352722.unknown _1071350934.unknown _1071351197.unknown _1071352024.unknown _1071352159.unknown _1071351961.unknown _1071351947.unknown _1071351078.unknown _1071351158.unknown _1071351053.unknown _1071350763.unknown _1071350900.unknown _1071350702.unknown _1071348858.unknown _1071350486.unknown _1071350535.unknown _1071350583.unknown _1071350598.unknown _1071350506.unknown _1071350123.unknown _1071350167.unknown _1071350077.unknown _1071349377.unknown _1071348744.unknown _1071348745.unknown _1071348743.unknown
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