Apostila 1 Matrizes e Determinantes

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Alexandre Meirelles
MATRIZES
Matriz é uma tabela de números reais formada por m linhas e n colunas. Se podem ser números reais, então servem números negativos, frações, raízes, zero etc.
Sua ordem é m x n , sendo m e n Є N*, ou seja, ambos são números naturais e diferentes de zero.
Podem aparecer com 3 notações diferentes, que podemos ver abaixo, com a respectiva ordem ao lado de cada uma:
a) 
 	 	b) 
			c) 
	
Qualquer matriz segue o seguinte modelo:
Sendo: 	aij => elemento da matriz
		i => linha (lembrar do i de linha)
		j => coluna (lembrar do o de coluna e de jota)
Classificação de Matrizes
a) Matriz linha => quando possui uma só linha (m = 1)
Ex) 
b) Matriz coluna => quando possui uma só coluna (n = 1)
Ex) 
 
c) Matriz nula => quando TODOS os elementos são iguais a zero. 
Ex)
d) Matriz quadrada => quando o número de linhas é igual ao de colunas (m = n) 
Ex) 
 
Toda matriz quadrada possui uma diagonal principal e uma secundária.
No exemplo acima, a principal é a formada pelos elementos a11, a22 e a33, ou seja, 1, 5 e 0. 
A diagonal secundária é a que possui os elementos a13, a22 e a31, ou seja, 4, 5 e 7.
e) Matriz identidade ( In ) => todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os demais são nulos. Só as matrizes quadradas podem ser identidade.
Ex) I4 = 
Ao multiplicarmos uma matriz A por uma matriz identidade, a matriz resultante é igual a A. É como se ela valesse “um”.
Ex1) Amxn . In = Amxn		Ex2) Im . Amxn
f) Matrizes iguais => quando TODOS os elementos de A e B são iguais.
Se A = 
 e B = 
 , então B é igual a A.
Algumas vezes encontramos questões para responder utilizando esta classificação, assim:
Ex) Encontrar a, b e c, sabendo que A = B:
 = 
 Facilmente comparamos as matrizes e vemos que a = 2, b = 3 e c = 0.
g) Matriz oposta (–A )=> é a obtida invertendo os sinais de TODOS os elementos de A. 
Ex) Se A = 
 e B = 
 , então B é oposta de A.
h) Matriz transposta ( At ) => At é a matriz obtida trocando as posições das linhas e colunas de A seguindo a ordem, ou seja, trocamos a 1ª linha pela 1ª coluna, a 2ª linha pela 2ª coluna, e assim por diante. 
Ex1) Se A = 
 , então At = 
Ex2) Se A = 
 , então At = 
i) Matriz simétrica => Quando A = At . 
Obviamente elas também são iguais entre si e só podem ser quadradas.
Se A = 
 e B = 
 , então B é simétrica de A.
Construção de Matrizes:
Várias questões de prova são resolvidas construindo a matriz a partir de uma regra de formação fornecida.
Ex) Construir a matriz A = [aij]2x3 tal que aij = (i + j)2
Primeiramente, escrevemos a matriz que servirá de modelo, observando a ordem da matriz fornecida, que é 2x3, ou seja, possui duas linhas e três colunas:
 
Agora, para cada elemento da matriz, acharemos (i + j)2
a11 = (1+1)2 = 12 = 1		a12 = (1+2)2 = 32 = 9 		a13 = (1+3)2 = 42 = 16
a21 = (2+1)2 = 32 = 9		a22 = (2+2)2 = 42 = 16		a23 = (2+3)2 = 52 = 25
Agora é só substituir cada elemento encontrado na matriz modelo:
Sabendo construir matrizes utilizando estas regras de formação, resolveremos várias questões de concursos, mas para isso precisamos aprender antes a somar, subtrair e multiplicar matrizes.
Operações com Matrizes
a) Adição de Matrizes => Basta somar os elementos correspondentes de ambas as matrizes. Logicamente, as duas matrizes necessitam ter a mesma ordem.
Propriedades da Adição:
1ª) A + B = B + A => comutativa
2ª) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C => associativa
3ª) A + (–A) = 0
4ª) A + 0 = A
Ex1) Se A = 
 e B = 
, qual é a matriz C = A + B ?
Resposta: C = 
Ex2) (MPOG – ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo que (aij) = i2–j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos x31 e x13 é igual a:
20		b) 24		c) 32		d) 64		e) 108 
Resolução: Observe que não necessitamos encontrar todos os elementos da matriz X. O enunciado pede a soma de x13 com x31, logo, encontraremos somente os elementos x31 e x13, para pouparmos nosso tempo, que anda tão escasso nas provas atuais.
x31 = a31 + b31 e x13 = a13 + b13 
Então encontraremos a13, b13, a31 e b31, segundo a regra de formação de cada matriz.
a13 = 12 – 32 = 1 – 9 = –8	 b13 = (1 + 3)2 = 42 = 16 	=> x13 = a13 + b13 = –8 + 16 = 8 
a31 = 32 – 12 = 9 – 1 = 8 b31 = (3 + 1)2 = 42 = 16	=> x31 = a31 + b31 = 8 + 16 = 24
Resposta: x13 + x31 = 8 + 24 = 32 => Gabarito: C
Ex3) (AFC – ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes  A = aij e B = bij. Sabendo-se que aij = i2+j2 e que bij = (i+j)2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é igual a:
a)	1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 1
Resolução: O enunciado pede a razão (divisão) entre s31 e s13, logo, calcularemos só a13, b13, a31 e b31, segundo a regra de formação de cada matriz.
a31 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10	b31 = (3 + 1)2 = 42 = 16 	=> s31 = a31 + b31 = 10 + 16 = 26
a13 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10	b13 = (1 + 3)2 = 42 = 16 	=> s13 = a13 + b13 = 10 + 16 = 26 
 => Gabarito: E
Ex4) (AFC – 2002 – ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a:
a) 17		b) 29		c) 34		d) 46		e) 58
O enunciado pede a soma dos elementos da 1ª linha de S, logo, calcularemos só a11, b11, a12 , b12, a13 e b13. Somando os 6 elementos, encontraremos 46, letra D, como gabarito da questão.
Ex5) (AFC – CGU – 2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i – j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a:
a) 16		b) 18		c) 26		d) 65		e) 169
Resolução: O enunciado pede o produto entre x31 e x13, logo, calcularemos só a13, b13, a31 e b31,
Encontraremos a31 = 9, b31 = 4, a13 = 1 e b13 = 4, logo, x31.x13 = 13.5 = 65 => Gabarito: D
b) Subtração de Matrizes => Basta subtrair os elementos correspondentes de ambas as matrizes. Logicamente, as duas matrizes necessitam ter a mesma ordem.
Ex) Se A = 
 e B = 
, qual é a matriz C = A – B ?
Resposta: C = 
 = 
c) Multiplicação de um Número Real por uma Matriz => multiplicamos todos os elementos de A pelo constante fornecida. 
Ex) A = 
 e k = 3. Calcule 3.A
3.A = 3.
 = 
d) Multiplicação de Matrizes => esta operação é a mais delicada de todas. Acreditamos que a melhor forma de aprendê-la é resolvendo exemplos, mas antes precisamos saber que só podemos multiplicar uma matriz A por outra B quando o número de colunas de A é igual ao de linhas de B. A matriz C obtida após este produto terá o número de linhas de A e o número de colunas de B.
Amxn . Bnxp = Cmxp
Vamos primeiro encontrar a ordem das matrizes “C” abaixo:
Ex1) A3x1 . B1x2 = C3x2
Ex2) A5x4 . B4x1 = C5x1
Ex3) A2x3 . B2x2 => impossível, pois o no de colunas de A (3) é diferente do no de linhas de B (2).
Propriedades da Multiplicação:
1ª) ( A . B ) . C = A. ( B . C ) => Associativa
2ª) (A + B ) . C = A.C + B.C => Distributiva
A.B ≠ B.A quase sempre, logo, não é válida a propriedade comutativa.
Ex1) (CEFET-PR) Se A, B e C são matrizes do tipo 2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, então o produto A.B.C será uma matriz de ordem _______.
Resposta: A matriz produto de A por B será de ordem 2x1, que multiplicada por C, dará uma de ordem 2x4.
Ex2) A = 
 e B = 
 A.B = ?
Resolução: Como A e B são matrizes 2x2, A.B, que chamaremos de C, também será 2x2. O 1º elemento de A.B, que será o c11, será o resultado da soma do produto da 1ª linha de A pela 1ª coluna de B. É sempre assim, olhe para qual elemento você quer encontrar, ele será o resultado da soma do produto entre os elementos da respectiva linha de A com a coluna de B.
A.B = C = 
 = 
 = 
 = 
Repare bem:
c11 é a soma do produto entre os elementos da 1ª linha de A com a 1ª coluna de B.
c12 é a soma do produto entre os elementos da 1ª linha de A com a 2ª coluna de B.
c21 é a soma do produto entre os elementos da 2ª linha de A com a 1ª coluna de B.
c22 é a soma do produto entre os elementos da 2ª linha de A com a 2ª coluna de B.
Muita gente confunde estas contas todas e acho difícil multiplicar matrizes. Mas veja que não é tão complicado quanto parece. Primeiro, veja qual vai ser a ordem da matriz produto, para ter uma ideia da “cara” dela. Depois, para cada elemento, veja qual seu índice e faça a correspondência. Se for o elemento c43, por exemplo, é o resultado da soma do produto da 4ª linha de A com a 3ª coluna de B. Simples. Uma questão dessas vale a mesma pontuação de uma de Contabilidade, por exemplo. O quê é mais difícil, uma questão de Contabilidade ou de multiplicação de matrizes? Então pare de reclamar e vamos ganhar estes preciosos pontos para sua tão sonhada aprovação.
Ex3) A = 
 e B = 
 A.B = ?
 
Resolução: Como A é de ordem 3x2 e B é 2x2, A.B, que chamaremos de C, será 3x2.
A.B = C = 
 = 
 = 
 
Ex4) A = 
 e B = 
 A.B = ?
Resolução: Como A é de ordem 2x3 e B é 3x1, A.B, que chamaremos de C, será 2x1.
A.B = C = 
 = 
Ex5) (BNDES – ECONOMISTA – 2008) O produto de matrizes expresso abaixo é:
a) igual a [2	-1]		b) igual a 3		c) igual à matriz identidade
d) comutativo			e) não definido
 
Resolução: Primeiro calcularemos o produto da 1ª pela 2ª matriz, que terá ordem 1x3 e será:
 = 
 
Agora multiplicaremos pela 3ª matriz, encontrando como gabarito da questão a letra A, que é uma matriz de ordem 1x2:
�� EMBED Equation.3 = 
Matriz Inversa
Supondo que A seja uma matriz quadrada, a sua inversa A–1 é aquela em que A. A–1 = A–1.A = In.
Não é sempre que existe A–1. Se ela não existir, dizemos que A é invertível ou singular.
Propriedades da Matriz Inversa:
1ª) ( A–1) –1 = A
2ª) ( At ) –1 = ( A–1) t
3ª) ( A.B ) –1 = B–1.A –1
Ex1) (Fiscal do Estado de MG – 2005 – ESAF) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A.Z.B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a:
A–1 B C	b) A C–1 B–1		c) A–1 C B–1		d) A B C–1	 e) C–1 B–1 A–1
Resolução: Analisando as alternativas, vemos que nosso intuito é isolar Z de um lado da equação e ver o que resta de A, B e C do outro lado. Para resolvermos essa questão, inserimos as matrizes inversas de algumas delas em ambos os lados, pois sabemos que A. A–1 = A–1.A = In. Do seguinte modo:
C = A.Z.B => vamos primeiro sumir com B do outro lado, multiplicando ambos os lados por B–1 :
C. B–1 = A.Z.B.B–1 = A.Z. In = A.Z , pois sabemos que uma matriz multiplicada pela matriz identidade é igual à própria matriz. Agora faremos o mesmo para sumirmos com A do outro lado:
C. B–1 = A.Z => A–1.C. B–1 = A–1.A.Z = In.Z = Z => Gabarito: Z = A–1.C. B–1
Desta vez inserimos a inversa de A no início de ambos os lados da equação porque A aparecia no início de cada lado, ao contrário de quando multiplicamos pela inversa de B, pois B estava no final de cada lado da equação. Gabarito: C
Ex2) A = 
 Calcular A–1 , se possível
Sabemos que A. A–1 = In , logo, vamos supor uma matriz genérica de ordem 2x2 cujo produto de A por ela seja igual à matriz identidade, da seguinte forma:
 . 
 = 
 
Multiplicando as matrizes e igualando à matriz identidade, encontraremos:
0.a + 1.c = 1 => c = 1
1.a + 2.c = 0 => a + 2.1 = 0 => a = -2
0.b + 1.d = 0 => d = 0
1.b + 2.d = 1 => b = 1
Logo: 
 = 
 = A–1 
Ex3) A = 
 Calcular A–1 , se possível
 . 
 = 
 Multiplicando e igualando à matriz identidade, encontraremos:
2.a + 2.c = 1 => a + c = 1/2
1.a + 1.c = 0 => a + c = 0 => como (a + c) pode ser igual a 1/2 e a zero ao mesmo tempo? Isso é impossível, logo, A é singular, ou seja, não existe sua inversa.
O próximo assunto a tratarmos se chama “determinantes”. Assim que você estudar como se calcula um determinante, verifique que uma matriz possui inversa quando seu determinante é diferente de zero, e será singular, ou seja, não possuirá inversa (inversível), quando o determinante for igual a zero. Assim fica bem mais fácil saber se uma matriz possui ou não uma inversa.
�
DETERMINANTES
Aprendendo a Calcular Determinantes:
Calcule os determinantes abaixo:
a) 
 = – 5 => o determinante de uma matriz de 1ª ordem é igual ao elemento da matriz. 
Cuidado para não confundir o símbolo de determinante com o de módulo de um número, não tem nada a ver uma coisa com a outra, apesar de ambos serem representados por barras.
b) 
 => o determinante de uma matriz de 2ª ordem é obtido multiplicando os 2 elementos da diagonal principal diminuídos do produto dos 2 elementos da diagonal secundária, assim:
 = 2.3 – 1.4 = 6 – 4 = 2
Ex) 
 = –2.3 – (1. –4) = –6 + 4 = –2
c) 
 
Para calcularmos o determinante de uma matriz de 3ª ordem, aplicaremos a regra de Sarrus, que nada mais é do que repetir as duas primeiras colunas e somarmos os produtos das 3 multiplicações dos elementos da esquerda para a direita (como se fossem 3 diagonais principais) e subtrairmos das 3 multiplicações dos elementos da direita para a esquerda (como se fossem 3 diagonais secundárias), assim:
 = 
 
 
 = 1.5.4 + 2.2.1 + –3.4.0 – ( –3.5.1 + 1.2.0 + 2.4.4 ) = 
= 20 + 4 +0 – (–15 + 0 + 32) = 24 – 17 = 4
d) 
 = 
 
 
 = –2. –3.1 + 1.1.2 + 3.4.4 – (3.–3.2 –2.1.4 + 1.4.1) = 
= 6 + 2 + 48 – (–18 –8 + 4) = 56 – (–22) = 56 + 22 = 78
e) (ANA – 2009 / ESAF) O determinante da matriz 
a) 2bc + c – a 		b) 2b – c 		c) a + b + c 		d) 6 + a + b + c 	e) 0 
Resolução: Repetiremos as duas primeiras colunas, conforme nos ensinou Sarrus:
 = 2.b.c + 1.c.(4 + a) + 0.a.(2 + b) – [ 0.b.(4 + a) + 2.c.(2 + b) + 1.a.c ] =
= 2bc + 4c + ac + 0 – [ 0 + 4c + 2bc + ac ] = 2bc + 4c + ac – 4c – 2bc – ac = 0 => Gabarito => letra E
Propriedades dos Determinantes:
1ª) Se uma linha ou coluna for toda igual a zero, o determinante será igual a zero.
Ex) 
 = 0
2ª) Se uma linha ou coluna for igual à outra, o determinante será igual a zero.
 Ex) 
 = 0
3ª) Se uma linha ou coluna for proporcional à outra, o determinante será igual a zero.
Ex) 
 = 0, pois a 3ª linha é igual à 1ª multiplicada por 2.
4ª) Se multiplicarmos uma linha ou coluna por uma constante, o determinante também será multiplicado por esta constante.
A = 
 => det A = 2.3 – 1.4 = 6 – 4 = 2
B = 
 => det B = 2.6 – 1.8 = 12 – 8 = 4 , pois como a 2ª linha de B é igual à 2ª linha de A multiplicada por 2, o determinante também será multiplicado por 2.
5ª) Se multiplicarmos TODOS os elementos por uma constante, o determinante também será multiplicado por esta constante elevado a “n”.
A = 
 => det A = 2.3 – 1.4 = 6 – 4 = 2
B = 
 => det B = 4.6 – 2.8 = 24 – 16 = 8 
Como multiplicamos todos os elementos de A por 2, B será 22.detA = 4.detA = 4.2 = 8
6ª) O determinante de A é igual ao determinante de sua transposta, ou seja, Det A = Det At
A = 
 => det A = 2.3 – 1.4 = 6 – 4 = 2
At = 
 => det At = 2.3 – 4.1 = 6 – 4 = 2
7ª) Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas, o determinante será o oposto do original, ou seja, será o mesmo do original com o sinal trocado.
 = 14
 = – 14, pois é o mesmo exemplo do anterior, mas com a 1ª e a 3ª linhas trocadas.
Para as próximas duas propriedades, não necessitamos verificar por exemplos numéricos, basta saber as propriedades, para pouparmos nosso tempo.
8a) det (A.B) = det A . det B
9a) det A–1 = 
�
Exercícios de Concursos Envolvendo as Propriedades:
1) (APOF SEFAZ-SP 2009 / ESAF) O determinante de uma matriz 3x3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1ª linha por 2 e os três elementos da 2ª coluna por –1, o determinante será:
a) –x2 		b) –2x		c) 4x2		d) x2		e) –2x2
Resolução: Pura aplicação da 4ª propriedade, pois ao multiplicarmos a 1ª linha por 2, o determinante também ficará multiplicado por 2, ou seja, será 2x. E depois ao multiplicarmos a 2ª coluna por –1, o determinante também ficará multiplicado por –1, ou seja, será –2x. Gabarito: B
2) (CGU – 2008 / ESAF – alterada) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também de terceira ordem, dada por:
Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a:
a) 50		b) –50		c) 0		d) –100	e) 100
Resolução: Pura aplicação da 7ª propriedade, pois a matriz B é igual à matriz A trocando a 1ª linha com a 3ª linha, logo, o determinante de B será igual ao de A com o sinal trocado. 
Então, se o determinante de A é 100, o de B será –100. Gabarito: D
3) (MPOG – 2008 / ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a:
a) 10-6		b) 105		c) 1010		d) 106		e) 103
Resolução: Pura aplicação da 5ª propriedade, pois a matriz B é igual à matriz B é igual à matriz X multiplicando todos os elementos por 10, logo, o determinante de B será igual ao de X multiplicado por 105, pois possui ordem 5. É a mesma coisa que utilizar a 4ª propriedade 5 vezes.
Então, se o determinante de X é 10, o de B será 105.10 = 106. Gabarito: D
4) (MPU – ESAF) Considere as matrizes X = 
�� EMBED Equation.3 e Y = 
, onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a:
a) 0		b) a		c) a + b + c		d) a + b	e) a +c
Resolução: pela 8ª propriedade, sabemos que det(X.Y) = det X . det Y, logo, não precisamos multiplicar X por Y e calcular seu determinante, vamos calcular primeiro o determinante de X e depois multiplicar pelo determinante de Y. Mas ao calcularmos o determinante de X, veremos que ele é igual a zero, logo, o produto do detX pelo detY também será igual a zero, logo, det (X.Y) = detX . detY = 0 . detY = 0
Podemos economizar mais tempo ainda ao vermos que na matriz X a 2ª linha é igual à 1ª linha multiplicada por 2, ou seja, elas são proporcionais, e pela 3ª propriedade, sabemos que seu determinante será igual a zero, sem necessidade de calcular nada. Sempre que aparecer uma questão mandando calcular um determinante, veja se de cara já não pode afirmar que é zero, utilizando uma das 3 primeiras propriedades.
Gabarito: A
5) (AFC – STN – 2005 – ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:
a) –x–6		b) –x6		c) x3		d) –1		e) 1
Resolução: Questão de solução similar à da questão de número 2, pois vemos que a matriz B é igual à matriz A com a 1ª e a 3ª linhas trocadas, o que faz trocar o sinal do determinante de A. Logo, se o determinante de A é igual a x3, o de B será igual a –x3. Sendo assim:
Det A . Det B = x3 .–x3 = –x6 => Gabarito: B
6) (Analista do MPU – 2004 – ESAF) Sabendo que a matriz A = 
 e que n
 N e n ≥1, então o determinante da matriz An – An–1 é igual a:
1	 b) –1		c) 0		d) n		e) n – 1
Resolução: Quando o candidato se depara com estas questões mais abstratas, costuma se desesperar, mas geralmente são fáceis, basta organizar as ideias.
Para encontrarmos a regra de formação das matrizes An e An–1 , vamos primeiro calcular A1, A2 e A3 e analisarmos se elas seguem um padrão para podermos generalizar para An.
A1 = A = 
A2 = A1. A1 = 
.
 = 
A3 = A2.A1 = 
.
 = 
Comparando as 3 matrizes acima, o que podemos concluir? 
Que a matriz An é igual a 
, pois vemos que o único elemento que foi alterado em cada uma das 3 matrizes foi o elemento a12, que é sempre igual a n. Sendo assim,
An – An–1 = 
 – 
 = 
 = 
 
Gabarito: Det = 0, pois a 2ª linha (ou a 1ª coluna) é igual a zero. Letra C.
7) (Analista do MPOG – 2005 – ESAF) O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij ) = (i + j)2 e que bij = i2 , então o menor complementar do elemento y23 é igual a:
a) 0		b) – 8		c) – 80		d) 8		e) 80
Resolução: A questão pede para encontrarmos o menor complementar do elemento y23, logo, será o determinante da matriz
 sem a 2ª linha e a 3ª coluna, isto é, calcularemos o determinante da matriz:
 Sendo assim, temos que agora encontrar os elementos a11, a12, a31, a32, b11, b12, b31 e b32.
Seguindo a regra de formação das matrizes A e B, encontraremos:
a11 = 4 e b11 = 1 => y11 = 4 + 1 = 5
a12 = 9 e b12 = 1 => y12 = 9 + 1 = 10
a31 = 16 e b31 = 9 => y31 = 16 + 9 = 25
a32 = 25 e b32 = 9 => y32 = 25 + 9 = 34 Logo, 
 = 
 => det 
 = 5.34 – 10.25 = 170 – 250 = – 80 => Gabarito: C
8) (Gestor Fazendário – MG – 2005 – ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B = 21/4 A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2–1/2, então o determinante da matriz B é igual a:
21/2		b) 2		c) 2–1/4		d) 2–1/2		e) 1
Resolução: Por ser uma questão que envolve radicais, ela pode parecer complicada, mas não é, pois é pura aplicação da 5ª propriedade e de matemática básica.
Se o determinante de A é igual a 2–1/2, então ele será, passando para um número mais fácil de lidar:
Det A = 2–1/2 = 
 
O sinal negativo no expoente faz inverter e o “elevado a meio” faz surgir uma raiz quadrada.
B é igual a 21/4A = 
.A Como B é igual à matriz A multiplicada pela constante 
 e elas são de 2ª ordem, o determinante da matriz B será igual ao da A multiplicado por (
)2. Lembra que a 5ª propriedade falava em kn? Então, a constante K é o 
 e o n é 2, pois a matriz é de 2ª ordem. Logo,
Det B = (
)2 . det A = (
)2 . 
 = 
 . 
 = 1 => Gabarito: E
Observação: (
)2 = 
 porque simplificamos o 4 com o 2 do expoente fora dos parênteses, ficando com a raiz quadrada de 2 somente.
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