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aula zero de álgebra linear

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Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Trac¸o de uma Matriz
Dada A = [aij ]n, o trac¸o de A, denotado por Tr (A), e´ o nu´mero
dado pela soma dos elementos da diagonal principal. Isto e´:
Tr (A) =
n∑
i=1
aii .
Propriedades:
(a) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B);
(b) Tr (αA) = αTr (A);
(c) Tr (A′) = Tr (A);
(d) Tr (AB) = Tr (BA).
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Determinantes
Cofator de uma Matriz: O cofator Aij do elemento na
posic¸a˜o (i , j) de uma matriz A e´ dado pelo valor do
determinante Mij , vezes o valor (−1)i+j . Isto e´:
Aij = (−1)i+j det(Mij)
onde Mij e´ a matriz obtida eliminando a i-e´sima linha e a
j-e´sima coluna da matriz A.
Definic¸a˜o
Seja A uma matriz de ordem n, o ca´lculo do determinante da
matriz referido a linha k e´ dado por:
|A| = ak1Ak1 + ak2Ak2 + ...+ aknAkn.
Similarmente e´ poss´ıvel fazer o desenvolvimento por colunas.
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Propriedades do Determinante
Considere A e B matrizes quadradas. Enta˜o, valem as
propriedades dos determinantes.
Propriedades:
(a) Se A possui uma linha (ou colunas) de zeros,
enta˜o, det (A) = 0;
(b) Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais,
enta˜o, det (A) = 0;
(c) Se B e´ obtida de A multiplicando-se uma linha
(ou coluna) por um escalar α, enta˜o,
det (B) = α det (A);
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Propriedades do Determinante
Propriedades:
(d) Se B e´ obtida por troca das posic¸o˜es relativas de
duas linhas (ou colunas) da matriz A, enta˜o,
det (B) = −det(A);
(e) Se B e´ obtida de A, substituindo-se a linha i (ou
coluna) por ela somada a um multiplo escalar de
outra linha j (ou coluna) (j 6= i) enta˜o,
det (B) = det (A);
(f) det (A) = det (A′);
(g) det (AB) = det (A) det(B).
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Matriz Adjunta
Dada A = [aij ]n, a matriz adjunta de A e´ dada por
Adj (A) = (Cof (A))′,
onde Cof (A) e´ a matriz cujos elementos sa˜o os cofatores Aij
da matriz A, ou seja, e´ a matriz onde cada elemento aij e´ igual
ao cofator Aij da matriz A.
Teorema
Se A e´ uma matriz de ordem n,
Adj (A) · A = A · Adj (A) = det (A) · In.
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Matriz inversa
Definic¸a˜o
Uma matriz e´ dita singular se o seu determinante e´ nulo. Caso
contra´rio, dizemos que a matriz e´ na˜o singular.
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma
matriz A−1, de mesma ordem, tal que A.A−1 = A−1.A = In,
enta˜o dizemos que A e´ invers´ıvel e que A−1 e´ matriz inversa
de A.
Propriedades:
Se A e´ invers´ıvel, enta˜o, A e´ na˜o singular.
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Matriz inversa
Se det (A) 6= 0 enta˜o
A−1 =
adj (A)
det (A)
·
Propriedades:
Se A e B sa˜o invers´ıveis, enta˜o:
(a) (AB)−1 = B−1A−1.
(b) (A−1)−1 = A.
(c) (A′)−1 = (A−1)′.
(d) det (A−1) =
1
det (A)
·
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Operac¸o˜es Elementares
Operac¸o˜es elementares sa˜o realizadas na matriz com o objetivo
de inverteˆ-la, reduzi-la ou simplesmente coloca´-la num formato
especificado previamente. Elas podem ser de treˆs tipos:
1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou
coluna);
2) A multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um valor
α ∈ R, com α 6= 0;
3) A soma de uma linha (ou coluna) multiplicada pelo valor
α ∈ R (α 6= 0) numa outra linha (ou coluna).
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Forma Escada de uma Matriz
Dizemos que uma matriz A = (aij)m×n esta´ na sua forma
escada quando:
a) se o primeiro elemento na˜o nulo da linha i ocorre na coluna
ki , enta˜o aij = 0 para todo i > ki . Em outras palavras, os
elementos da coluna ki que esta˜o abaixo do primeiro elemento
na˜o nulo da linha i sa˜o todos iguais a` zero;
b) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas na˜o nulas;
c) Se as linhas 1, ..., r sa˜o linhas na˜o nulas, e se o primeiro
elemento na˜o nulo da linha i ocorre na coluna ki , enta˜o,
k1 < k2 < ... < kr .
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Forma Escada de uma Matriz
Exemplos:
A1 =
(
0 1 0
0 0 0
)
A2 =
 0 1 5 0 30 0 0 1 2
0 0 0 0 0

A3 =
 1 −1 00 1 0
0 0 1

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Part II
Cap´ıtulo 2 - Sistemas Lineares
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Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
Um sistema da forma
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
(1)
e´ chamado de sistema de equac¸o˜es lineares de ordem m × n.
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Forma Matricial de um Sistema Linear
O sistema de equac¸o˜es (1) pode ser escrito na forma matricial:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm
 ,
ou ainda,
AX = B, (2)
com
X =

x1
x2
...
xn
 , A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn
 e B =

b1
b2
...
bm
 .
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Exemplo
Exemplos:

x1 + 2x2 = 1
2x1 + x2 = 0
x1 − x2 = −1
Forma matricial:
X =
[
x1
x2
]
, A =
 1 22 1
1 −1
 e B =
 10
−1
 .
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Interpretac¸a˜o Geome´trica
Considere o seguinte sistema:{
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
Geometricamente temos as seguintes possibilidades:
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Combinac¸a˜o Linear de Vetores
O sistema: {
x + 2y = 5
3x + y = 5
pode ser escrito da forma
x
(
1
3
)
+ y
(
2
1
)
=
(
5
5
)
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Posto e Nulidade de uma Matriz
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A de ordem m × n, o posto da matriz, p(A),
e´ dado pela ordem da maior submatriz na˜o singular da matriz
dada.
Exemplo:
A =
 1 22 4
1 2

3×2
, temos que p(A) = 1
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A de ordem m × n, a nulidade da matriz,
nul(A), e´ dada pela diferenc¸a entre o nu´mero de colunas e o
seu posto (nul(A) = n − p(A)).
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Posto e Nulidade de uma Matriz
Definic¸a˜o
As linhas linearmente independentes (L.I.) de uma matriz A
sa˜o as linhas na˜o nulas de sua forma escada.
Exemplo: Seja A tal que sua forma escada e´
A˜ =

1 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 2 ∗ ∗
0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0

4×5
nu´meros de linhas L.I. de A??
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Lineares
Propriedades:
(a) Se A e´ m × n, enta˜o p(A) = (nu´m. de linhas L.I.)
(b) p(A) ≤ min{m, n}
Conclusa˜o: Achar p(A) basta achar o posto de sua forma
escada!
Assim, se A e´ tal que sua forma escada e´
A˜ =

1 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 −3 ∗ ∗
0 0 0 0 2