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aula zero de álgebra linear

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0 0 0 0 0

Enta˜o, posto de A e´ 3 e sua nulidade e´ 2.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Mais exemplos:
A˜ =

2 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 3 ∗
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

4×5
p(A) =?? nul(A) = ??
A˜ =

2 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 3 ∗ ∗
0 0 0 1 1
0 0 0 0 −2

4×5
p(A) =?? nul(A) = ??
Exerc´ıcio
Encontre o posto e nulidade de A =

1 2 −1 0
2 −1 1 1
1 −3 2 1
0 −5 3 1

Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Matrizes Equivalentes e Sistemas Equivalentes
Definic¸a˜o
Duas matrizes A e A˜ sa˜o ditas matrizes equivalentes se uma
delas e obtida ao fazermos operac¸o˜es elementares na outra.
Exemplo:
A =
 1 2 1 40 0 2 1
−1 −2 −1 −4
 e´ equivalente a
A˜ =
 1 2 1 40 0 1 1/2
0 0 0 0

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Lineares
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Sistemas
Lineares
Propriedade. Matrizes equivalentes possuem o mesmo posto.
Definic¸a˜o
Dado um sistema AX = B, com A m × n, definimos a matriz
aumentada/ampliada do sistema por Au = [A : B] (de ordem
m × (n + 1))
Matrizes e
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Lineares
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Sistemas
Lineares
Definic¸a˜o
Dois sistemas, AX = B e A˜X = B˜, sa˜o ditos equivalentes se as
matrizes aumentadas dos mesmos, Au = [A : B] e
A˜u = [A˜ : B˜], sa˜o matrizes equivalentes.
Exemplo: Os sistemas
x + 2y + z − t = 1
2z − 2t = 2
−x − 2y − z + 2t = −1
e

x + 2y + z − t = 1
z − t = 1
t = 0
sa˜o equivalentes.
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Sistemas
Lineares
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Sistemas
Lineares
Propriedades:
Sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
Ideia para resolver sistemas lineares: Aplicar operac¸o˜es
elementares em [A : B] e obter [A˜ : B˜] na forma escada, e
enta˜o resolver A˜X = B˜ (mais simples)
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Lineares
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Sistemas
Lineares
Caracterizac¸a˜o dos Sistemas Lineares
Seja o sistema linear de m equac¸o˜es com n inco´gnitas
da forma: AX = B. O sistema linear pode ser:
a) Poss´ıvel, se possui soluc¸a˜o. Neste caso, p(Au) = p(A).
Determinado: quando a soluc¸a˜o e´ u´nica. Neste caso,
p(A) = n;
Indeterminado: quando ha´ infinitas soluc¸o˜es. Neste caso,
p(A) < n.
b) Imposs´ıvel, se na˜o possui soluc¸a˜o (p(Au) > p(A)).
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Sistemas
Lineares
Exemplo:
Considere o sistema AX = B onde
A =

1 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 1 ∗ ∗
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

4×5
, B =

∗
∗
∗
z

4×1
Qual valor de z para que o sistema seja poss´ıvel? e
imposs´ıvel? Pode ser determinado?
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Sistemas
Lineares
Graus de Liberdade
Definic¸a˜o
Considere um sistema indeterminado AX = B, com A m × n.
O nu´mero de graus de liberdade do sistema e´
g = n − p(A) > 0 (que e´ o nu´mero de varia´veis livres).
Exemplo:
A =

1 2 −1 3 0
0 0 1 2 −1
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
 ,B =

−1
0
1
0
 e X =

x1
x2
x3
x4
x5

enta˜o, g =?? e as varia´veis livres sa˜o ??
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Lineares
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Sistemas
Lineares
Me´todo de Gauss
O Me´todo de Gauss para sistemas lineares: escolher
varia´veis livres e, a partir delas, encontramos as outras varia´veis
usando o sistema equivalente na forma escada.
Matrizes e
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Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplo
Encontre o grau de liberdade, as varia´veis livres e o
conjunto de soluc¸o˜es para o sistema, indicando o posto e a
nulidade da matriz do sistema :
x + 2y − 3z − 2s + 4t = 1
2x + 5y − 8z − s + 6t = 4
x + 4y − 7z + 5s + 2t = 8
Escreva as soluc¸o˜es como combinac¸a˜o linear de vetores.
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Lineares
Sistemas Homogeˆneos
Definic¸a˜o
Quando B = 0 dizemos que o sistema e´ homogeˆneo. Neste
caso, AX = 0.
Notac¸a˜o: SLh.
Observac¸a˜o
Ao aplicar operac¸o˜es elementares no sistema aumentado [A : 0]
a u´ltima coluna vai ser sempre 0, ou seja, teremos [A˜ : 0].
Propriedades:
Em um sistema AX = B, a soluca˜o geral e´ X = Xp + Xh, onde
Xp e´ uma soluc¸a˜o particular do sistema e Xh e´ a soluc¸a˜o geral
do sistema homogeˆneo Ax = 0.
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Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplo
Encontre o conjunto de soluc¸o˜es para o sistema homogeˆneo:
x + 2y − 3z − 2s + 4t = 0
2x + 5y − 8z − s + 6t = 0
x + 4y − 7z + 5s + 2t = 0
	Capítulo 1 - Matrizes
	Capítulo 1 Matrizes
	Capítulo 2 Sistemas Lineares
	Capítulo 2 - Sistemas Lineares
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	Capítulo 2 Sistemas Lineares